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1、第二节 正交试验方差分析法,极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，可采用方差分析的方法。,一.正交试验方差分析法基本含义与必要性,1.方差分析法的基本含义,所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解，然后进行统计检验的一种数学方法。方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法。,二.单因素方差分析法（以例21为例）,1.方差分析法的基本思路：（1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表示；（2）用组间变差平方和与组内变差
2、平方和在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明因素水平的变化影响很大，不可忽视；（3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向。,2.具体分析方法,第一步：变差平方和的分解,第二步：自由度计算,第三步：平均平方（均方）与均方期望值计算,第四步：显著性检验（F检验）,方差分析表,p个水平，每水平q个试验号,第五步：小结,三.正交试验的方差分析,1.无交互作用情况（以例11为例）,（1）方差分析理论依据,单因素：p个水平，每水平重复r次试验,每水平重复试验数水平均值与一般平均之差,p个水平，每水平q个试验号,A温
3、度（）1 B时间（Min）2 C用碱量（x%）3 4 转化率（x%）1 1(80)1(90Min)1(5%)1 312 1(80)2(120Min)2(6%)2 543 1(80)3(150Min)3(7%)3 384 2(85)1(90Min)2(6%)3 535 2(85)2(120Min)3(7%)1 496 2(85)3(150Min)1(5%)2 427 3(90)1(90Min)3(7%)2 578 3(90)2(120Min)1(5%)3 629 3(90)3(150Min)2(6%)1 64K1 123 141 135 144K2 144 165 171 153K3 183 1
4、44 144 153Qi 23118 22614 22734 22518Si 618 114 234 18,列号,试验号,（2）无交互作用试验结果计算表,4列平方和刚好等于总平方和：S总=SA+SB+SC+Se,（3）无交互作用方差分析表,（4）正交表方差分析的特点,（a)总平方和等于个列的平方和,在上例中，第4列没有安排因素，如果我们按每个因素的平方和计算第4列的K值,即正好等于Se。所以L9（34）的第4列平方和加在一起正好等于总平方和即S总=SA+SB+SC+S4（2-49）S4=Se,特别提示：,方差分析的优点在于能使总平方和分解成因素与误差平方和，而正交表将这种分解已固定到每一列上，
5、某一列在安排试验时没赋予它什么内容，该列的平方和就反映试验误差。因此，Se不一定通过ST-SA-SB-SC来计算，而可以通过没有安排因素的列直接计算。,（2）计算规格化,在正交设计中每个因素的计算步骤完全一样，而且每一个因素都和某一列相对应。如果某一列表现为误差，相应平方和的计算和因素的完全一样。这样既便于计算，又便于编制计算机程序。,由于上面两个性质，方差分析的基本计算可以化到每一列上。,计算公式,设某一列有p个水平，每个水平有q次试验。K1，K2，Kp代表p个水平的q个数据之和，则。,（3）特点三：便于分析因素的主次,判断标准：极差大的是重要因素；极差小的是次要因素。在方差分析表中，判断因
6、素影响的主次，是根据其均方的大小，均方大的是主要因素；均方小的是次要因素。同时方差分析还能指出试验误差的大小。所以方差分析法更优于极差分析法。,2.有交互作用的正交试验的方差分析,（1）原则 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择。例22某分析试验，起测定值受A、B、C三种因素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排结果如表（试验指标要求越小越好）,因素,试验号,12345678K1K2QiSi,A1,B1,AB3,C4,BC6,误差7,试验指标
7、（经简化后）,AC5,11112222-506.253.1,11221122+10-1581.2578.1,112222110-56.253.1,12121212-4035706.25703.1,1212212120-25256.25253.1,12211221-506.253.1,122121125-1031.2528.1,05-100-1520-1510,（2）正交试验结果计算表,*,（3）方差分析,（4）结果分析,结果表明：C、AC、B对试验结果影响最大，B可取B2，而A和C见存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平。,由图可知，A2C1最好,故最佳试验条件为A2B2C1
8、，这正好是第7号试验。事实上，从试验结果看，它的效果也最好。,说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式。设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，若共做了n次试验，某一列是二水平，相应的K值是K1和K2，则该列的平方和S为:,例2-3某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源1号、KH2PO4、无机盐1号等组成。现打算对其中五个成分的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成一个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有AB、AC、AE。因素水平表如表2-9所示。,因素,水平,黄豆粉蛋白胨 葡萄糖 KH2PO4 碳源1号
9、装量E(ml/250m l三角瓶)A（）B（）B(%)D,1 0.5+0.5 4.5 0 0.5 30,2 11 6.5 0.01 1.5 60,3 1.5+1.5 8.5 0.03 2.5 90,表头设计 A B AB C AC E AE D,试验方案及结果分析见表2-10,四.有重复试验的方差分析,正交试验中有重复试验的方差分析同单因素有重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称为第一类误差平方和，记为Se1，在重复试验中，还有第二类误差平方和，记为Se2,1.计算公式,p个水平，每水平q个试验号，同一号
10、试验重复r次,无重复,有重复,一个L8(27)正交试验，2个水平，每水平4个试验号，同一号试验重复4次则：p=?q=?r=?n=?,2.应用实例分析,例2-4某厂进行硅橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉强度，因素水平如表所示。,需考虑的交互作用有AB，AD，每次试验重复四次，表头设计如下：,11112222,11221122,12121212,12122121,12211221,12212112,11222211,A,表214 方差分析表,结论：方差分析的结果表明，C、D对指标影响不显著，且C不涉及交互作用，依节方便的原则取C1.而A、B、D的最优水平，通过作二元表及二元图选出。二元表及二元
11、图如下:,3.总结,对AB，好的搭配为A1B2或A2B1对AD，好的搭配为A2D1综合考虑A、B、D三因素应取水平搭配为A2D1B1C1.故，选出的最优条件为A2D1B1C1,有重复试验的正交试验特色,因为重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，应尽可能安排重复试验。,例25研究某三因素二水平体系，其取值如表215所示。试安排试验并从试验结果分析因素A、B、C及其交互作用对试验指标的影响。若有重复试验时，其结果又如何呢？选取L8(27)表安排试验，试验方案及结果计算如表所示。,表2-16 实验方案及结果计算表,表217 方差分析表,0.500.250-0.25,B1 B2 B,C2,C
12、1,指标,整个试验的最佳水平组合为A2B1C2,二元图,二元表,如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然可以提高试验的精确度。本例对所作的8次试验各重复一次，其试验结果及计算如表218所示。,表218 试验结果及计算,A1,B2,AB3,C4,AC5,BC6,7,因素(列号),试验号,表219 方差分析表,最优组合：A2B1C2,结果与前相同但精度更高。,有无重复试验方差分析结果比较,小结：,（1）要区分因素对指标影响是否显著，须先求出误差的估计Se，而Se是通过正交表的空白列获得的。故在表头设计时需要留出一些空白列供方差分析用。（2）如果正交表中所有的列都被因素或交互作用占据没有空白列，则需根据以往试验资料知道误差估计值；或者选用更大的正交表，或者进行重复试验，否则只能取各列平方和中最小的近似看作误差的估计，这是不值得提倡的。（3）重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，应尽可能安排重复试验。,
