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1、第二章矩阵的运算与矩阵的秩,本章要点流程:,首先介绍矩阵的基本运算,进一步了解分块矩阵,重点学习可逆矩阵,最后对齐次线性方程组解的作了讨论,认识矩阵的秩,2.1矩阵的基本运算,一、矩阵的线性运算,定义2.1设矩阵A=(aij)mn,B=(bij)mn,l为给定的数(1)加法:C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和,记作A+B,(2)数乘:C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积,记作lA,称为数量矩阵,2.1 矩阵的基本运算,称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A的负矩阵,记为-A,矩阵的减法:A-B=A+(-B)=(aij-bij),矩阵的线性运算,2.1 矩阵的基本运算,运算规律(设为
2、A,B,C同型矩阵,k,s,l为给定的数),1)A+B=B+A(交换律)2)(A+B)+C=A+(B+C),(ks)A=k(sA)=s(kA)(结合律)k(A+B)=kA+kB,(k+s)A=kA+sA(分配律)A+O=AA+(-A)=O1A=A;0A=O;lO=0,2.1 矩阵的基本运算,例2.1,2.1 矩阵的基本运算,二、矩阵的乘法,1矩阵乘法的定义,2.1 矩阵的基本运算,引例某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三种,每种商品的进货单价和数量如下表。,每种商品进货单价和销售单价(元)如下表:,2.1 矩阵的基本运算,2.1 矩阵的基本运算,求每个月的总进货额和总销售额。,矩阵C的第i行第
3、j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。,2.1 矩阵的基本运算,矩阵C与A、B之间有什么关系?,定义2.2设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,那么称 C=AB=(cij)mn 为矩阵A与B的乘积.其中,2.1 矩阵的基本运算,由这个定义可知:1)矩阵A、B相乘的条件:矩阵A的列数=矩阵B的行数.,3)矩阵乘法法则:乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。,2.1 矩阵的基本运算,2)矩阵C的行数等于矩阵A的行数,矩阵C的列数等于矩阵B的列数。,例2.1,2.1 矩阵的基本运算,注:,矩阵乘法一般不满足交
4、换律,即ABBA.,若对A、B有AB=BA,则称A与B是可交换的.,2.1 矩阵的基本运算,注:,由AB=0一般不能得到A=0或B=0.,注:,若AB=AC,且A0,则一般不能得到B=C.,矩阵乘法满足的运算律:,2.1 矩阵的基本运算,1)(AB)C=A(BC)(结律合)k(AB)=(kA)B=A(kB)2)A(B+C)=AB+AC(分配律)(B+C)A=BA+CA3)设Amn,则ImA=AIn=A,方阵的幂,其中k,l为正整数,设A是n阶方阵,k是正整数,k个A连乘称为A的k次幂,记作 Ak,即,相关结论:,2.1 矩阵的基本运算,一般地,矩阵的多项式:,2.1 矩阵的基本运算,例2.5,
5、为n阶方阵A的m次多项式,用数学归纳法证,2.1 矩阵的基本运算,例2.6,(n为任意自然数),线性方程组的矩阵表示,系数矩阵:,2.1 矩阵的基本运算,2.1 矩阵的基本运算,2.矩阵与初等矩阵的乘积,例如:计算下列矩阵与初等阵的乘积,2.1 矩阵的基本运算,上述过程也可以等同于:,2.1 矩阵的基本运算,2.1 矩阵的基本运算,上述过程也可以等同于:,2.1 矩阵的基本运算,即:E(i,j)A:相当于交换A的第i行与第j行;E(i(k)A:相当于用非零数k乘矩阵A的第i行;E(i,j(k)A:相当于A的第j行乘k加到第i行上;,2.1 矩阵的基本运算,定理2.1 设Amn=(aij)mn,
6、则:(1)对A施行某种行初等变换,相当于对A 左乘一个相应的m阶初等矩阵.,即:AE(i,j):相当于交换A的第i列与第j列;AE(i(k):相当于用非零数k 乘矩阵A的第i列;AE(i,j(k):相当于A的第i列乘k加到第j列上,2.1 矩阵的基本运算,同理:,(2)对A施行某种初等列变换,相当于 对A右乘一个相应的n阶初等矩阵.,推论:若mn矩阵A与B等价,则存在若干个mm初等矩阵Pi(i=1,2-,s)和若干个nn初等矩阵Qj(j=1,2-,t)使得,2.1 矩阵的基本运算,三、矩阵的转置,2.1 矩阵的基本运算,定义2.3:把mn矩阵A的行和列依次互换得到的一个nm 矩阵,称为A的转置
7、,记作AT或A.,2.1 矩阵的基本运算,相关性质:,3.(kA)T=kAT(k为常数),2.(A+B)T=AT+BT,1.(AT)T=A,4.(AB)T=BTAT,2.1 矩阵的基本运算,定义2.4 设A是n阶方阵,如果AT=A,则称A是对称矩阵;,如果AT=-A,则称A是反对称矩阵.,A=(aij)nn为对称阵的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,n),2.1 矩阵的基本运算,结论,A=(aij)nn为反对称阵的充要条件是aij=aji(i,j=1,2,n),反对称阵的主对角线上的元素aii=0(i=1,2,n),2.1 矩阵的基本运算,例2.8 设A、B均是n阶对称矩阵,求证AB是
8、对称矩阵的充要条件是A、B可交换.,例2.9 设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB+BA是反对称矩阵.,2.2 分块矩阵,一、分块矩阵的概念,矩阵的分块就是将矩阵A用若干纵线和横线分成几个小矩阵,每一小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵,称为分块矩阵。,1分块矩阵相加、减,二、分块矩阵的运算,设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵,2.数与分块矩阵相乘,3分块矩阵相乘,设A=(aij)ms,B=(bij)sn,并作如下分块:,分块矩阵相乘的条件:,(1)A分出的列子块数B分出的行子块数,(2)A中每一个子块的列数B中相应的子块的行数,分块对角阵乘法:,4分块矩阵的转置,例
9、2.10,2.3可逆矩阵,引例:电报的发送,比如,原文是“十七时进攻”的明码是,这组数字构成的矩阵为,借助于一个加密矩阵,2.3可逆矩阵,一、可逆矩阵的概念,定义2.5 设A 是一个n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=I,则称B是A的逆矩阵,记作A-1,这时称A 为可逆矩阵,简称为可逆阵.,注:(1)若矩阵A可逆,则其逆矩阵唯一。,(2)A与B的地位是平等,即当B是A的逆矩 阵时,则A也是B的逆矩阵,或称互逆。,(3)并非每个方阵都可逆。,另外:若方程组AX=B的系数矩阵A为方阵且可逆,则X=A-1 B 由逆矩阵的唯一性可知,X=A-1 B为方程组的唯一解,任何初等矩阵都是可逆的,并
10、且其逆矩阵仍是初等矩阵,逆矩阵的性质:,定理2.2设A,B都是n阶可逆矩阵,则AB可 逆,且(AB)-1=B-1A-1,推论1 若A和B是等价的方阵,则它们的可逆性相同,例2.11 设A、B、C为同阶方阵,且A可逆,则:,(1)AB=AC能否推出B=C,(2)AB=CB能否推出A=C,(3)AB=0能否推出B=0,(4)BC=0能否推出B=0,例2.12 设方阵A满足A2-3A-10I=0,证明 A 和A-4I均可逆,并求其逆.,例2.13 设方阵B是幂等阵(Bn=B),且 A=I+B,证明A可逆,且A-1=1/2(3I-A).,二、可逆矩阵与初等矩阵的关系,引理任意一个矩阵 A=(aij)m
11、n,都与形如,的矩阵等价即存在若干个m阶初等矩阵Pi(i=1,2-,s)和n阶初等矩阵Qj(j=1,2-,t),使得P1P2-PSAQ1Q2-Qt=Er,定理2.3n阶方阵A可逆的充要条件是A与单位阵等价,即:存在若干个初等矩阵P1,P2,-Pl,使得A=P1P2-Pl,推论mn矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使得PAQ=B,推导求逆矩阵的方法:,设A可逆,T1T2-Ts A=I T1T2-Ts I=A-1,T1T2-Ts(A I)=(I A-1),强调:变换中只能用行变换,不能用列变换。,2.4矩阵的秩,定理2.4 对任意矩阵A=(aij)mn 都有唯一确定的矩阵,
12、一、矩阵的标准形,与矩阵A等价,以后称Er为A的标准形。,二、矩阵的秩,定义2.6 非零矩阵A的标准形中非零行的行数称为矩阵A的秩,记为R(A),或秩(A),另外约定,零矩阵的秩为0,当R(A mn)=m时,称矩阵A mn行满秩矩阵;,当R(A mn)=n时,称矩阵A mn列满秩矩阵;,当R(A nn)=n时,称矩阵A nn满秩矩阵;,推论1n阶方阵A可逆的充要条件是A 为满秩矩阵,推论2设P,Q都是满秩矩阵,则 R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ),例2.16求证:对任意的矩阵A,都有 R(AT)=R(A),例2.15,2.5齐次线性方程组解的讨论,推论 若齐次线性方程组的方程个数
13、小于未知量的个数,则该方程组必有无穷多个解,从而有非零解,定理2.6对于本节齐次线性方程组,有以下结论:,(1)若R(A)=rn,则方程组有 n-r 个自由未知量,从而有无穷多个解,因此有非零解;,(2)若R(A)=r=n,则方程组只有零解,例2.17 求如下齐次线性方程组的解.,由于r=3n=5,所以有无穷多解.,2.6应用举例,一、密码问题 某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表示一个汉字比如,原文是“十七时进攻”的明码是,作 业,P40页1.2.4.8.,P41页5.7.,P41页9.10.13.,P41页15.17(2)(3).19(2).,选择题,1.已知A、B为n阶方阵,则下列性质
14、正确的是()(A)AB=BA(B)(A+B)T=AT+BT(C)(A+B)-1=A-1+B-1(D)A2-B2=(A+B)(A-B),B,2.设A、B、C为n阶方阵,且满足关系式ABC=I,则必 有()(A)ACB=I(B)CBA=I C)BAC=I(D)BCA=I,D,3.设n阶方阵A,如果与所有的n阶方阵B都可以交换,即AB=BA,那么A必定是()(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵,B,4.两个n阶初等矩阵的乘积为()(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵,C,5.设A、B均为n阶方阵,下列情况下能推出A是单 位矩阵的是()(A)AB=B(B)AB=BA(C)AA=I(D)A-1=I,D,6.设A为34矩阵,若矩阵A的秩为2,则矩阵-3AT 的秩等于()(A)1(B)2(C)3(D)4,B,7.已知A为n阶可逆方阵,则下列不正确的是(),(A)A-1可逆(B)I+A可逆(C)-2A可逆(D)A2可逆,B,计算题,2.求解下面矩阵方程中的矩阵X:,4.设A为n阶方阵,A1为r阶子方块,A1、A4为可逆 矩阵,求A-1.其中,