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1、第二类曲面积分,第五节,第十章,一、第二类曲面积分的概念及性质,二、两类曲面积分之间的联系,三、第二类曲面积分的计算,一、第二类曲面积分的概念及性质,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,也随之连续改变方向.若当点P不越过 的边界回到出发的位置时，,双侧曲面:,是双侧曲面.,典型双侧曲面,单侧曲面.,否则，,1.曲面的分类,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,对于双侧曲面，其侧可用曲面法向量的指向,决定了侧的曲面称为有向曲面.,来确定.,2.曲面的侧与有向曲面,(后),(钝),3.有向曲面的投影,在有向曲面上取一小块曲面S,的夹角.,类似可以给出有向曲面在其它坐标面
2、上的投影.,注意:投影有正负之分.,4.引例 流向曲面一侧的流量,设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,(假定密度为1),(1)若 是面积为S 的平面域,单位法向量：,流速为常向量,则单位时间内流量为,注.,稳定流动；,=常数：,不可压缩流体.,S,斜柱体的体积：,(2)若为有向曲面,流速：,“分割,近似,求和,取极限”,5.定义 10.5,设是分片光滑的有向曲面,向量值函数,在上有界,的单位法向量,如果积分,存在,则称此积分为,曲面上沿指定侧的第二类曲面积分,记为,注,1 第二类曲面积分的其他表达形式,则,通常把上式三项分别记作,因此第二类曲面积分又记为,P(
3、x,y,z)在上对坐标 y,z 的曲面积分,Q(x,y,z)在上对坐标 z,x 的曲面积分,R(x,y,z)在上对坐标 x,y 的曲面积分,有向曲面元,于是,2 投影转换关系,同理可得,3 第二类曲面积分中dxdy,dydz,dzdx 的意义,4,7,存在性：,连续，则,流体的流量为:,5,6,6.性质,侧一致,则,(3)有向性:用 表示 与 取相反侧的 有向曲面,研究第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,二、两类曲面积分之间的联系,由第二类曲面积分的定义可知，,即,例1,解,上侧,+,三、第二类曲面积分的计算,情形1,上侧，,投影区域为,上具有一阶,在xOy面上的,基本思路:,计算二重积分
4、,求曲面积分,若:,连续偏导数，,取曲面的上侧,根据第一类曲面积分的计算方法，有,若有向曲面 取下侧时，类似可得,+,上侧为正，,下侧为负.,(后),注 1对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,(左),2,(下),-,例2,其中是球面,解,对第二类曲面积分如何利用积分区域及被积函数的对称性？,思考:下述解法是否正确:,注,例3,解(方法1),在yOz 坐标面上的投影均为,分为前后两片曲面，,被积函数对变量x是偶函数,(方法2),投影转换法,的法向量：,向量点积法,例4,计算,解,(方法1),同理可得，,同理可得，,内容小结,1.有向曲面,2.第二类曲面积分,3.两类曲面积分之间的关系,4.第二类曲面积分的计算方法,研究第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,向量点积法,思考题,解(方法1),例3-4,备用题,(方法2),1,2,
