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1、第三节平面向量的数量积,1平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量_，记作ab，即ab_规定：零向量与任一向量的数量积为_(2)向量的投影：设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_；向量b在a方向上的投影是_(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与_的乘积,|a|b|cos,|a|b|cos,0,|a|cos,|b|cos,b在a的方向上的投影|b|cos,2平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b_；(3)分配律：a(bc)_,(ab),a(b),abac,3平面向量数量积的性质及
2、其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角,1若abbc，则ac吗？【提示】不一定b0时就不成立2(ab)ca(bc)一定成立吗？【提示】不一定成立(ab)c是与c平行的向量，a(bc)是与a平行的向量而a与c关系不确定，故(ab)ca(bc)不一定成立,3你能根据数量积的定义证明：|a|b|ab|a|b|吗？【提示】设向量a与b的夹角为，则ab|a|b|cos，0，1cos 1，|a|b|ab|a|b|.,【答案】C,【解析】|ab|a|b|cos|，故B错误【答案】B,【答案】D,【解析】ab(1，1)(2，x)2x1x1.【答案】D,5已知a(1，3)，
3、b(4，6)，c(2，3)，则(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78【解析】bc426326，(bc)a(26，78)【答案】A,(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)又E在AB边上，故设E(t，0)(0t1),【答案】(1)16(2)11,(1)(2012安徽高考)设向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_(2)(2013郑州模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_【思路点拨】(1)求出ac的坐
4、标后，利用(ac)b0求出m；(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程，进而解方程求k的值,1(1)非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定ab1，导致求解受阻2(1)abab0是对非零向量而言的，若a0时，ab0，但不能说ab.(2)abab0，体现了“形”与“数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题,(2012江西高考)设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_,1(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式如a2|a|2是正确的，而ab|a|b|
5、和|ab|a|b|都是错误的(2)研究向量的夹角应注意“共起点”；由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况，故它们的夹角分别是0与180.2(1)求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角时，要注意两者的区别与联系(2)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题,两个非零向量垂直的充要条件：abab0.,1.若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？2若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？,向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想,【答案】D,1(2012辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b|Dabab【解析】因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，即ab0，故ab.【答案】B,【答案】A,课后作业（二十六）,
