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1、1,4.4 平壁及圆管边界层求解1，普兰特边界层方程的精确解 对于平壁上的层流边界层上述为二阶非线性方程组，其边界条件为：a)在壁面上，y=0,ux=0,uy=0b)在边界层边缘，y=，ux=u，c)亦可，y=，ux=u,2,借助流函数的定义：将流函数引入方程组，布拉修斯求解结果为(过程略)其中，定义为f关系已经表格化(参：大工p65、天大p82),3,边界层内速度分布与边界层厚度：所以，在一定位置(x,y)处，可求出ux，uy。边界层厚度定义为 ux/u 0.99 时壁面的法向距离，由f关系表可知，当 ux/u 0.99115 0.99时，=5.0所以，或表达为无因次形式,4,2 卡门边界层
2、方程的求解 卡门边界层方程对于层流和湍流都适用。1）平壁稳态层流的近似解要求解上述边界层积分动量方程，必须知道速度分布(实际上要求的就是速度分布！)。a)速度分布：实验结果表明，在稳态层流边界层内，ux与y的关系可表示为,5,根据边界条件，所得的速度分布为(过程略)：线性多项式形式：ux/u=y/二次多项式形式：ux/u=2(y/)-(y/)2三次多项式形式：ux/u=(3/2)(y/)-(1/2)(y/)3四次多项式形式：ux/u=2(y/)-2(y/)3+(y/)4b)边界层厚度 以最常用的三次式为例将 ux/u=(3/2)(y/)-(1/2)(y/)3带入,6,积分求解得左式：右式：即移
3、项并积分得或(与普兰特精确解比较！),7,2）平壁稳态湍流的近似解类似平壁层流和圆管内指数形式的速度分布，平壁湍流边界层的速度分布可以采用1/n次方定律，此速度分布式带入卡门边界层方程时左侧可得出积分结果，但右侧出现，方程无法求解。,8,为此，寻求其它确定壁面剪应力s的方法。平壁湍流实验结果表明，对于常见的Re=1062107范围，A=0.045，m=1/4，n=7，即卡门边界层方程左侧的积分结果为,9,壁面剪应力为将上述结果带入卡门边界层方程得或,10,4.5 圆管中的稳态湍流速度分布(1)光滑管中的速度分布 通用速度分布方程 管内流体处于湍流流动时，根据边界层理论，紧靠壁面的层流内层中，粘
4、滞应力为主，雷诺应力可忽略不计；在湍流主体中，脉动速度很大，雷诺应力占主导地位，而粘滞应力可忽略不计。在层流内层和湍流主体之间为过渡层，其中脉动速度加大，粘滞应力和雷诺应力都不可忽略。a)层流内层：可应用牛顿粘性定律，由于层流内层较薄，可假设,11,所以分离变量并积分得带入摩擦速度u*=s/，得改写为无因次的形式为令u+称为无因此速度比，y+称为以摩擦速度表示的雷诺数,12,则层流内层的速度分布式为b)过渡层及湍流中心 在普兰特混合长理论中曾得到 将其整理成无因次形式,13,尼古拉则等大量实验结果：,为什么看起来不像是直线关系？,14,实验证实层流内层具有线性速度分布，过渡层和湍流中心的对数速
5、度分布也是正确的。通过数据拟合，得到三个区域的速度分布式：层流内层：y+5 过渡层：5 y+30 湍流中心：y+30 上述三式称为光滑管通用速度分布方程，属于半理论半经验公式。,15,(2)粗糙管中的速度分布 实际管子由于绝对粗糙度e的不同，对管内流体的流动速度分布有很大影响。引入绝对粗糙度e，可得粗糙管内的速度分布式为其中，k和C3由实验确定。尼古拉则的大量精细实验得到：k=0.4，C3如图所示。,16,水利光滑区：粗糙度雷诺数eu*/5，C3=5.5+2.5ln(eu*/),17,带入通用方程得可见，速度分布不受粗糙度影响，与光滑管完全一样。完全粗糙区：eu*/70，即ln(eu*/)1.845,C3=8.5 粗糙区：5 eu*/70 无通用公式,
