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1、等腰三角形复习,等腰三角形的性质与判定 1.性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等。定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角
2、形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等,以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.,2.若等腰三角形的一个内角是45,则它的顶角为90(),1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8,则它的周长为.,21或18,总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!,1
3、、如果等腰三角形的一个外角为100，则这个等腰三角形的顶角为。,2、如图，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周长为18，则AC长为。,课堂检测,A,B,C,E,D,例1：已知，如图等边AEB与等 边BCD在线段AC的同侧求证：ABDEBC,A,B,C,D,E,变式：已知如图ABD与ACE均为等边三角形，求证：DC=BE,想一想：你还能写出哪些结论,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,证明：AB=ACABC=ACB（等边对等角）BDAC于D，CEAB于EBEC=CDB=901+ACB=90，2+AB
4、C=90（直角三角形两个锐角互余）1=2（等角的余角相等）BM=CM（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例3 已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.求证：AC=BD.,证明：BD=DC，B=15DCB=B=15（等角对等边）ADC=B+DCB=30（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A=90AC=DCAC=BD,例4.如图，已知ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求A的度数.,分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过
5、程清晰明了。,解：设A=x，EBD=y，C=zAB=ACABC=C=zBD=BCC=BDC=zBE=DEEBD=EDB=90AD=DEA=AED=x又BDC=A+ABD，AED=EBD+EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A+ABC+ACB=180（三角形内角和为180）解得x=45即：A=45,例5.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。,证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（
6、等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDMCEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形,例6.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，求证：DEF也是等边三角形.,证明：ABC是等边三角形AC=BC，A=CCE=BDBCBD=ACCECD=AE在AEF和CDE中AEFCDE（SAS）EF=DE同理可证EF=DFEF=DE=DFDEF是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例7 如图2-8-1,中
7、，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G求证：DG=EG,思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。,证明：过D作DHAE，交BC于HAB=AC DB=DH又DB=CEDH=CE又DG=EG.,说明 本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBGEFG，同学们不妨试一试。,例8 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q.求证：BP=2PQ,思路 在RtBPQ中，本题的结论等价于
8、证明PBQ=30,证明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ,说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,1.等腰三角形顶角为36，底角为_。2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶角度数为_。3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为_，底角为_。4.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_。5.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。6.ABC中，AB=AC，ADBC
9、于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。,练习,8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。9.如图，在ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求A的度数。,在等腰直角三角形中,折出CAB的平分线AE,交BC边于点E.C点在AB边上的落点为D,连结DE.,2.若CE=1,则DE=_.,3.你还能找出哪些相等的线段吗?,4.若AB=6,则DEB的周长等于多少?,1.DEAB吗?,1,1,DB=_.,即：CE=DE=DB,AD=AC=BC,C,A,B,O,等腰直角三角形ABC两底角的平分线A
10、O与BO交于点O,过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E.则:,3.若AC=10,则CEF的周长为多少?,2.AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？,1.图中有几个等腰三角形?,AF+EB=FE,相等角之间的转化,相等线段之间的转化,如图（二）当AC=12,BC=8.求CFE的周长?,解:因为OA平分CAB.所以FAO=OAB.又因为EFAB.所以FOA=OAB.所以FAO=FOA 即:AF=OF,所以AC=AF+FC=OF+FC.同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.所以CFE的周长:=OF+FC+OE+EC=AC+BC=12+8=20,如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形！,36,A,B,C,请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！,在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的其中两顶点构成等腰三角形！,B,A,C,50,110,20,1、对A进行讨论,2、对B进行讨论,3、对C进行讨论,（分类讨论）,
