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1、5.二次型及其标准型,在解析几何中，为了便于研究二次曲线 的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：把方程化为标准形,(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。,现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。,一、二次型概念,定义1：含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数,其中,二次型的矩阵形式,其中,1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT;2）A=(aij),若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3)A=(aij),若 aij
2、为实数，称 f 为实二次型；4）称为R(A)为二次型 f 的秩。,例 1.把下面的二次型写成矩阵形式；,二、二次型的标准形,定义9.称只含有平方项的二次型,为二次型的标准型（或法式）。,所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：,定理9 任给可逆矩阵 C，令 B=C TAC，若 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。,证：A为对称矩阵，即有 A T=A，于是，B T=(C TAC)T=C TAT(C T)T=C TAC=B.故 B 为对称矩阵.再证 R(B)=R(A).因 B=C TAC,故 R(B)R(AC)R(A).又因 A=(C T)-1BC-1,故 R(A)R(BC-1)R(B)于是 R(B)=R(A).,这定理说明：经可逆变换 x=C y,把 f 化成 yTC TACy，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f=x TAx,也就是要使 C TAC 成为对角阵，即，C TAC=，因此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A，寻求可逆矩阵 C，使 C TAC=.由上节定理 8 知,任给实对称矩阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP=.把此结论用于二次型，即有：,定理10.任意 二次型,
