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1、第七章 线性离散系统的分析与校正,第七章 线性离散系统的分析与校正,学习目的,由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技术的发展，数字控制在许多场合取代了模拟控制器，作为分析与设计数字控制系统的理论基础，离散系统控制理论发展也非常迅速。离散控制系统与连续控制系统既有本质上的不同，又有分析研究方面的相似性，利用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法推广到线性离散系统。通过本章学习，使学生建立有关离散控制系统的概念，掌握数字控制中采样和保持这二个信号变换过程及数学描述，了解z变换理论，建立离散系统的数学模型，掌握离散系统的分析和校正方法。,学习目的由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技
2、术的发展，,学习内容,1、采样过程的数学描述和香农采样定理2、信号保持过程零阶保持器3、z变换理论4、离散系统的数学模型脉冲传递函数5、离散系统的稳定性与稳态误差6、离散系统的动态分析7、离散系统设计和校正,学习内容1、采样过程的数学描述和香农采样定理,7-1离散系统的基本概念,一、什么是离散系统？如果控制系统中所有信号都是时间变量的函数，一旦函数关系确定后，则全部时间上的函数值都是可确定的，这样的系统称为连续时间系统。如果系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。,7-1离散系统的基本概念一、什么是离散系统？,7-1离散系统的基本概念,三、分析方法：对
3、于连续系统，采用时域,复域,频域分析方法，基础是传递函数，拉氏变换。,对于离散系统分析，是利用Z变换方法处理后，可以把连续系统中的许多概念推广到线性离散系统。,四、采样控制系统和数字控制系统离散控制系统又可以分为采样控制系统和数字控制系统。,1、采样控制系统：如果系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散信号，称为采样控制系统或脉冲控制系统。,2、数字控制系统：如果系统中的离散信号是数字序列形式的离散信号，称为数字控制系统或计算机控制系统。,7-1离散系统的基本概念三、分析方法：对于连续系统，采用时域,.炉温采样控制系统原理图,.炉温采样控制系统原理图,7-1离散系统的基本概念,五、采样控制系统采样
4、控制系统中不仅有模拟部件，还有脉冲部件，通常测量元件、执行元件和被控对像是模拟元件，其输入和输出是连续信号，而控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲序列。,采样：将模拟信号按一定时间间隔循环进行取值从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过程称为采样。,7-1离散系统的基本概念五、采样控制系统采样：将模拟信号按一,7-1离散系统的基本概念,1、信号的采样和复现连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或称为采样开关。,T：表示采样周期，单位是s；fs：表示采样频率，单位是1/s；fs1/Ts：表示采样角频率，单位是rad/s；s2 fs 2/T,因为采样开关多
5、为电子开关，闭合时间极短，所以采样持续时间远小于采样周期T，也远小于系统连续部分的最大时间常数。,为了简化分析，可以认为0，即可以把采样电路的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e*(t)。,7-1离散系统的基本概念1、信号的采样和复现T：表示采样周期,在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为复现过程，实现复现的装置叫保持器。,保持器的功能：保持器不仅把脉冲序列转变为连续信号，完成两种信号之间的转换，同时还因为采样器输出的脉冲信号e*(t)中含有高频分量，如果不经滤波，则相当于给系统中的连续部分加入了噪声，影响控制质量，因此需要在采样器后加一个信号复现滤波器。最简单的复现
6、滤波器由保持器实现。,在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为复,7-1离散系统的基本概念,采样系统的典型结构图根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采样系统。,a.开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外，或系统本身不存在闭合回路。,b.闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。,而在实践中用得最多的是：误差采样控制的闭环系统。,误差采样：采样开关设在误差比较点之后。,s:采样开关，0Gh(s)：保持器传递函数，Gp(s):被控制对象传递函数H(s):反馈元件传递函数,7-1离散系统的基本概念采样系统的典型结构图a.开环采样系,A/D、D/A转换器是计算机控制系统中的两个
7、特殊环节。,3、离散控制系统的特点,1)、由数字计算机构成的数字校正装置效果比连续校正装置好，而且由软件实现的控制规律、易于改变，控制灵活。,2)、数字信号的传递可以有效地抑制噪声，提高系统的抗干扰能力。,3)、提高系统的控制精度。,4)、可以用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率。,4、离散控制系统的研究方法 连续系统用微分方程、传递函数、频率特性建立数学模型，而离散系统采用z变换法建立离散系统的数学模型。通过z变换处理后的离散系统，可以把用于连续系统中的许方法，如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应分析以及系统校正方法等经适当等效变换后，直接用于离散系统的分析和设计中。,A/D、D
8、/A转换器是计算机控制系统中的两个特殊环节。,7-2信号的采样与保持,一、采样过程：采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关来表示，采样器每隔T秒闭合一次，闭合时间为，采样器的输入e(t)为连续信号，输出e*(t)为宽度等于的调幅脉冲序列e(tn),在t=0时，s闭合秒，此时e*(t)e(t)在t=后，s打开，此时e*(t)0在t=T秒时，s又闭合秒，e*(t)e(t),7-2信号的采样与保持e(t)te*(t)tT+T一、采,二、采样过程的数学描述：,由位移定理：,1、采样信号的Laplace变换:对e*(t)进行Laplace变换,令理想采样器的输出信号为：,式中，e(nT)是连续信号有t=
9、tn时的值。,二、采样过程的数学描述：由位移定理：1、采样信号的Lapla,7-2信号的采样与保持,例1：设连续信号为e(t)=1(t)，求脉冲序列e*(t)的Laplace变换。,解：,上式是一个等比数列，公比为：q=e-Ts，而e-Ts1，由无穷递减等比数列求和公式：,7-2信号的采样与保持例1：设连续信号为e(t)=1(t)，,7-2信号的采样与保持,例2：设e(t)=e-att0a为常数，求E*(s),上式无穷递减等比数列的公比为：e-T(a+s),7-2信号的采样与保持例2：设e(t)=e-att0a,7-2信号的采样与保持,2、采样信号的频谱,由于采样信号的信息并不等于连续信号的全
10、部信息（在采样间隔有信号丢失），所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化，那么连续信号E(s)与采样信号E*(s)之间有什么关系呢？,(t-nT)是理想单位脉冲序列，是一个周期函数，研究频谱问题一般是取付氏级数展开，得：,s：采样角频率,7-2信号的采样与保持2、采样信号的频谱由于采样信号的信息并,7-2信号的采样与保持,对上式取Laplace变换：,由Laplace变换位移性质，,取式中f(t)=e(t)，ajns,由于n从到,7-2信号的采样与保持对上式取Laplace变换：由Lapl,7-2信号的采样与保持,s=2/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：,连续信号的频谱为,采
11、样信号的频谱为,h,-h,0,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,0,s,-s,s=2h,7-2信号的采样与保持T(t)=s=2/T为采样角频,7-2信号的采样与保持,式中，E(j)为原函数e(t)的频谱，而E*(j)为采样信号e*(t)的频谱。,一般连续信号的频谱E(j)为单一的连续频谱，设它的最高角频率为h，则采样信号e*(t)的频谱E*(j)是以采样角频率s为周期的无穷个频谱之和。,7-2信号的采样与保持在中，如果n=0,则：式中，E(j),7-2信号的采样与保持,E*(j)与E(j)的形状一至，但在幅值上变化了1/T倍。如图,其中，n=0就是原函数的频谱，但幅值为原来的1/T，称为采
12、样频谱的主分量，而其余频谱都是采样而引起的高频频谱，称为采样频谱的补分量。,7-2信号的采样与保持h-h0s2s3s-3s-,7-2信号的采样与保持,如果E*(j)频谱中的各个波形不重叠，相互间隔一定的频率（距离）即：（采样频率2倍的E(j)最高频率）,在这种情况下，则可以用理想滤波器把h的高频分量全部滤掉，在E*(j)中只保留下1/T E(j)部分，原信号通过采样后仍可毫无畸变地复现出来。,7-2信号的采样与保持如果E*(j)频谱中的各个波形不重叠,7-2信号的采样与保持,如果加大采样周期和T，则采样角频率s相应减小(s=1/T)，当s 2h时，采样频率中的补分量相互交迭，在这种情况下，用理
13、想的滤波器也无法恢复原来的连续信号的频谱。,所以，为了使采样后的脉冲序列频谱互不重叠，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的二倍。这样才有可能通过理想滤波器把原信号毫无畸变地恢复过来这就是香农采样定理。,7-2信号的采样与保持如果加大采样周期和T，则采样角频率s,7-2信号的采样与保持,采样频率不能太低，否则信息损失太多，原信号不能准确恢复，但采样频率也不能太高，否则实现起来会有困难。,根据香农采样定理，采样周期(T)和角频率(s)与原信号最高角频率(h)的关系为:,7-2信号的采样与保持采样频率不能太低，否则信息损失太多,7-2信号的采样与保持,三、信号保持：把数字信号转换为连续信号的
14、装置称为保持器。,连续信号经过采样开关以后，其离散信号的频谱中除了频谱主分量外，还有频谱的补分量。,这些频谱的补分量在系统中相当于高频干扰信号，为了除去这些高频分量，恢复和重现原来的连续信号，需要用低通滤波器。,理想的滤波器特性,7-2信号的采样与保持三、信号保持：把数字信号转换为连续信号,7-2信号的采样与保持,采样信号经过理想滤波器,对于理想滤波器，当：,所以，经过理想滤波器以后，E*1(j)与连续信号E(j)在形状上完全一样，但幅值上相差1/T（见上图）。这可在系统中增加放大器来解决。,因为采样后的脉冲序列：,7-2信号的采样与保持02/s-2/s采样信号经过理想滤,7-2信号的采样与保
15、持,实际上，理想滤波器是做不到的，通常用低通滤波器作保持电路，工程实践中，普遍采用零阶保持器。,3、零阶保持器,零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，其传递函数为,零阶保持器的数学表达式：e(nT+t)=e(nt),式中，nT为采样时刻；t为本次采样时间与下次采样之间的某一个时间值。,7-2信号的采样与保持实际上，理想滤波器是做不到的，通常,7-2信号的采样与保持,由零阶保持器的数学表达式表明，零阶保持器能把采样时刻nT的采样值恒定不变地保持到下一采样时间(n+1)T，从而使采样信号e*(t)变成阶梯信号eh(t)。如图,7-2信号的采样与保持 由零阶保持器的数学表达
16、式表明,7-2信号的采样与保持,由于保持器的输出是一个宽度为T，高度为e(nT)的脉冲信号，所以它可以用二个单位阶跃信号来模拟。,eh(t)=e(nT)1(t-nT)1(t-nT-T),对于全部的输出信号，则有,7-2信号的采样与保持由于保持器的输出是一个宽度为T，高,7-2信号的采样与保持,对于全部的输出信号：,取Laplace变换，由位移性质：,E*(s)：保持器的输入Eh(s)：保持器的输出,7-2信号的采样与保持对于全部的输出信号：取Laplace变,7-2信号的采样与保持,令：s=j，并使用欧拉公式,7-2信号的采样与保持令：s=j，并使用欧拉公式,7-2信号的采样与保持,零阶保持器
17、的幅频特性,相频特性,由极限,当0时，,7-2信号的采样与保持s2s3sT-2-3相频,7-2信号的采样与保持,由零阶保持器的幅频、相频图可见，零阶保持器具有如下特性：,1、低通特性，由幅频特性看出，幅值随频率增大而迅速衰减。说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但它不是理想的滤波器它的截止频频率有很多个，高频分量仍有部分通过，造成数字控制系统的输出中存在纹波。,2、相角迟后特性，由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，随着增大，迟后角加大，在s,相角迟后可达180，从而使闭环系统稳定性变差。但与其他高阶保持器相比，零阶保持器相位滞后最小，所以普遍采用零阶保持器。,7-2信号的采样与保持由零阶保持器的幅频、相频图可见，零,
