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1、第八章 应力与应变分析,8-1 一点的应力状态8-3 平面应力状态分析解析法8-4 平面应力状态分析图解法8-5 三向应力状态,第八章 应力与应变分析8-1 一点的应力状态,第八章 应力与应变分析,8-8 广义胡克定律8-9 复杂应力状态下的应变比能8-10 强度理论概述8-11 四种常用强度理论小 结,第八章 应力与应变分析8-8 广义胡克定律,1一点的应力状态,8-1 一点的应力状态,一、一点的应力状态,受力构件一点处各个不同截面上的应力情况,2研究应力状态的目的,找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,1一点的应力状态8-1 一点的应力状态
2、一、一点的应力状,1)代表一点的应力状态；,单元体法,1单元体,2)每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示；,3)平行面上的应力大小相同、方向相反；,4)三个相互垂直面上的应力已知。,二、研究应力状态的方法,围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点：,1)代表一点的应力状态；单元体法1单元体2)每个面上的,2单元体上的应力分量,1)单元体上的应力分量共有 九个，独立分量有六个；,2)应力分量的角标规定：,第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴；两角标相同时，只用一个角标来表示。例如txy表示x面上平行于y轴的切应力，sx表示x面上平行于x轴的正应力；,3)面的方位用其法线方
3、向表示，例如x面表示法线平行 于x轴的面；,2单元体上的应力分量1)单元体上的应力分量共有2)应力分量,4)切应力互等定理：,3截取单元体的方法与原则,1)在一点用与三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依 问题和构件形状而定)垂直的平面截取，因其微小，看成微小正六面体；,2)单元体各个面上的应力已知或可求；,3)几种受力情况下截取单元体方法：,8-1 一点的应力状态,4)切应力互等定理：3截取单元体的方法与原则1)在一点用与,横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取,横截面、周向面、直径面各一对,一对横截面，两对纵截面,t=Me/Wp,FMeMeFFMeMe横截面、周向面、直径面各一对，从上表面
4、,FCABBtBCtCsCsCAsAsA,1主应力、主单元体、主平面的概念,三、应力状态的分类(按主应力),1)主平面：,单元体上切应力为零的平面,2)主单元体：,各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对主平面；,3)主应力：,主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且s1s2s3。,(找主平面、主单元体和主应力),1主应力、主单元体、主平面的概念三、应力状态的分类(按主应,2应力状态按主应力分类,1)单向应力状态：,只有一个主应力不为零的应力状态；,2)平面应力状态：,有二个主应力不为零的应力状态，也称为二向应力状态；,3)三向应力状态：,三个主应力均不为零的应力状态，也称为空间应力状态；
5、,4)单向应力状态又称为简单应力状态；平面和空间应 力状态又称为复杂应力状态。,4)围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主 要目的就是寻找主单元体和主应力。,2应力状态按主应力分类1)单向应力状态：只有一个主应力不为,8-3 平面应力状态分析解析法,1平面应力状态的表示方法(一般表现形式),一、平面应力状态分析的解析法,平面应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为零，而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。,8-3 平面应力状态分析解析法1平面应力状态的表示,2任意a角斜截面以及与之相垂直斜截面上的应力,1)公式推导,dA,txy,sy,tyx,sa,sx,2任意a角斜截面以及与之
6、相垂直斜截面上的应力1)公式推导s,2)a角斜截面应力公式,由三角变换得,单元体上所绘s、t，数值代表大小，箭头方向代表正负。,4)推导公式时，sx、sy、txy、a 角均假设为正，实际计算时应 代入各参量的正负。,s：拉为正，压为负；,a：以x轴正向为起线，逆时针转 至外法线方向者为正，反之为负；,t：使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。,a,x,sxtxysysysxtyxABdAsataanta2)a角,3主应力及其方位,1)由主平面定义：,，得：,可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。,2),即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。,3)主应力大小：,4)由s
7、、s、0按代数值大小排序得出：,3主应力及其方位1)由主平面定义：，得：可求出两个相差90,5)判断s、s作用方位(与两个a0如何对应),a)由：求得一个a0：,b)txy箭头指向第几象限(一、四)，则s(较大主应力)在第几象限，即先判断s 大致方位，再判断其与算 得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。,6),5)判断s、s作用方位(与两个a0如何对应)txys,1),4极值切应力,2)极值切应力：,可求出两个相差90o的a1值，对应两个互相垂直的极值切应力方位。,3)极值切应力方位与主应力方位的关系：,极值切应力平面与主平面成45o,1)4极值切应力2)极值切应力：可求出两个相差90o
8、的a1,解：1)a=30o斜截面上的应力,2)主应力与主单元体,3)极值切应力,4)讨论并证明：,同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。,例8-1 图示单元体，试求：a=30o斜截面上40302,t,3)圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状 态，最大拉、压应力在与轴线成45o 斜截面上，它们数值相等，均等于横 截面上的切应力；,4)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面 上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；,5)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与 轴线成45o的螺旋面拉断。,解：1)围绕圆轴外表面一点取单元 体ABCD：,2)求主应力和主单元体,
9、tABCD例8-2 分析圆轴扭转时的应力状态。MeMeDC,5主应力迹线,1)作法,将一点的主拉(压)应力方向延长与相邻横截面相交，再求出交点的主拉(压)应力方向，依次得到一条曲线主拉(压)应力迹线。,2)主应力迹线的特征,同一类主应力迹线不能相交；两类主应力迹线若相交，则必然正交；所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为45o；所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交；主应力迹线只反映主应力方向，不反映大小。,q5主应力迹线1)作法将一点的主拉(压)应力方向延长与相邻,1理论依据,平面应力状态分析的图解法应力圆,以s、t为坐标轴，则任意a 斜截面上的应力sa、ta为,8-4 二向应力状态分析图解法,
10、1理论依据平面应力状态分析的图解法应力圆以s、t为坐标,2应力圆的绘制,C,1)选定坐标及比例尺；,2)取x面的两个应力值，定出D(sx,txy)点，,取y面的两个应力值，定出D(sy,tyx)点；,3)连DD交s 轴于C点，以C为圆心，DD为直径作圆。,Ost2应力圆的绘制sxsxtxytyxtxytyxsys,3应力圆的应用,1)点面对应关系：,2)角度对应关系：,应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,应力圆上半径转过2a，单元体上的面转过a；,3)转向对应关系：,应力圆上半径的转向与单元体上面的旋向相同；,4)求外法线与x轴夹角为a 斜 截面上的应力，只要以D为 起点，按a 转动方
11、向同向转 过2a 到E点，E点坐标即为 所求应力值。,3应力圆的应用1)点面对应关系：2)角度对应关系：,5)应力圆确定主平面、主应力,应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t，纵轴坐标最小的G2点为t，作用面确定方法同主应力。,由主平面上切应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s所在主平面，其转过角度为2a0*，转至s轴负向B1点代表s所在主平面；,6)确定极值切应力及其作用面,5)应力圆确定主平面、主应力应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t,4)作应力圆，并由几何关系算出或由 比例尺量出：,解：一、图解法,1)由竖直面BE上的应力 得到应力圆上的D点：,17.3,2)由AB面上的正应力
12、 作直线s：,则应力圆上代表AB面应力的点一定在该直线上,3)作直线l，使其满足：与s轴正向 逆时针夹角120o，交直线s于D，交s轴于C，|CD|=|CD|,4)作应力圆，并由几何关系算出或由60o解：一、图解法1)由,解：二、解析法,1)建立坐标系,2)截取微块ABC,由于AC面为主平面，其上切应力为零，则根据切应力互等定理BC面上切应力也为零，只有主应力sy。,3)将AB看成斜截面，求解其 上应力,80,sy,解：二、解析法1)建立坐标系2)截取微块ABC60oB508,解：1)a=30o斜截面上的应力,2)主应力并画出主单元体,3)极值切应力：,例8-4 图示单元体，试求：a=30o斜
13、截面上40302,三、几种应力状态的应力圆,1单向拉伸和压缩应力状态,1)单向拉伸,2)单向压缩,圆心C：(s/2,0),D(s/2,s/2)D(s/2,-s/2),极值切应力点：,主应力：,圆心C：(-s/2,0),E(-s/2,s/2)E(-s/2,-s/2),极值切应力点：,主应力：,三、几种应力状态的应力圆1单向拉伸和压缩应力状态1)单向拉,2纯剪切应力状态,圆心C：(0,0),D(0,t)D(0,-t),极值切应力点：,主应力：,2纯剪切应力状态OstttttC圆心C：(0,0)D(0,3两向均匀压(拉)应力状态,主应力：,两向均匀压(拉)应力状态的应力圆为s轴上的一点。因此其任意方
14、向均为主应力方向，任意平面均为主平面,p,任意形状平面，只要边界各点承受大小相同垂直作用于边界的力，则其内部任意一点均为两向均匀压(拉)应力状态，同样对于三维构件(如圆球)，就为三向均匀压(拉)应力状态。,pppp3两向均匀压(拉)应力状态Ostssss主应力：C,8-5 三向应力状态,1三向面应力状态下的应力圆,一、三向应力状态下的应力圆,1)平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；,2)平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；,3)平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；,8-5 三向应力状态1三向面应力状态下的应力圆一、三向,t23,t13,t1
15、2,2三向应力状态下的最大切应力,4)由弹性力学知，任意斜 截面上的应力点落在阴 影区内。,tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。,t23OtsC2s3C1C3s1s2t13t122三向应力,三、例题,A视,解法一：1)已知一个主应力：sz=90MPa。,2)将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：,根据txy方向，s1与x逆时针夹角为31o，s3与x轴夹角121o，均在xoy平面内,最大切应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。,A,三、例题sy=140txy=150sx=300A视解法一：1,8-8 广义胡克定律,一、广义胡克定律,1)主应变：,1有关
16、概念,2)正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；,沿主应力方向的应变，分别用e 1e 2e 3表示；,2广义胡克定律,2)推导方法：,利用叠加原理和第一章里讨论的拉压和剪切胡克定律。,1)广义胡克定律：应力与应变的关系，又称本构关系；,8-8 广义胡克定律一、广义胡克定律1)主应变：1有关,s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：,3)主应力与 主应变的 关系：,8-8 广义胡克定律,s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1方向上的应变,4)一般情况：,5)用应变表 示应力：,4)一般情况：5)用应变表,6)平面应力状态下：,sz、tyz、txz 为零。,6)平面应力状
17、态下：sz、tyz、txz 为零。,二、体积应变与应力分量之间的关系,1)长a、宽b、高c的单元体变 形前体积：,1体积应变,2)在主应力s1、s2、s3作 用下，单元体体积变为：,3)体积改变率(体积应变),二、体积应变与应力分量之间的关系1)长a、宽b、高c的单元体,4)体积应变的应力表达式：,代入胡克定律,平均应力,体积模量,4)体积应变的应力表达式：代入胡克定律平均应力体积模,三、例题,解：1)圆柱横截面上的应力,2)圆柱径向应变,3)截取单元体如图,4)由广义胡克定律,5)圆柱内任意点主应力为：,三、例题例8-6 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01,8-9 复杂应力状态下的应变
18、比能,一、总应变比能,1)应变能(变形能)：,1有关概念,伴随弹性体的变形而储存在弹性体的能量，用U表示；,2)比能：,单位体积内储存的应变能，用u表示；,3)克拉贝依隆原理：,该原理只在线弹性条件下成立,广义力；,与广义力相对应的广义位移；,8-9 复杂应力状态下的应变比能一、总应变比能1)应变能,1)取主应力单元体，假定三个 主应力按某一比例由零同时 增加到最终值，则该单元体 所储存的应变能为,2总应变比能,2)比能：,3)代入广义胡克定律,1)取主应力单元体，假定三个2总应变比能s 2s 1s 3,二、体积改变比能uv与形状改变比能uf,1)单元体的变形：,1有关概念,体积改变和形状改变
19、,体积应变只与平均正应力有关，则体积改变比能只与平均正应力有关。,体积改变,形状改变,二、体积改变比能uv与形状改变比能uf1)单元体的变形：1,2)体积改变比能：,与体积改变相对应的比能，用uv表示；,3)形状改变比能：,与形状改变相对应的比能，用uf表示；,4),2uv、uf公式,1)体积改变比能：,2)形状改变比能：,一般情况下：,2)体积改变比能：与体积改变相对应的比能，用uv表示；3)形,1失效：,8-10 强度理论概述,一、失效方式,构件失去它们应有的功能,1)强度失效方式：,2失效方式取决于材料的种类、加载方式、构件所处的 应力状态和工作环境等,主要表现为：,强度失效、刚度失效、
20、失稳与屈曲失效、疲劳失效、蠕变与松弛失效。,屈服与断裂,2)刚度失效方式：,构件产生过量的弹性变形,3)屈曲失效方式：,构件平衡状态的突然转变,4)疲劳失效方式：,交变应力作用引起构件的突然断裂,1失效：8-10 强度理论概述一、失效方式构件失去它们,1脆性材料,二、单向拉伸应力状态下的强度失效,1)失效形式：,断裂,2)失效判据：,由单向拉伸试验建立,2塑性材料,1)失效形式：,屈服,2)失效判据：,由单向拉伸试验建立,1简单应力状态下强度准则可由试验确定；,三、强度准则的提出,2一般应力状态下，材料失效方式不仅与材料性质有关，且与应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关；,1脆性材料二、单
21、向拉伸应力状态下的强度失效1)失效形式：断,1)一般脆性材料脆断，塑性材料屈服；,2)脆性材料在三向等压应力状态下会产生塑性变形，塑性材料在三向等拉应力状态下会发生脆性断裂；,1)金属材料的失效分为：,3复杂应力状态下的强度准则不能由试验确定(不可能 针对每一种应力状态做无数次试验)；,4强度准则,塑性屈服与脆性断裂；,2)强度准则(强度理论)：,材料失效原因的假说；,3)通过强度准则，利用单向拉伸试验结果建立各种应 力状态下的失效判据和相应的设计准则。,1)一般脆性材料脆断，塑性材料屈服；2)脆性材料在三向等压应,一、断裂失效的三种类型,构件在载荷作用下，没有明显塑性变形而发生突然破坏的现象
22、。,1脆性材料的突然断裂；,断裂失效：,2有裂纹或缺陷构件的断裂；,3渐近性断裂，亦称疲劳断裂；,本章只讨论第一情况脆性断裂,一、断裂失效的三种类型构件在载荷作用下，没有明显塑性变形而发,2强度准则：,失效判据：,3su由单向拉伸断裂条件确定：,4应用情况：,符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。,最大拉应力s1，与应力状态无关；,一、最大拉应力理论（第一强度理论）,无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是最大拉应力s1达到材料在单向拉伸时的极限应力su。,最大拉应力准则：,1断裂原因：,8-11
23、四种常用的强度理论,2强度准则：失效判据：3su由单向拉伸断裂条件确定：4,2强度准则：,失效判据：,3e u由单向拉伸断裂条件确定：,4应用情况：,符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。,最大伸长线应变e1，与应力状态无关；,二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是最大伸长线应变e1达到材料在单向拉伸时的极限应变eu。,最大伸长线应变准则：,1断裂原因：,2强度准则：失效判据：3e u由单向拉伸断裂条件确定：4,2强度准则：,失效判据：,3tu由单向拉伸屈服条件确定：,4应用情况：,形式简单，符合实际，广泛应用，偏
24、于安全。,最大切应力tmax，与应力状态无关；,三、最大切应力理论（第三强度理论）,无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因是最大切应力tmax达到材料在单向拉伸时的极限切应力tu。,最大切应力准则(Tresca准则)：,1屈服原因：,2强度准则：失效判据：3tu由单向拉伸屈服条件确定：4,2强度准则：,失效判据：,最大形状改变比能uf，与应力状态无关；,四、最大形状改变比能理论（第四强度理论）,无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服的共同原因是形状改变比能uf达到材料在单向拉伸时的极限值ufu。,最大形状改变比能准则(Mises准则)：,1屈服原因：,2强度准则：失效判据：最大形状改
25、变比能uf，与应力状态无关,3ufu由单向拉伸屈服条件确定：,4应用情况：,比最大切应力准则更符合试验结果。,3ufu由单向拉伸屈服条件确定：4应用情况：比最大切应力,强度准则的统一形式,1一般情况下，脆性材料将发生脆性断裂，因而选用最 大拉应力准则和最大伸长线应变准则；而韧性材料一 般发生屈服，故应选Tresca和Mises准则。,2材料的失效形式不仅取决于材料的性质，而且与其所 处的应力状态、温度和加载速度有关，因此对构件进 行全面的分析，以决定其失效形式。,强度准则的统一形式1一般情况下，脆性材料将发生脆性断裂，因,强度准则的统一形式：,其中i=1，2，3，4，M 分别表示最大拉应力，最
26、大伸长线应变，最大切应力和最大形状改变比能和莫尔强度准则。,s ri相当应力，,强度准则的统一形式：,例题,解：1)求主应力,2)钢材在这种应力状态下会发生屈服失效，故可采用Tresca和Mises准则进行强度计 算。两种准则的相当应力分别为,3)强度计算,将s、t 代入上两式,可见无论采用Tresca或是Mises准则进行强度校核，该结构都是安全的。,例题例8-7 某结构危险点的应力状态如图所示，其中s=1,解：1)应力分析,sx,sq,2)分别用Tresca和 Mises准则计算,Tresca：,Mises：,Tresca准则偏于安全,lzyx例8-8 如图所示等厚钢制薄壁圆筒，平均直径d
27、=10,小 结,一、本章重点,应力状态的有关概念及其研究方法，截取原始单元体的方法，主单元体、主平面、主应力，应力状态的分类；平面应力状态分析的解析法和应力圆法；简单三向应力状态的求解及一点的最大应力；广义胡克定律及其应用。,小 结一、本章重点应力状态的有关概念及其研究方法，,小 结,材料失效的形式及其有关概念，特别是金属材料的失效方式；断裂准则；屈服准则；强度准则的应用主应力校核、受内压薄壁圆筒的强度问题。,小 结材料失效的形式及其有关概念，特别是金属材料的,小 结,二、思考题,复杂应力状态下为什么不能直接用试验建立强度条件？三向等拉应力状态材料如何破坏？三向等压应力状态材料如何破坏？试解释水管冬天沿轴线胀裂且与轴线夹角为45o角的原因？相当应力是构件的真实应力吗？能够进行叠加吗？如何判断两种应力状态的危险程度？低碳钢和铸铁扭转破坏断面有什么不同，为什么？,小 结二、思考题复杂应力状态下为什么不能直接用试验建立强,第八章应力和应变分析课件,
