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1、第三章函 数,第六节二次函数与几何图形综合题(每年1题12分，均在B卷28题考查),第三章函 数第六节二次函数与几何图形综合题,成都10年真题+2019诊断检测,例 如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y x2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；,类型一线段数量关系/最值问题,例题图,【思维教练】,大题小做,成都10年真题+2019诊断检测例 如图，抛物线yax2,解：(1)对于直线y x2，令y0，得x4，令x0得y2，A(4，0)，C(0，2)，已知B(1，0)，将A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式，得,
2、解得，,抛物线的解析式为y x2 x2；,解：(1)对于直线y x2，令y0，得x4，令x,(2)求顶点D的坐标与对称轴l；,例题图,【思维教练】,(2)将抛物线y x2 x2化为顶点式得y(x)2，抛物线顶点D的坐标为(，)，对称轴l为直线x；,(2)求顶点D的坐标与对称轴l；例题图【思维教练】(2)将,(3)如解图，连接CE，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，则AE4e.在RtCOE中，根据勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222e2，解得e，点E的坐标为(，0)；,(3)设点E为x轴上一点，且AECE，求点E的坐标；,例题图,【思维教练】,例题解图,(3)
3、如解图，连接CE，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(,(4)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GDGB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；,例题图,【思维教练】要使GDGB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B，再连接BD，BD与y轴的交点即为所求的点G，先求直线BD的解析式，再求其与y轴的交点即可；,(4)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GDGB的值最,(4)存在如解图，作点B关于y轴的对称点B，则点B的坐标为(1，0)连接BD，直线BD与y轴的交点G即为所求的点设直线BD的解析式为ykxd(k0)，其中D()将B、D两点的坐标代入得，,解得，,直线BD的解析式为
4、y，令x0得y，点G的坐标为(0，)；,例题解图,(4)存在解得，直线BD的解,【思维教练】因为BC长为定值，要使BCF的周长最小，即要使CFBF的值最小，由点A、B关于对称轴l对称，可知AC与对称轴l的交点即为点F，即可使CFBF的值最小，将x 代入直线AC的解析式，即可求得F点的坐标，在RtAOC中可得AC的长，在RtBOC中可得BC的长，从而即可得BCF的最小周长；,(5)在对称轴l上是否存在一点F，使得BCF的周长最小？若存在，求出点F的坐标及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；,例题图,【思维教练】因为BC长为定值，要使BCF的周长最小，即要使,(5)存在如解图，要使BCF的周
5、长最小，即使BCBFCF最小在RtOBC中，OB1，OC2，由勾股定理得BC为定值，只需BFCF最小点B与点A关于直线l对称，AFBF，则BFCFAFCF.AC与对称轴l的交点即为所求的点F.,例题解图,(5)存在例题解图,将x 代入直线y x2，得y 2.,点F的坐标为(，),在RtAOC中，AO4，OC2，根据勾股定理得AC，,BCF周长的最小值为BCAC；,将x 代入直线y x2，得y,(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HKd.求d关于h的函数关系式；求d的最大值及此时H点的坐标；,【思维教练】分别将h代入抛物线及直线A
6、C的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，可得到d关于h的函数关系式；利用二次函数的性质求最值，即可得d的最大值及H点的坐标；,例题图,(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行,(6)如解图，点H在抛物线上，设点H的坐标为(h，h2 h2)(0h4)，HKy轴，交AC于点K，点K的坐标为(h，h2)，点H在点K的上方，HKd h2 h2(h2)h22h，d关于h的函数关系式为d h22h；,例题解图,d h22h(h24h)(h2)22，当h2时d最大，024，符合题意，当h2时，d最大，最大值为2，此时点H的坐标为(2，1)；,(6)如解图，点H在抛物
7、线上，例题解图d,(7)已知x轴上一点R的坐标为(1，0)，连接CR，点Q是线段CR上一点，过点Q作QJCO于点J，QIAC于点I，判断 是否为定值，并说明理由,【思维教练】要判断 是否是定值，需知QJ，QI，CQ之间的数量关系，过点R作RKAC于点K，由点R的坐标与OA的长求出RK的长，可得CR为OCA的平分线，故QJQI，再利用平行得到QJCROC，即，在OCR中，由勾股定理可求出CR的长，从而可得到 的值，判断 是否为定值.,例题图,(7)已知x轴上一点R的坐标为(1，0)，连接C,(7)是定值理由如下：如解图，过点R作RKAC于点K，OA4，OC2，AC2，在RtAOC中，sinOAC
8、，,在RtARK中，sinRAK，,，,即，,RK 1，,RKOR，点R在OCA的平分线上，CR平分OCA，,例题解图,(7)是定值理由如下：如解图,又点Q在CR上，且QFOC，QIAC，QJQI，QJOC，OROC，QJOR，QJCROC，,OR 1是一个定值，在RtCRO中，CR 为一个定值，为一个定值，是定值,，,又点Q在CR上，且QFOC，QIAC，OR,1.(2013成都B卷28题12分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2bxc(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限(1)如图，若该抛物线过A，B两点，
9、求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.(i)若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点当以PQ为直角边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；,真题呈现,1.(2013成都B卷28题12分)在平面直角坐标系中，已,当以PQ为斜边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；(ii)取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由,第1题图,当以PQ为斜边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角,解
10、：(1)由题意得，点B的坐标为(4，1)(1分)抛物线过A(0，1)，B(4，1)两点，,，解得，,抛物线的函数表达式为y x22x1；(3分),解：(1)由题意得，点B的坐标为(4，1)(1分),(2)(i)A点的坐标为(0，1)，C点的坐标为(4，3)，直线AC的解析式为yx1.设平移前的抛物线的顶点为P0，则由(1)可得点P0的坐标为(2，1)，且P0在直线AC上.点P在直线AC上滑动，设点P的坐标为(m，m1)，则平移后的抛物线的函数表达式为y(xm)2(m1),联立，,解得，,即P(m，m1)，Q(m2，m3),(2)(i)A点的坐标为(0，1)，C点的坐标为(4,过点B作直线l1A
11、C交抛物线y x22x1于点M，则M为符合条件的点，设直线l1的解析式为yxb1.,如解图，过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，两线交于点E，则PEm(m2)2，QE(m1)(m3)2，PQ AP0.(5分)PQ为直角边，点M到PQ的距离为(即为PQ的长)由A(0，1)，B(4，1)，P0(2，1)可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0.,第1题解图,过点B作直线l1AC交抛物线y x22x1于点,设直线l1的解析式为yxb1.点B的坐标为(4，1)，14b1，解得b15，直线l1的解析式为yx5.,联立方程组，解得，,M1(4，1)，M2(2，7)；(7分),设直线l1的解析式
12、为yxb1.联立方程组,如解图，PQ为斜边，MPMQ2，可求得点M到PQ的距离为.取AB的中点F，则点F的坐标为(2，1)由A(0，1)，F(2，1)，P0(2，1)可知，AFP0为等腰直角三角形，且点F到AC的距离为，过点F作直线l2AC交抛物线y x22x1于点M，则点M为符合条件的点，设直线l2的解析式为yxb2.点F的坐标为(2，1)，12b2，解得b23，直线l2的解析式为yx3.,第1题解图,如解图，PQ为斜边，第1题解图,联立方程组，,解得，,M3(1，2)，M4(1，2)；(9分),(ii)存在最大值,如解图所示，由(i)知PQ2，当NPBQ取最小值时，有最大值,联立方程组,取
13、点B关于AC的对称点B，可得B 的坐标为(0，3)，BQBQ，取AB的中点F，连接QF，FN，QB，可得FNPQ，FNPQ，四边形PQFN为平行四边形，NPFQ，NPBQFQBQFB=.当B，Q，F三点共线时，NPBQ最小，最小值为，的最大值为.(12分),第1题解图,取点B关于AC的对称点B，可得B 的坐标为(0，3)，B,类型二面积数量关系/最值问题,例 如图，已知抛物线yx2bxc与直线AB相交于A(3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；,【思维教练】,例题图,大题小做,类型二面积数
14、量关系/最值问题例 如图，已知抛物线yx,解：(1)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，将A(3，0)、B(0，3)两点代入，,得，解得，,直线AB的解析式为yx3，将A(3，0)，B(0，3)代入抛物线解析式，,得，解得，,抛物线的解析式为yx22x3；,解：(1)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，得,(2)连接BC，求ABC的面积；,【思维教练】,例题图,(2)连接BC，求ABC的面积；【思维教练】例题图,(2)令抛物线解析式中y0，得x22x30，解得x13，x21，点C的坐标为(1，0)，A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)，AO3，OB3，OC1，AC4，BOAC，SABC
15、 ACOB 436;,(2)令抛物线解析式中y0，,(3)连接BC，在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得SABMSABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；,【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，故需考虑M点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：点M在直线AB的上方，可先设出M点的横坐标并用其表示ABM的面积，再列方程求解；点M在直线AB的下方，可通过平移直线AB，使其经过点C，利用“同底等高的三角形面积相等”来求解；,例题图,(3)连接BC，在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S,(3)存在(i)如解图，当点M在直线AB的上方时，过点M作MMx轴于点M，交直线AB
16、于点N，连接AM，BM，设点M的坐标为(m，m22m3)，则N(m，m3)，MNm22m3(m3)m23m，SABMSAMNSBMN MNAM MNMO MN(AMMO)MNAO(m23m)3 m2 m，根据题意得SABMSABC6，则 m2 m6，即m23m40，b24ac3241470，此时方程无解，则不存在这样的点M；,例题解图,(3)存在例题解图,(ii)如解图，当点M在直线AB的下方时，SABMSABC，以AB为底，只要ABM与ABC的高相等即可，故平移直线AB，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为点M，设平移后的直线CM的解析式为yx3b，将点C(1，0)代入得b4，直线
17、CM的解析式为yx1，,与抛物线联立，得，,解得(舍去)，.,存在这样的点M，其坐标为(4，5)；,例题解图,(ii)如解图，当点M在直线AB的下方时，与抛物线联立，得,(4)连接BC，点N是线段AB上一点，作NNx轴，使ABC的面积被直线NN分为12的两部分，求此时点N的坐标；,例题图,【思维教练】由题意知，NN将ABC分成一个三角形和一个四边形，因此要分情况进行讨论：ANN的面积占ABC面积的；ANN的面积占ABC面积的.在每种情况下，用点N的横坐标表示出ANN的面积，列方程求解即可，注意检验求得的解是否满足点N在线段AB上；,(4)连接BC，点N是线段AB上一点，作NNx轴，使A,如解图
18、，由(2)知ABC的面积为6，设N(n，n3)，当SANN SABC2时，SANN(n3)(n3)2，解得n11，n25(不在线段AB上，舍去)，N(1，2)；当SANN SABC4时，SANN(n3)(n3)4，解得n12 3，n22 3(不在线段AB上，舍去)，N(2 3，2)，综上所述，点N的坐标为(1，2)或(2 3，2)；,例题解图,如解图，由(2)知ABC的面积为6，设N(n，n3)，,(5)在抛物线上是否存在一点G，使得SACG2？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；,例题图,【思维教练】观察图形可知ACG的面积为 AC|yG|，根据题意先假定在x轴上方的抛物线上存在一
19、点G，然后过点G作GGx轴于点G，设点G的横坐标为g，以AC为底，GG为高即可得到SACG关于g的函数解析式，再令其函数值为2，求解即可；然后在x轴下方的抛物线上假定存在一点G，同理求解即可；,(5)在抛物线上是否存在一点G，使得SACG2？若存在，,(5)存在如解图，过点G作GGx轴于点G，设点G的坐标为(g，g22g3)，(i)当点G在x轴上方时，g22g30，SACG ACGG 4(g22g3)，SACG2，4(g22g3)2，g22g31，解得g11，g21，G点坐标为(1，1)或(1，1)；,例题解图,(5)存在例题解图,(ii)当点G在x轴下方时，如解图，g22g30，则GG(g2
20、2g3)g22g3，SACG ACGG 4(g22g3)2，解得g31，g41，G点坐标为(1，1)或(1，1)，综上所述，G点坐标为(1，1)，(1，1)，(1，1)或(1，1)；,例题解图,(ii)当点G在x轴下方时，例题解图,(6)已知点P是第二象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，设点P的横坐标为p，ABP的面积为S.求S关于p的函数关系式；求当p为何值时，S有最大值，最大值是多少？,例题图,(6)已知点P是第二象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，设,【思维教练】要求ABP的面积，观察发现不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用“分割法”，作PPy轴交直线AB于点P，则PP将ABP分
21、成APP和BPP两部分，在这两部分中分别以PP为底表示出两个三角形的面积，求和即是ABP的面积；结合二次函数的性质求S的最大值及此时的p值,(6)点P在抛物线上，点P的坐标为(p，p22p3)，如解图，过点P作PPy轴交直线AB于点P，则P(p，p3)，PP(p22p3)(p3)p23p，,例题解图,【思维教练】要求ABP的面积，观察发现不易采用面积公式直,SABPSAPPSBPP PPAO(p23p)3 p2 p，即S p2 p(3p0)；将S p2 p化为顶点式得S(p)2，当p 时，S有最大值，最大值为.,SABPSAPPSBPP PPAO,1.(2015成都B卷28题12分)如图，在平
22、面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；(3)设点P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上以AD为边，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由；,真题呈现,1.(2015成都B卷28题12分)如图，在平面直角坐标系,以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点
23、的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由,第1题图,备用图,以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形,解：(1)点A的坐标为(1，0)；(1分)直线l经过点A，0kb，得bk，ykxk，令ax22ax3akxk，即ax2(2ak)x3ak0，CD4AC，点D的横坐标为4，(2分)由根与系数的关系可知，x1x2 3 14，ka，直线l的函数表达式为yaxa；(3分),解：(1)点A的坐标为(1，0)；(1分),(2)如解图，过点E作EFy轴，交直线l于点F，设E(x，ax22ax3a)，则F(x，axa)，EFax22ax3a(axa)ax23ax4a，S
24、ACE SAFESCFE EF(x1)EFx EF(ax23ax4a)a(x)2 a.(5分)a0，ACE的面积的最大值为 a，又ACE的面积的最大值为，a，解得a；(7分),第1题解图,(2)如解图，过点E作EFy轴，交直线l于点F，第1题解,(3)能以AD为边，点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：假设以点A，D，P，Q为顶点的四边形是矩形，令ax22ax3aaxa，即ax23ax4a0，解得x11，x24，D(4，5a)，yax22ax3aa(x1)24a，抛物线的对称轴为x1，(8分)设P(1，m)，此时有关系式xPxQxDxA，xQ4，代入抛物线解析式得yQ21a，,(
25、3)能,Q(4，21a)，如解图所示，则m21a5a26a，P(1，26a)，四边形ADPQ为矩形，ADP90，AD2PD2AP2，52(5a)2(14)2(26a5a)2(11)2(26a)2，即a2，a0，a，P(1，)；(10分),第1题解图,Q(4，21a)，如解图所示，第1题解图,能以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为(，)，对角线AD，PQ交于一点，此时有关系式xQxAxDxP，xQ2，代入得yQ3a，Q(2，3a)，如解图所示，则m5a(3a)8a，P(1，8a)，,第1题解图,能第1题解图,四边形APDQ为矩形，APD90，AP2PD2AD2，(11)2(8a)2(14)2(8a5a)252(5a)2，即a2，a0，a，P(1，4)(12分),四边形APDQ为矩形，,点击链接至练习册W,
