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1、第十章 平面图形的几何性质,第十章 平面图形的几何性质,确定尺寸,拉压：应力均布，仅需满足，不考虑形状；,扭转与弯曲？,材料力学任务之一,应力分布是否均匀？,是否也不考虑形状？,与截面大小、形状有关,确定尺寸拉压：应力均布，仅需满足，不,10-1 形心和静矩10-2 极惯性矩、惯性矩和惯性半径10-3 组合图形的惯性矩,第十章 平面图形的几何性质,10-1 形心和静矩第十章 平面图形的几何性质,y,z,o,y,z,一、截面形心 C 的坐标,均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标。,10-1 形心和静矩,yzo dA yz一、截面形心 C 的坐标均质薄板的重心与平,二、静矩,定义微元对 z,
2、y 轴的静矩为：,静矩可正，可负，也可能等于零。,平面图形面积与某一轴的一次矩,，,定义图形对 z,y 轴的静矩为：,oyz二、静矩dA yz定义微元对 z,y 轴的静矩为,截面对形心轴的静矩,若截面对某一轴的静矩等于零，,三、已知形心求静矩,则该轴必过形心。,等于零。,同样，已知静矩可求形心,截面对形心轴的静矩若截面对某一轴的静矩等于零，三、已知形心求,四、组合截面形心计算,等于截面各组成部分对于同一轴的静矩之代数和。,组合截面对某一轴的静矩：,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,四、组合截面形心计算等于截面各组成部分对于同一轴的静矩之,1、组合截面静矩的计算公式,2、组合截面形心坐标的公
3、式,1、组合截面静矩的计算公式2、组合截面形心坐标的公式,例1:已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。,例1:已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。,20,100,20,例2：求图示图形的形心,100,2010020例2：求图示图形的形心100oyx,例3：求图示图形的形心,20,200,200,10,10,例3：求图示图形的形心202002001010A1A2A3x,10-2 极惯性矩、惯性矩和惯性半径,一、极惯性矩,微元对坐标原点的极惯性矩,图形对坐标原点的极惯性矩,zy10-2 极惯性矩、惯性矩和惯性半径一、极惯性矩微元对,二、惯性矩,1、微元对z轴的惯性矩,2、图形对z轴的惯性
4、矩,平面图形对某一轴的二次矩,长度的四次方，,总为正,同理,zy二、惯性矩1、微元对z轴的惯性矩2、图形对z轴的惯性,3、极惯性矩与惯性矩之间的关系,图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，,等于它对该两轴交点的极惯性矩。,zy3、极惯性矩与惯性矩之间的关系图形对任意两个互相垂直轴的,4、几种常见截面对本身形心轴的惯性矩,y,dy,c,(1)、矩形截面,4、几种常见截面对本身形心轴的惯性矩zybhydyc(1),扭转,（2）实心圆截面：,扭转（2）实心圆截面：,(3)、空心圆截面,(3)、空心圆截面dDzy,三、惯性半径,惯性半径,（单位：）,三、惯性半径惯性半径（单位：）zy,惯性积则可能为正
5、值，负值，,也可能等于零。,图形对y、z两轴的惯性积,微元对 x,y 轴的惯性积为,四、惯性积,惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。图形对y、z两轴的惯,图形的对称轴，,若坐标轴中有一个为,则图形对这对坐标轴的惯性积,一定等于零,在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？,图形的对称轴，若坐标轴中有一个为则图形对这对坐标轴的惯性积一,若,则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。,对称轴一定是主轴，,主轴,主轴不一定是对称轴,若则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。对称轴一定是主轴，主轴主,对形心主惯性轴的惯性矩。,主惯性轴：,图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零;,主惯性矩：,对主惯性轴的惯性矩。,形
6、心主惯性轴：,通过图形形心的主惯性轴。,形心主惯性矩：,几个常用概念,对形心主惯性轴的惯性矩。主惯性轴：图形对一对正交的坐标轴的惯,10-3 组合图形的惯性矩,（a,b)：,形心C 坐标,一、平行移轴公式,y,z,10-3 组合图形的惯性矩（a,b)：形心C,同理得到：,惯性积,zyzcycdAbayczcCyz同理得到：惯性积,平行移轴公式,1 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;,2 图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.,注意：,平行移轴公式 1 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任,二、组合截面的惯性
7、矩 惯性积,二、组合截面的惯性矩 惯性积,例1：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。,(1)求形心,zc,yc,C,任选参考坐标系,20cm3173例1：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。(1,(2)求,(2)求20cm3173zcycCIII,一、转轴公式,逆時针转取为+号，,5 转轴公式与主惯性轴,一、转轴公式 逆時针转取为+号，5 转轴,同理,改写为,同理改写为,并且,主轴的方位,并且主轴的方位,主惯性矩,计算主惯性矩的第一组公式,主惯性矩计算主惯性矩的第一组公式,0 0+,从而确定了一对坐标轴yo和 zo,惯性积Iy1z1=0,该对坐标轴是图形的主轴,惯性矩的极值方位就是主轴方位,求 惯
8、性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标,图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算,图形对主轴的惯性矩,图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩,几个结论,1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；,2 在过同一点的所有正交轴中，,图形对主轴的惯性矩,另一个为最小值；,一个为最大值，,3 此公式适用于水平轴为y轴,几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常,1 确定形心 的位置,2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 yc，zc,求形心主惯性矩的步骤,计算图形对形心轴的惯性矩 Iy,Iz 和惯性积 Iyz,3 确定主惯性轴的位置,0 0+,1 确
9、定形心 的位置2 选择一对通过形心且便于,4 计算形心主惯性矩,5 方位与形心主惯性矩的对应关系,如果,4 计算形心主惯性矩5 方位与形心主惯性矩的对应,确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩,确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩707016011,（1）首先确定图形的形心。,(2)利用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积,矩形I,（1）首先确定图形的形心。(2)利用平行移轴公式分别求出,矩形：,矩形：,矩形：矩形：7070160111111yz,整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为,（3）形心主轴方位,逆时针旋转,70,70,160,11,11,11,整个图形对轴和
10、轴的惯性矩和惯性积为（3）形心主轴方位逆时针旋,（4）0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置,（4）0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置7,例 计算所示图形的形心主惯性矩。,20 c10101207080例 计算所示图形的形心主,20 c10101207080yz,形心主惯形矩为,形心主轴的位置,逆时针转 113.80,对应主惯性矩的最大值,形心主惯形矩为形心主轴的位置逆时针转 113.80对应主惯性,1、正交坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是：。A：IYZ0；B：SYSZ0；C：SYSZ0，IYZ0；D：IYIZ0，IYZ0,1、正交坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性
11、轴的条件是：,2、图示中圆截面的直径为d，当其圆心沿X轴向右移d/2时，该图形对Y轴的惯性矩为()，静矩()。,2、图示中圆截面的直径为d，当其圆心沿X轴向右移d/2时，该,3、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。该图形对形心主轴的惯性矩IY为（），IZ为（）。,3、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。该图形对形心,4、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对Z轴的惯性矩为（）。,4、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对Z,5 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。,5 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。,6 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截
12、面，试比较其形心主惯性矩的大小。,6 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主,7、在直径D的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩Ix和Iy。,7、在直径D的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截,8 求图示截面的惯性积。,8 求图示截面的惯性积。,9 试确定图示各截面的形心位置。,9 试确定图示各截面的形心位置。,10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。,10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。,小结,1、静矩与形心,2、极惯性矩,3、惯性矩,4、平行移轴公式,小结1、静矩与形心2、极惯性矩3、惯性矩4、平行移轴公式,本章结束,本章结束,
