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1、Chapter 1(2),方阵的行列式,Chapter 1(2)方阵的行列式,教学要求：,1.了解行列式的定义和性质;,2.掌握三阶、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式;,3.了解排列与对换;,4.会用Gramer法则解线性方程组.,教学要求：1.了解行列式的定义和性质;2.掌握三阶、四阶,线性代数12方阵的行列式课件,定义1.二阶行列式定义为,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,定义1.二阶行列式定义为主对角线副对角线对角线法则二阶行列,定义2.三阶行列式定义为,三阶行列式的计算,-对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,定义2.三阶行
2、列式定义为三阶行列式的计算-对角线法则注,说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,考察三阶行列式如下：,说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2.,线性代数12方阵的行列式课件,定义3.代数余子式,剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式,定义3.代数余子式剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式,定义4.,是一个算式，且,定义4.是一个算式，且,注意：,行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的.,(3)定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开.由此可计算一些行列式.,Example1.,注意：行列式是一
3、些乘积的代数和，每一项乘积都是由行(3)定,Proof.,（数学归纳法）,Proof.（数学归纳法）,不是对角行列式，,不是对角行列式，,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质1 行列式与它的转置行列式相等.行列式 称为,例如,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数 乘此行列式.,例如推论 如果行列式有两行(列)完全相
4、同,则行列式为零.证明,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,注意与矩阵数乘运算的区别,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符,性质5若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质5若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一,性质7.行列式按行（列）展开法则,下面证明:,证,性质7
5、.行列式按行（列）展开法则下面证明:证,线性代数12方阵的行列式课件,相同,同理,相同同理,性质8.Laplace定理,(2)Laplace定理,性质8.Laplace定理(2)Laplace定理,线性代数12方阵的行列式课件,为方便起见，引用以下符号：,其一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值.,为方便起见，引用以下符号：其一、利用行列式的性质，或通过将行,Solution.,Solution.,ex3.已知204,527,255三数都能被17整除，不计算行列式的值，证明三阶行列式,也能被17整除.,Solution.,ex3.已知204,527,255三数都能被
6、17整除，也能被,Solution.,Solution.,线性代数12方阵的行列式课件,Solution.,Solution.,Solution.,其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑.,Solution.其二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应,Solution.,Solution.,故原方程的解为,故原方程的解为,思考,其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后由定义按该行(列)展开.,思考其三、根据行列式的特点，利用行列式的性质，将行,Solution.,Solution.,Solut
7、ion.,Solution.,线性代数12方阵的行列式课件,线性代数12方阵的行列式课件,其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数学归纳法计算或证明行列式的值.,其四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利用数,Solution.,（数学归纳法）,Solution.（数学归纳法）,线性代数12方阵的行列式课件,这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，,可见Vandermonde（范德蒙）行列式为零的充要条件是,注意,不是Vandermonde行列式,这个行列式称为Vandermonde（范德蒙）行列式，可见V,解法1,其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶同型行列式的
8、线性关系，再由递推法得出结果.,解法1其五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成低阶,线性代数12方阵的行列式课件,解法2,解法2,其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角行列式来计算.,其六.当行列式为三线非0行列式时，将其转化为三角,其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一行一列.用于主对角线上元素不同，其余元素相同(或各行其余元素成比例)的行列式.,Solution.,其七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加上一Solutio,线性代数12方阵的行列式课件,线性代数12方阵的行列式课件,Solution.,Solution.,定义1.,如2431是一个4级排列.,定义2.
9、,在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.,定义1.如2431是一个4级排列.定义2.在一个排列中,如,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,例如 排列32514 中，3 2 5 1,定义3.,逆序数为偶数的排列称为偶排列;,逆序数为奇数的排列称为奇排列.,定义4.,在一个排列中某两个数的位置调换，而其余的数不动，从而构成一个新的排列，这种调换叫做对换.,将相邻两个数字对换，叫做相邻对换
10、.,结论1.,对换改变排列的奇偶性.,定义3.逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为,结论2.关于n阶行列式的另一定义,结论2.关于n阶行列式的另一定义,ex14.已知,Solution.,含 的项有两项,即在,中对应于,ex14.已知Solution.含 的项有两项,即在,线性代数12方阵的行列式课件,1.线性方程组,当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形式为:,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,1.线性方程组当方程个数与未知数个数相同时,线性方程组的形,2.Gramer法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,2.Gramer法则
11、如果线性方程组的系数行列式不等于零，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为,其中 是把系数行列式 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解其中,证明,在把 个方程依次相加，得,证明在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组(2)有唯一的一个解,由代数余子式的性质可知,于是当 时,方程,也是方程组(1)的解.,3.重要定理,定理1.如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方 程组一定有解，且解是唯一的.,定理2.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为0.,由于方程组 与方程组 等价,故也是方程,推论1.如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组只有唯一零解.,推论2.如果齐次线性方程组有非零解，则它的 系数行列式,推论1.如果齐次线性方程组的系数行列式,Solution.,Solution.,Solution.,要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零.,The end,Solution.要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列,
