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1、第二节 方阵行列式的性质,从行列式的定义我们可以看出，要利用行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦的，因为它要涉及到n!项的和，而且每一项均为n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的一些基本性质，以后我们计算行列式的值主要是采用本节的性质将行列式化为上三角形式或下三角形式，然后利用上（下）三角形行列式的值等于其主对角线上元素之积。,第二节 方阵行列式的性质 从行列式的定义,性质1（分列/行可加性）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D 等于下列两个行列式之和：即,一、行列式的性质,性质1（分列/行可加性）若行列式的某一列,=,|AT|,性质2 方阵A与其转置矩阵AT的行列式值相等,即|A|
2、=|AT|。,由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。,=|AT|性质2 方阵A与其转置矩阵AT的行列式值相等,即,性质3 若方阵A的第i行(列)k倍所得的矩阵为B，则|B|=k|A|,推论2.1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.即,性质3 若方阵A的第i行(列)k倍所得的,例如,性质4 若方阵A经过一次换法变换化为B，则|B|=-|A|。,推论2.2 如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零.,推论2.2 如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零.证明 把这两行互换，有 D=D，故 D=0.,
3、例如 性质4 若方阵A经过一次换法变,例如,推论2.3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.,性质5 消法变换不改变行列式的值。即若B=P(i,jk)A或B=A P(i,jk)，则|B|=|A|.,此性质由性质1及推论2.3即得。,例如 推论2.3 行列式中如果有两行（列）元素,例如,例如,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算,例1 计算（教材P51例3.1),。,解 利用行列式的性质,例1 计算（教材P51例3.1)。解,=40。,=40。,例2.计算,。,解:利用行列式的性质
4、得,(P45),例2.计算。解:利用行列式的性,例3 计算,。,解:从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。,例3 计算。解:从倒数,同理，可得,。,同理，可得。,例4 计算,解:把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行。,例4 计算 解:把所有列都加到第一列上去,线性代数22节_方阵行列式的性质课件,解：,（因为第三行和第四行元素相同）,例5 计算,解：12rr-（因为第三行和第四行元素相同）例5 计算,例6 计算 阶行列式,解:,将第 都加到第一列得,例6 计算 阶行列式解:将第,线性代数22节_方阵行列式的性质课件,例如,教材P45
5、例2.2中,a=3,b=1,n=4,故有D=48,又如,教材P48(B)1-1),a=1,b=0.5,n=4,故有,D,再如,教材P48(B)2-1),a=x,b=a,故有,D,例如,教材P45例2.2中,a=3,b=1,n=4,故有又如,方阵的行列式是矩阵的一种运算，根据相应的性质，方阵的行列式具有如下的运算规律。,设A、B均为 n阶的方阵，为常数，m为正整数，则,1）|A|=n|A|;,2）|AB|=|BA|=|A|B|;,3）|Am|=|A|m,1)显然，3）是2）的特例，所以，我们仅证明2）,设A=(aij),B=(bij)。记 2n 阶行列式,方阵的行列式是矩阵的一种运算，根据相应的
6、性质,显然，D=|A|B|,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第2列，bnj 乘第 n 列,都加到第 n+j 列上（j=1,2,n),有,显然，D=|A|B|,而在,D=,即,D=即,其中 C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj,故 C=AB。,再对 D 的行作 rj rn+j（j=1,2,n），有,从而有,于是|AB|=|A|B|。,D=(1)n|E|C|=(1)n(1)n|C|=|C|=|AB|。,值得注意的是，一般|A+B|A|+|B|.,其中 C=(cil),cij,例7.设A,B 均为 n 阶方阵,且,证明,例7.设A,B 均为 n 阶方阵且证
7、明,例8(教材P48(B)2-2)计算 n阶方阵的行列式,解:,(利用性质|AB|=|A|B|),例8(教材P48(B)2-2)计算 n阶方阵的行列式解:(,注:习题课教程P44例16对本题有另一解法.,注:习题课教程P44例16对本题有另一解法.,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,2.计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,1.行列式的5个性质及三个推论,行列式的概念是基础，,行列式的性质是关键，,行列式的计算是重点，,用行列式解方程组是目的.,请大家牢记以下四句话：,思考题,(教材P48（B）第5题),思考题(教材P48（B）第5题),思考题解答,解,（分拆法）将D拆成两个行列式之和，即,思考题解答解（分拆法）将D拆成两个行列式之和，即,利用分拆变换计算行列式称为分拆法，此法比较适合分拆后所得行列式易于计算或可以抵消，分拆法往往需要一定的技巧,利用分拆变换计算行列式称为分拆法，此法比较适合分拆后所得,
