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1、1,从上一章可以看出,利用将函数f(z)在其解析的环域R1|z-z0|R2内展开成Laurent级数的方法,根据该级数的系数的积分表达式可以计算右端的积分.这类积分非常广泛,其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭曲线.C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多个奇点.,有时将函数展开成Laurent级数,求系数C-1很麻烦.这就需要介绍一种求C-1的新方法：用留数计算积分的方法.,2,例 计算积分解：先分析函数 的解析性。显然它的奇点值满足的，其奇点构成了实轴上的区间，因此它在环域 内解析。于是令，利用得它在环域 内的Laurent 级数的展开式于是取，得其积分值,第五章 留数及其应用,5-1 函
2、数的孤立奇点及其分类5-2 留数和留数定理5-3 留数在定积分计算中的应用5-4*对数留数与幅角原理,4,5-1 函数的孤立奇点及其分类,一、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型四*、函数在无穷远点的性态,5,例1,是函数,的孤立奇点.,一、函数孤立奇点的概念及其分类,6,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,7,例3 指出函数 的孤立奇点,解：z=0是函数f(z)的奇点,zk=2/(2k+1)(k为整数)是它的孤立奇点.由于当 时，因此,z=0是它的奇点而不是孤立奇点.另外,f(z)在环域 内解析，是它的孤立奇点.,8,讨论函数在孤立奇点的情况
3、,则在去心邻域,可以展开成Laurent级数:,下面根据 cn 的不同情况,对孤立奇点分类：,其中,C为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭路。,9,定义 若级数中含(z-z0)的负幂项的项数分别为零个,有限个,无穷多个,则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点.且当z0为极点时若级数中负幂的系数则称z0为它的m级极点,一级极点又称为简单极点.,根据展开式可能出现的不同情况，将f(z)的孤立奇点作如下分类：,10,1 可去奇点,如果Laurent级数中不含 的负幂项,则称孤立奇点 称为 的可去奇点.,定义,二、函数各类孤立奇点的充要条件,11,可补充定义,存在，,则 必是 的可去奇
4、点。,事实上：,在 的某邻域,有界。,12,即,这样得到下面的结论：,13,由定义判断:,幂项,由极限判断：,若极限 存在且为有限值,的可去奇点的充要条件为,注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点,且规定,14,如果补充定义:,时,15,解,无负幂项,另解,16,2 极点,即,定义,负幂项,17,则,由极点的定义,18,注意到:,是二级极点,是一级极点.,由此得：,19,的Laurent展开式中含有,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,由定义判别：,由定义的等价形式判别：,20,练习,答案,21,3 本性奇点,例如，,含有无穷多个z的负幂项,22,综上所述:,孤立奇点,可去
5、奇点,m级极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,23,4.函数的零点,例6,24,25,m 级零点的判别方法,零点的充要条件是,推论 若点z0为函数fk(z)的mk级零点(k=1,2),则z0为函数f1(z)f2(z)的m1+m2级零点；当m1m2时,z0为函数f1(z)/f2(z)的m1-m2级零点.,26,m 级零点的判别方法,零点的充要条件是,证(必要性),由定义:,27,其中,展开式的前m项系数都为零,由Taylor级数的系数,公式知:,并且,充分性证明略.,28,(1)由于,练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,
6、答案,29,定理,的 m 级零点.,证明,当 时,反过来也成立.,三、用函数的零点判断极点的类型,30,由于,只要令,那末,当 时,解析且,31,说明,简便的方法.,解,这些奇点是,孤立奇点.,此定理为判断函数的极点提供了一个较为,32,解,注:不能以函数的表面形式作出结论.,33,例10求下列函数孤立奇点的类型，指出极点级数(1),解：z=1和-1为函数f2(z)的奇点，取 和，z=1和-1分别为f2(z)的二级极点和二级极点。,34,(2),解：点z0=0为f(z)=z 的一级零点；函数 的零点为，且 在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数 的一级零点。由定理2的推论2，z=0为函数 的
7、二级零点，又由推论1，它为f4(z)的二级极点，同理，为f4(z)的简单极点,定义 设函数f(z)在无穷远点去心邻域内解析,则称点为f(z)的一个孤立奇点.,设点为f(z)的孤立奇点,利用变换 t=1/z,于是,在去心邻域:,四*、函数在无穷远点的性态,(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域 N-,有扩充z平面上的原点的去心邻域;,(2)在对应点z与z上,函数,(3),或两个极限都不存在.,定义 若z=0为,的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=为f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.,设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将,展成洛朗级数:,则有,其中,上式
8、为f(z)在无穷远点去心邻域N-:0r|z|+内的洛朗展式.对应,在z=0,的主要部分.,为f(z)在z=,的主要部分.,我们称,定理 f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在 的主要部分为零;(2)(3)f(z)在 的某去心邻域N-内有界.,定理 f(z)的孤立奇点z=为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:,(1)f(z)在 z=的主要部分为,(2)f(z)在z=的某去心邻域N-内能表成,其中 在z=的邻域N内解析,且,(3)g(z)=1/f(z)以z=为m级零点(只要令g(z)=0).,定理 f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是,定理
9、 f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂不等于零;,广义不存在(即当z趋向于时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).,(2),例1,例2 将多值函数,在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗级数.,例3 求出函数,的全部奇点,并判断其类型.(含点),例4 问函数,在z1的去心邻域内能否展开为洛朗级数？,例5 设f(z)在0|z-a|R内解析,且不恒为零;又若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点.试证a必为f(z)的本性奇点.,43,本节要点,理解孤立奇点的分类（包括无穷远点）会用充要条件或求极限的方法判断孤立奇点的具体类型.,44,第五章作业：P1831.（1）（2）（6）（7）8.（1）（2）（4）（7）9.（1）（2）13.（1）（3）（5）,
