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1,第四节 函数的极限,2,函数的自变量的变化过程可分为两种情况：,一、基本理论,3,函数极限的-定义:,注1:,注3:,注2:,4,几何解释：,5,2.极限的局部保号性,定理1:,6,由定理1,定理1:,定理2:,问题：比较定理1、2，注意“”和“”，为什么？,7,3.左、右极限，函数极限存在的充分必要条件,左、右极限：,8,左、右极限的-定义:,左极限：,右极限：,注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。,极限存在的充要条件：,定理3：,9,函数极限X定义：,-描述性定义。,10,单边极限的定义:,11,12,定理:,证,（必要性）,则,（充分性）,则,13,6.数列极限与函数极限之间的关系,数列是以正整数集为定义域的函数，即,（1）,（2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。,14,证,例1 用定义证明,二、例题,用极限的定义证明 函数的极限，关键 是找到,P3,15,16,即,取,17,证:,对于,由于,取,所以,18,证,例4,19,注：用定义证明函数极限 的步骤,取,由不等式,经一系列地放大可得：,（其中C为常数）,解不等式,得,则当,时，总有,即,20,因为：,不存在。,由定理3知：,21,解：,例6（记录）,证,设,而,不存在。,（记录）,22,注：极限不存在的几种典型例子,振荡，如：,23,
