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1、第六章 力 法,6-1 超静定结构的组成和超静定次数,6-2 力法基本原理,6-3 力法举例,6-4 支座移动的计算,6-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算,6-7 超静定结构的位移计算及力法计算校核,6-6 力法简化计算,1,第六章 力 法6-1 超静定结构的组成和,超静定结构有如下特征：1)从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系,6-1 超静定结构的组成 和超静定次数,一、超静定结构的组成,B支座或A支座的转角约束均可视为多余约束。,2,超静定结构有如下特征：6-1 超静定结构的组成,四个未知量，三个方程，解答不唯一！,2)若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支
2、座反力不能够由平衡方程唯一确定。,平衡方程,欲使内力解答唯一，还需补充位移条件。,3,四个未知量，三个方程，解答不唯一！2)若只考虑静,二、超静定次数,超静定次数 n=结构多余约束数目。,为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆除的多余约束数。,规则：1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；,4,二、超静定次数超静定次数 n=结构多余约束数目。为,3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束；4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。,例：,a),原结构,5,3）去掉一个固定支座或切断一根梁
3、式杆，相当于去掉三个约束；例,b),n=2,n=2,n=2,原结构,6,b)n=2n=2n=2原结构6,c),d),7,c)n=3原结构d)n=2原结构7,f),不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除。,8,f)n=3 不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把,6-2 力法基本原理,一、一次超静定结构的力法计算,1.力法的基本未知量和基本体系,以多余未知力作为基本未知量。拆除所有多余约束，用相应的未知力代替。,FP,A,B,基本体系,拆除所有多余约束后得到的含有多余未知力的静定结构称为力法基本体系。基本体系与原结构内力、变形完全相同。,9,6-2 力法基本原理一、
4、一次超静定结构的力法计算1.,EI,FP,（BV=0）,A,B,l/2,l/2,原结构,1P,A,B,11,+,FP,A,B,A,B,11,）,(,X1,基本体系对应的静定结构称为基本结构。,10,EIFP（BV=0）ABl/2l/2原结构AB基本结构FP,2.力法方程,力法方程为,基本体系的位移=原结构的位移,原结构B截面竖向位移,因为,方程可写为,11,2.力法方程力法方程为基本体系的位移=原结构的位移原结,讨论：,1）力法方程是位移方程。2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和多余约束力X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构在该处的位移。3）系数的物理意义：,基本结构在X1=1作用下沿
5、X1方向的位移。,基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。,12,讨论：1）力法方程是位移方程。基本结构在X1=1作用下沿,3.力法计算,B,1)求系数及自由项,13,3.力法计算BlABl/2图FPAMP图1)求系数及自,3)作内力图,2)求未知力X1,14,3)作内力图2)求未知力X1M图FQ图AB14,二、多次超静定结构的力法计算,拆除所有多余约束，用相应多余约束力代替，得基本体系。基本体系与原结构内力、变形相同。,15,二、多次超静定结构的力法计算拆除所有多余约束，用相应多余约束,16,AFPABCD2P1P3PBCD221232X2,力法方程为,主系数：11、22、33恒大于零。,副系
6、数：ij(ij)可能大于、等于或小于零。,i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。,iP荷载产生的沿Xi方向的位移ij柔度系数 单位力Xj=1产生的沿Xi方向的位移,位移互等：ij=ji。,17,力法方程为主系数：11、22、33恒大于零。副系数：,得Xi。由基本体系求内力：,解力法方程,18,得Xi。由基本体系求内力：解力法方程18,6-3 力法举例,一、连续梁,用力法解连续梁时，其基本体系是将杆件在中间支座处变为铰，如下图所示。,原结构 B=0 C=0,19,6-3 力法举例一、连续梁 用力法解连续梁时，,B=0 B左右截面相对转角等于零。C=0 C左右截面相对转角等于零。,位移方程,
7、20,B=0 B左右截面相对转角等于零。位移方程ABCD,1.力法方程,方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数的物理意义。,2.方程求解,图、图及MP图见下页图示。这些弯矩图的共同特征：弯矩图局部化。,好处：ij、iP图乘计算量小(只需局部图乘)。,21,1.力法方程 方程各系数示于上页图中。讨论方程和系数,22,ABCDMP图ABCDX1=11图ABCDX2=11图22,将系数代入力法方程就得到：,解方程得：,3.作内力图,1)根据下式求各截面M值，然后画M图。,23,将系数代入力法方程就得到：解方程得：3.作内力图1)根,2)根据M图求各杆剪力并画FQ图。,M图,AB杆：,24,2)根据M
8、图求各杆剪力并画FQ图。ABFQABFQBAl,很容易求得CD杆剪力为:,FQ图,BC杆：,25,BCFQBCFQCBl很容易求得CD杆剪力为:FQ图ABCD,二、超静定刚架,例6-3-1 求图示刚架M图。,1.力法方程,26,二、超静定刚架例6-3-1 求图示刚架M图。1.,2.方程求解,27,2.方程求解ABCX1=111图E1I1 lE2I2 l,28,ABCX1=111图E1I1 lE2I2 lABCX2=1,将求得的系数代入力法方程就得到：,解方程得：,29,将求得的系数代入力法方程就得到：解方程得：29,3.讨论,1）当k=0，即E2I2E1I1，则,刚架弯矩图为：,可见，柱AB相
9、当于在横梁BC的B端提供了固定约束。,30,3.讨论1）当k=0，即E2I2E1I1，则刚架弯矩图,2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。,3）当k=，即E2I2E1I1。由于柱AB抗弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当于简支梁，M图见图b)。,31,2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。3）当k=，即E2I2,结论：在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚度的比值有关，而与杆件刚度的绝对值无关。若荷载不变，只要刚度比值不变，结构内力也不变。,本例中，由于忽略轴向变形和剪切变形，故只涉及弯曲刚度。若考虑轴向变形和剪切变形，则只要所有杆件的抗弯刚度EI、轴向刚度EA及剪切刚度kGA同比例变
10、化，则结构内力不变。,32,结论：本例中，由于忽略轴向变形和剪切变形，故,三、超静定桁架,以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。,原结构,33,三、超静定桁架 以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处,基本体系I：,力法方程：,力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，杆AB切口左右截面轴向相对位移等于零。基本结构中包括AB杆。,基本体系I,拆除的是刚性约束！,34,基本体系I：力法方程：力法方程的物理意义是：基本结构,基本体系II：,力法方程：,力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的缩短。基本结构
11、中不包括AB杆。,拆除的是弹性约束！,35,基本体系II：力法方程：力法方程的物理意义是：基本结,例6-3-2 求上图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。,根据上述基本体系I求得各杆FNP及 标于图中。,解:,36,例6-3-2 求上图示桁架各杆轴力，各杆EA相同。根据,37,37,求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：,38,求得未知量后，桁架各杆轴力按下式计算：FN图38,四、排架,39,四、排架E1I1E2I2E1I1E2I2EA 39,例6-3-3 求图示排架M图。,排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本结构。这样，MP图和 图局部化，求解力法方程系数比较简单。,40,例6-3-3 求图
12、示排架M图。EIEI原结构5k,解：,1）基本体系和力法方程,2）求系数和自由项,方程物理意义：横梁切口左右截面轴向相对位移等于零。,41,解：1）基本体系和力法方程基本体系5kN/mX2X1MP图9,42,X1=166图X2=128图2842,4）作M图,M图(kN.m),3）求多余未知力,43,4）作M图M图(kN.m)1.475m45.7525.581,静定结构：支座移动不引起内力，杆件刚体位移。超静定结构：支座移动引起内力，杆件产生变形。,原结构,（受X1及支座转角共同作用）基本体系有支座移动,（只有X1作用）基本体系无支座移动,6-4 支座移动的计算,44,静定结构：支座移动不引起内
13、力，杆件刚体位移。原结构（受X1及,（受X1及支座转角共同作用）,解：,1）选两种基本体系如下图示,2）力法基本方程,位移条件,力法方程,（只有X1作用）,45,（受X1及支座转角共同作用）解：1）选两种基本体系如下图示,3）求系数和自由项,4）求未知力X1,46,3）求系数和自由项4）求未知力X1AB图X1=1AB图X1=,5）作内力图,在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示，则力法方程成为：,47,5）作内力图 在基本体系II中，若X1为逆时针方向，,小结：,1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可以保留有支座移动，也可以没有支座移动。应当尽量取无支座移动的基本体系。2）当
14、基本体系有支座移动时，自由项按下式求解：,为基本体系由X=1产生的支座反力；,为基本体系的支座位移。,3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。,48,小结：1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上可以保留,例6-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数iC。,解:,1）取两种基本体系如下图示,49,例6-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数iC。解,基本体系I,基本体系II,2）建立力法方程,讨论方程及系数的物理意义。,50,基本体系I基本体系IICABbX1X2AH=-a2）建立,基本体系I,3）求自由项,本例主要讨论自由项的求法，其余计
15、算略去。,51,基本体系IlBCX1=1l10图A3）求自由项本例主要讨论,基本体系II,52,ABCX2=1图11基本体系IIABC1X1=1图l52,单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图,1),53,单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图1)AB图X1=11ABEI,54,2)ABEI,lAB图X1=1lABM图FQ图AB54,55,3)ABEI,lAABX1X2ABX1=11图AB1X,56,FQ图ABABM图4)ABEI,lAABM图图ABX1=,57,5)ABEI,lABX2=1lABX1X2图ABX1=,依据3)，很容易得到右图示内力图。,58,ABM图FQ图AB依据3)，很容易得到右图示内
16、力图。ABM图,6-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算,一、温度变化时的计算,下面通过例题进行说明。,例6-5-1 图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。，到冬季时室外温度为-35。，室内保持不变，求M图。各杆EI相同，线膨胀系数为。,59,6-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算一、温度变化,1)温度改变值：,所以,2)力法方程,解：,3)求未知力,60,1)温度改变值：所以2)力法方程解：3)求未知力X1,4)作弯矩图,超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件刚度成正比。,61,4)作弯矩图 超静定结构在温度变化或支座移动作用下，,二、具有弹簧支座结构的力法求解,弹簧支座分为拉压弹簧
17、支座和转动弹簧支座两类，如下图示。,62,二、具有弹簧支座结构的力法求解 弹簧支座分为拉压弹,解：,1)将拉压弹簧与杆端C分开，取基本体系如图示。,2)力法方程,3)求系数和自由项,例6-5-2 求下图示刚架M图。,63,解：1)将拉压弹簧与杆端C分开，取基本体系如图示。,64,ABCMP图ABCX1=1图ll64,4)求未知量并作弯矩图,若基本体系保留有弹簧支座，则求方程的系数比较繁琐，应尽量避免。详见下面的例。,65,4)求未知量并作弯矩图 若基本体系保留有弹簧支座，,例6-5-3 求下图示具有弹簧支座梁的M图。,解：,1)基本体系见图 b)。,2)力法方程：,3)求系数和自由项：,66,
18、例6-5-3 求下图示具有弹簧支座梁的M图。解：1,67,ABX1=11图ABX1=1产生的变形图X1=1AB荷载产生,4）求未知力并作M图,68,4）求未知力并作M图ABMP图ABM图ABX1=11图68,6-6 力法简化计算,一、力法简化计算的思路,若结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法方程为：,69,6-6 力法简化计算一、力法简化计算的思路 若,在上列方程中，主系数ii恒大于零，副系数 ij（ij）则可能大于零、等于零或小于零。,若能使全部副系数ij等于零，则方程组解耦，力法方程变为：,即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副系数等于零，则力法计算也将大大简化。所以，力法简化计
19、算的目的：使尽可能多的副系数等于零。,70,在上列方程中，主系数ii恒大于零，副系数 ij,二、非对称结构的简化计算,对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 图及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本结构时应考虑这一因素。,71,二、非对称结构的简化计算 对于非对称结构，为简化计算，,排架结构基本体系,72,排架结构X2X1EA EA 多跨刚架72,三、对称结构的简化计算,对称结构：结构的几何形状、支承条件、杆件的材料性质及杆件的刚度均关于某轴对称就称为对称结构。用力法解对称结构，应取对称的基本结构，只有这样才能简化计算。,1.对称结构在对称荷载作用下的简化计算,73,三、对称结构的简
20、化计算 对称结构：结构的几何形状、支,X1，X2对称未知力,X3反对称未知力,根据，MP 图的对称性或反对称性可知：,于是，原力法方程变为：,74,X1，X2对称未知力X3反对称未知力根据，M,结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称未知力为零，只有对称未知力。,2.对称结构在反对称荷载作用下的简化计算,75,结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称未知力为零，只有对称,根据，MP图的对称性或反对称性可知：,于是，原力法方程变为：,76,根据，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程,对于前两个方程组成的方程组，因其右端项为零，且系数行列式的值恒大于零，即,结论：对称结构在反对称荷载作用
21、下，其对称未知力为零，只有反对称未知力。,于是，方程组只有零解：X1=0，X2=0。,77,对于前两个方程组成的方程组，因其右端项为零，且系数,3.奇数跨或偶数跨对称结构的处理,若对称结构是奇数跨，则存在与对称轴相交之截面。切开该截面，则未知力分为两组：对称未知力和反对称未知力。若荷载对称或反对称，则按前述方法处理。,X1,X2为对称未知力;X3为反对称未知力。,78,3.奇数跨或偶数跨对称结构的处理 若对称结构是奇数跨,若对称结构是偶数跨，则不存在与对称轴相交之截面，此时应根据荷载情况分别处理：,1）对称荷载。对称结构在该对称荷载作用下，其内力和位移均对称。,79,若对称结构是偶数跨，则不存
22、在与对称轴相交之截面，此时,2）反对称荷载。对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移均反对称。,80,2）反对称荷载。对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移均,4.非对称荷载的处理,对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法为：,1）非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载分别计算，然后叠加两种情况的结果。,81,4.非对称荷载的处理对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法,2）荷载不分解，只取对称基本体系。,82,2）荷载不分解，只取对称基本体系。al/2FPl/2EI1,根据，MP图的对称性或反对称性可知：,于是，原力法方程变为：,83,根据，MP图的对称性或反对称性可知：于是，原力法方程,四、举
23、例,例6-4-1 图示结构，不考虑轴向变形，讨论用力法简化计算。,将荷载分解为对称荷载和反对称荷载。在对称结点荷载作用下，由于不考虑杆件的轴向变形，其M等于零。在反对称结点荷载作用下，只有一个未知量X4。,原结构,84,四、举例例6-4-1 图示结构，不考虑轴向变形，讨论,85,FP/2EIEI对称荷载EIEI2EI2EIEIEI反对称荷,图示结构，各杆EI相同，讨论力法的简化计算。,解：将荷载分为两组：第一组荷载关于x和y 轴都对称，见图b)。第二组荷载关于y 轴对称，关于x 轴反对称，见下页图c)。,例6-4-2,86,图示结构，各杆EI相同，讨论力法的简化计算。解：y2,由于不考虑杆件的
24、轴向变形，上页图 b)荷载作用下各杆弯矩等于零。图c)荷载关于x轴反对称，切开与x轴相交的截面，未知力分为两组：对称未知力X1，X2以及反对称未知力X3。所以对称未知力X1，X2等于零，只有反对称未知力X3，如图d)所示。,87,由于不考虑杆件的轴向变形，上页图 b)荷载作用下各,6-7 超静定结构的位移计算及力法 计算校核,一、超静定结构的位移计算,对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。,用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以加在任选的基
25、本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行。,88,6-7 超静定结构的位移计算及力法 计算校核一、超,例6-6-1 求梁中点竖向位移CV，EI为常数。,89,例6-6-1 求梁中点竖向位移CV，EI为常数。,1)单位荷载加在基本体系I上,90,1)单位荷载加在基本体系I上基本体系IABCAACBCB1,2）单位荷载加在基本体系II上,91,2）单位荷载加在基本体系II上基本体系IIABCCABCAB,例6-6-2 求图示刚架结点水平位移DH，结构M图及各杆EI如图示。,解：单位荷载分别加在四种基本体系上，显然基本体系1的计算最简单（见下页图）。,92,例6-6-2 求图示刚架
26、结点水平位移DH，结构M图及,93,X167kN/mACDB基本体系1ACDB1图67kN/mC,94,图图37kN/mCDB基本体系3X3X2X1CDBAA133,二、温度变化及支座移动时的位移计算,1.温度变化时的位移计算,b)M图,图a)所示结构的M图已求出，见图b），欲求D结点的水平位移。各杆EI、相同。,95,二、温度变化及支座移动时的位移计算1.温度变化时的位移,结构各杆件的总变形(内力+温度)：,结构位移为：,若忽略轴向变形和剪切变形，上式中EA=GA=,位移求解的单位力可加在任意的基本结构上。,96,结构各杆件的总变形(内力+温度)：结构位移为,基本结构,97,94.4EI94
27、.4EIM图X16m6m8m166图基本,2.支座移动时的位移计算,图a)所示结构的M图已求出，见图b）。欲求截面B的转角。,1)所取的基本体系无支座移动,B,A,EI,l,98,2.支座移动时的位移计算BAb)M图 图a)所,2)所取的基本体系有支座移动,99,2)所取的基本体系有支座移动BAEI,lBA11BAM,三、超静定结构内力图的校核,对于超静定结构的内力图，除了校核求得的M、FQ、FN是否满足平衡条件外，最主要的是变形条件的校核。只有既满足平衡条件又满足变形协调条件的解答才是超静定结构的正确解答。在进行变形条件的校核时，通常选择原结构位移等于零的截面进行校核，也就是进行超静定结构的
28、位移计算。,如下页图连续梁，可以校核BV、CV、DV是否等于零，也可以校核、B、C是否等于零。,100,三、超静定结构内力图的校核 对于超静定结构的内,校核,M图,A,B,C,D,图,101,校核图校核DVABCD1ABCD1图校核 BABCD1,对于如下图示封闭刚架，可以得到位移校核的简单公式。（梁、柱长均为6m。）,上图封闭刚架已求得弯矩图，为验算E左右截面相对转角E是否等于零，切开E截面，加上一对单位集中力偶，得到 图，则,102,对于如下图示封闭刚架，可以得到位移校核的简单公式。,由上式可以得出结论，当结构只受荷载作用时，封闭刚架 M/EI 图形的面积之和等于零。,在计算M/EI的面积之和时，规定刚架外侧的面积为正，刚架内侧的面积为负，或者相反。,103,由上式可以得出结论，当结构只受荷载作用时，封,104,M图(kN.m)ACDB14.431.557.630.623,例6-6-3 判断如下图a)所示弯矩图是否正确。,显然，可知M图有错误。,105,例6-6-3 判断如下图a)所示弯矩图是否正确。显然,例6-6-4 判断如下图a)所示结构结点D水平位移的方向。,解：取图b)所示基本体系，在结点D加单位水平荷载，作 图。,可见，结点D水平位移方向向右。,106,例6-6-4 判断如下图a)所示结构结点D水平位移的,
