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1、二次函数,1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？它的对称轴、顶点坐标各是什么？,答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，y叫做x的二次函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=,顶点坐标是（，）。,2、二次函数的解析式有哪几种？,有三种：一般式：y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h)2+k 顶点 为(h,k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)与x轴两交点:(x1,0),(x2,0),例1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），（1，-5），求函数解析式。,解法一 设所求二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.又抛物线过点（-1，0），（3
2、，0），（1，-5），依题意得,a b+c=0,9a+3b+c=0,a+b+c=-5,解得,所求的函数解析式为。,解法二 点（-1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，故可设二次函数解析式为：y=a(x+1)(x-3),又抛物线过点（1，-5），有-5=a（1+1）（1-3）解得，即所求的函数解析式为。,解法三 点（-1，0）和（3，0）是关于直线x=1对称，显然（1，-5）是抛物线的顶点坐标，故可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2-5,又抛物线过点（3,0），0=a(3-1)2-5,解得,即所求的函数解析式为。,解法四 经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶点坐标，依题意得：解得
3、即所求的函数解析式为。,a-b+c=0,（三）知识升华抛物线位置与系数a，b，c的关系：,a决定抛物线的开口方向：a0 开口向上,a0 开口向下,c决定抛物线与y轴交点的位置：c0 图象与y轴交点在x轴上方；c=0 图象过原点；c0 图象与y轴交点在x轴下方。,a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x=）,a，b同号对称轴在y轴左侧；b=0 对称轴是y轴；a，b异号对称轴在y轴右侧,顶点坐标是（，）。,=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：,0抛物线与x轴有两个交点；0抛物线与x轴有唯一的公式点；0抛物线与x轴无交点。,二次函数的最大、最小值由a决定。,例2、已知函数y=ax2+bx+
4、c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？-1 0 1 x,y,【分析与参考答案】首先观察到二次函数的图象为抛物线，其对称轴为直线x=，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标其一大于1，另一个介于-1与0之间，抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线与y轴的交点的纵坐标均介于-1与0之间，由此可得如下结论：,a0;,-1c0;,b2-4ac0;,2a=-3b;,由，(4)得b0;,由,得abc0;,考虑x=1时y0，所以有a+b+c0;,又x=-1时y0，所以有a-b+c0;,考虑顶点的纵坐标，有0c-1。,-1,(四)练习：（巩固知识）y 4 3 8 x,1、如图所示：求抛物线的解析式。,由图象得：抛物线过（8，0），（0，4）对称轴是直线x=3，从而可得抛物线又过（-2，0）。,解法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意得：c=4 解得 4a-2b+c=0 c=4 所求的函数解析式为:,64a+8b+c=0,解法二：设抛物线的解析式为：y=a（x-3）2+k，依题意得：a（0-3）2+k=4 k=所求的函数解析式为:。,a（8-3）2+k=0 解得,解法三：设抛物线的解析式为：y=a（x-8）（x+2），依题意得：4=a（0-8）（0+2）解得 所求的函数解析式为:。,
