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1、26.1 二次函数及其图象26.1.1 二次函数,第二十六章 二次函数,1、二次函数的定义,2、二次函数的图象及性质,3、抛物线的平移法则,4、二次函数解析式的三种形式,5、二次函数与一元二次方程的关系,6、二次函数的综合运用,二次函数,为什么a0呢?,我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.,一、二次函数的定义,1.定义：y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0),2.定义要点:(1)a0.(2)最高次数为2.(3)代数式一定是整式.,整式：整式是有理式的一部分，在有理式中可
2、以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式都统称为整式。,2x3 0.4X 3 xy是整式。xy不是整式，因为分母不能含有未知数，它是分式,分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式，因此其不是整式。所有单项式和多项式都是整式,练习：yx2，y2x2 3，y1005x2，y=2x25x33 中有 个是二次函数。,一、二次函数的定义,2,3.若函数 为二次函数，求m的值.,温故知新,（1）一次函数yx2的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程x20的根为_（2）一次函数y3x6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程3x60的根为_思考：一次函数ykxb的图象与x轴
3、的交点与一元一次方程kxb0的根有什么关系？一次函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kxb0的根,2 0,2,2 0,2,函数yx22x3的图象与x轴两个交点为（1，0）（3，0）方程x22x3 0的两根是 x1 1,x2 3 你发现了什么？（1）二次函数yax2bxc与x轴的交点的横坐标就是当y0时一元二次方程ax2bxc0的根（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决,例题精讲,1.求二次函数yx24x5与x轴的交点坐标解：令y0则x24x5 0解之得，x1 5,x2 1交点坐标为：（5，0）（1，0）结论一：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x
4、2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（），B（）思考：函数yx26x9和y2x23x5与x轴的交点坐标是什么？试试看！,X1，0,X2，0,探究二：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？,结论二：函数与x轴有两个交点 方程有两不相等根函数与x轴有一个交点 方程有两相等根函数与x轴没有交点 方程没有根方程的根的情况是由什么决定的？判别式b24ac的符号,结论三：对于二次函数yax2bxc，判别式又能给我们什么样的结论？（1）b24ac0 函数与x轴有两个交点（2）b24ac0 函数与x轴有一个交点（3）b24ac0 函数与x轴没有交点,一般地，我们可以用配方
5、法求抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对称轴,课时小结:,二、二次函数的图象及性质,当a0时开口向上；当a0时开口向下.,(h,k),在对称轴左侧，y随x的增大而减小,在对称轴右侧，y随x的增大而增大,在对称轴左侧，y随x的增大而增大,在对称轴右侧，y随x的增大而减小,直线x=h,x=h时ymin=k,x=h时ymax=k,函数 开口方向_ 顶点坐标是，对称轴是.当x 时.y随x的增大而.当x 时.y有最值为.,向上,减小,小,抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:,知识回顾：,1.当a0时，开口，当a0时，开口，,2.对称轴是；,3.顶点坐标是。,向上,向下,(h,k),直线X=h
6、,一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同，不同,知识回顾：,y=ax2,y=a(x-h)2+k,形状,位置,左加右减,上正下负,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x h)2,y=a(x h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,三、抛物线的平移法则,上下，左右,1、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位,再向右平移 3个单位,所得的抛物线的表达式_,三、抛物线的平移法则,上下，左右,2.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,则b=，c=,-8,15,四、a、b、c符号的确定,决定开口方向：,a、b同时决定对
7、称轴位置：,决定抛物线与y轴的交点位置：,五、二次函数解析式的三种形式:,已知顶点坐标、对称轴或最值,已知任意三点坐标,已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0),2.已知抛物线过三点：A（1，2），B（0，1），C（2，7），求二次函数的解析式.,解：设二次函数的解析式为：,由已知得：,注：此题运用了二次函数的一般式,3.已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0),且过点C(1,2)，求抛物线的函数解析式.,解：由已知设函数的解析式为,抛物线过点C（1，2）,注：此题运用了二次函数的双根式,联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该
8、怎么解决呢？例如，二次函数yx22x3和一次函数yx2有交点吗？有几个？分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.,例题精讲3.二次函数yx2x3和一次函数yxb有一个公共点（即相切），求出b的值.解：由题意，得 消元，得 x2x3 xb 整理，得x22x（3 b）0有唯一交点（2）2 4（3 b）0解之得，b 4,yx2x3,yxb,选择合适的方法求二次函数解析式：,1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，4）三点。,2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与 X轴的一个交点的横坐标是8。,练习,有两个交点,有两个相异实数根,b2-4ac 0,
9、有一个交点,有两个相等实数根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,一元二次方程ax2+bx+c=0的根 就是二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标,六、二次函数与一元二次方程的关系,练习已知抛物线yx2m xm1,(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m_,(1)若抛物线经过坐标系原点，则m_,(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m_,(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_,=1,1,=2,=0,不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远为正的条件是_,a0,0,.求抛物线与y轴的交点坐标;与x轴的两个交点间的距离.何时y0?,3.已知抛物线和y轴的交
10、点（0，）,和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x=1.（1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值，并求出这个最大值或最小值,解法一（1）设二次函数的解析式为,（2）由于,所以这个二次函数有最小值，,解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得点（-1，0），在图象上，所以,解这个二元一次方程组，得,.,解法三 对称轴为x=1，一个交点（-1，0），另一个交点为（3，0）.设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).,.,注：此题的三种解法分别运用了二次函数的一般式、顶点式、双根式.,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数.y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式:(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.,定义中应该注意的几个问题:,
