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1、初中数学函数复习,管头中学 刘拦挡,函数是初中数学的重要内容，它集坐标系、方程（组）、不等式、应用题、几何知识于一身，是初中数学知识的集中体现，是整个初中数学的难点，也是中考的重点。,许多学生认为函数难学，这个“难”缘自哪里？其实，函数本身并不难，往往难在没有学好其它知识，也可能是因为没有掌握解题的基本方法。,今天我们从五个方面来复习一下函数，你将全面了解函数的系统知识，学会基本的解题方法，体会到解决问题的基本策略。,今天复习的五个方面是：一、会用函数的基本性质 二、会用函数图象解决问题 三、会看函数图象 四、会与其它知识联系 五、会用函数解决实际问题,“会用函数的基本性质”之一：一次函数的性
2、质,1,例1 一次函数y=-2x+3的图象是经过 的，它与y轴交于，它不经过第 象限，y随x的增大而。将它向 平移 个单位后图象过原点，这时就成为 函数。,直线,(0,3)(1,1),(0,3),三,减小,下,3,正比例,“会用函数的基本性质”之二：反比例函数的性质,1,例2 A是双曲线 上一点，ABx轴于B，O是坐标原点，那么当x0时，y随x的增大而，SAOB=，此双曲线关于 对称。,增大,3,原点,或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线,“会用函数的基本性质”之三：二次函数的性质,1,二次函数解析式常见的有三种，即一般式、顶点式、交点式。不同的形式性质也不同。,y=-3(x2-4x)
3、-9=-3(x2-4x+4)-9+12=-3(x-2)2+3,例3 已知二次函数y=-3x2+12x-9，回答下列问题（1）化为顶点式是，化为交点式是。（2）图象的顶点坐标是，对称轴是，当x 时y随x的增大而增大。当x=时y有最 值是。若将抛物线向上平移2个单位，向左平移6个单位，得到的抛物线解析式为。（3）图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是。,(2,3),直线x=2,2,y=-3(x-2)2+3,y=-3(x2-4x+3)=-3(x-3)(x-1),y=-3(x-3)(x-1),2,大,3,y=-3(x+4)2+5,(0,-9),(1,0)、(3,0),2,向上平移几，顶点纵坐标就加
4、几，向左平移几括号内的数就加几。,例4 已知抛物线y=ax2+bx+c，（1）若抛物线与x轴交于(-3,0)，(1,0)，则对称轴是。（2）当a+b+c=0时，抛物线一定过点，当a-b+c=0时，抛物线一定过点。（3）当b2-4ac 0时，抛物线与x轴有两个交点。（4）当 时，抛物线过原点；当 时，抛物线的顶点在y轴上（或者说以y轴为对称轴）；当 时，抛物线的顶点在x轴上。（5）若x取x1和x2时，y的值相等，则x取 时，y的值等于。,直线x=-1,(1,0),c=0,(-1,0),b=0,b2-4ac=0,二次函数基本性质：,1、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x=-b/2a；2、由顶点式可
5、以解决顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性，平移等问题。3、抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)是关于对称轴对称的；4、b2-4ac的值决定了抛物线与x轴的交点个数；5、b=0时顶点在y轴上，=0时顶点在x轴上，c=0时图象过原点；6、平移时“上加下减，左加右减”。,小结,许多函数问题利用其图象来解决，显得灵活、直观、简便。画图多多，好处多多。,会用函数图象解决问题,2,例5 反比例函数 和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点，A点的横坐标是2，则B点的坐标是,A,B,2,1,-2,-1,(-1,-2),例6 抛物线 与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使ABC成为直角三角形，必
6、须将抛物线向上平移几个单位（）A、7 B、6 C、5 D、4,A,B,O,设平移后的抛物线为y=0.5x2+c，则C的坐标为(0,c)，所以A的坐标为(-c,0）,代入得0.5c2+c=0，解出c=-2（舍零）,由-8到-2，应选B。,B,例7 已知抛物线y=ax2-2ax-1+a(a0)与直线x2，直线x3，直线y1，直线y2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（注：直线y1即为过（0,1）点平行于x轴的直线）,抛物线过C点是最低位置，此时C(3,1)代入得，9a-6a-1+a=1，a=1/2。,抛物线过A点是最高位置，此时A(2,2)代入得，4a-4a-1+a=2，a=3。,a3,对已经
7、给出的函数图象，要求我们能看懂图中的有用信息，达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系。,会看函数图象,3,例8 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OAOB，有下列5个结论：abc0；ba+c；4a+2b+c0；2a+b0；ac+b+1=0，其中正确的结论有（）2个B.3个C.4个D.5个,a0,c0,x=-1时,ya+c,x=2时,y0,4a+2b+c0,对称轴在x=1的左边,-b/2a2a即2a+b0,OAOB,在OA之间有一点C使OC=OB。B(0,c),D(c,y),且y0将其代入得ac2+bc+c0,即ac+b+10,A,C,D,例9 在同一坐标系中一次函数y
8、=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）,方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有矛盾,方法2、看抛物线是否过原点,A,方法3、找直线和抛物线与x轴的交点,一次函数y=kx+b与二次函数y=ax2+bx+c中字母的符号规律,一次函数中，k决定直线的方向，b决定直线与y轴的交点二次函数中，a决定抛物线的开口，c决定抛物线与y轴的交点二次函数中，对称轴在y轴左侧时，a、b同号，反之a、b异号（简称“左同右异”）,小结,例10 看图写结论,（1）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的解为,将(3,0)代入，得m=3,则-x2+2x+3=0,即x2-2x-3=0，x1=
9、3,x2=-1,x1=3,x2=-1,（2）如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是,因为图象过(0,0)，故a2-1=0,a=1或a=-1,又开口向下，故a=-1。,例10 看图写结论,a=-1,（3）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是。,X-3或0 x1,例10 看图写结论,-3,会与其它知识联系,4,前面已经提到，函数问题往往与许多其它数学知识相联系，尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切。,“会与其它知识联系”之一 与方程的联系,4,例11（1）直线y=2x
10、-1与直线y=-x+5的交点坐标是。（2）方程 的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数。,两条直线的交点坐标同时满足两个解析式可以解方程组来获得交点坐标,(2,3),从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是右面方程组解的个数,这个方程组的解又与二次函数y=x2+4x-5和反比例函数 图象的交点有直接的联系，我们画出两个图象如右图：,从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是右面方程组解的个数,例11（1）直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标
11、是。（2）方程 的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数。,(2,3),解：这个方程根的个数与二次函数y=x2+4x-5和反比例函数 图象的交点个数相同。通过画图可知，共有3个根。,例12（1）直线y=-3x+2上有一动点A(x,y)，设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m，经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n，当x取值范围是 时，点A在直线m、n之间。（2）不等式x2-2x-30的解，相当于函数 的图象在x轴 方的x取值范围。,-2x1,“会与其它知识联系”之二 与不等式的联系,4,先画出大致图象，我们从图中发现：-1y8,即-1-3x+28
12、，-2x1.,y=x2-2x-3,上,例13 如图，点A在抛物线 上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于B，延长AO、BO分别与抛物线 相交于点C、D，连接AD、BC，设点A的横坐标为m，且m0（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论,“会与其它知识联系”之三 与几何的联系,4,（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；,解：将x=1代入y=1/4x2，得y=1/4，由ABCD得AOBCOD，故,DF=4FO,设D(4y,-y)，得-y=-1/8(4y)2，y=1/2(舍零)，,
13、故A(1,1/4),B(-1,1/4),C(-2,-1/2),D(2,-1/2),（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；,解：由A在抛物线上可知，AE=m，EO=1/4m2，因AOBO，AO=BO，故EO=AE，1/4m2=m，m=4(舍零).,（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论,猜想：CD=2AB.,DF=4/mFO,设D(4y,-my)，得-my=-1/8(4y)2，,故y=m/2，DF=2m，DF=2AE，即CD=2AB.,证明：由A在抛物线上可知，AE=m，EO=1/4m2，由ABCD得AOBCOD，,许多实际问题有两个变量，往往就有函数关系存在。
14、利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题。,会用函数解决实际问题,5,会用函数解决实际问题,5,例14 陈琳从甲地匀速前往乙地，3h后距离乙地110km，5h后距离乙地50km。问几h后到达乙地？,解：设x(h)后距离乙地y(km)，,陈琳速度为v(km/h)，甲乙两地相距a(km)，,由已知，得y=a-vx，,将x=3,y=110和x=5,y=50代入，得,解得 所以，y=200-30 x,当y=0时陈琳到达乙地，即200-30 x=0，,答：陈琳行了 h到达乙地。,会用函数解决实际问题,5,例15 一学生推铅球，在距地面 m的A处推出铅球，铅球经过的路线呈抛物线状（如图建立平面
15、直角坐标系），如果抛物线的最高点M离y轴距离4m，距地面高度为3m，求该学生推铅球的成绩。,解：由已知，A(0,5/3)，顶点M(4,3),设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3,将A点坐标代入上述解析式，得,16a+3=5/3，a=-1/12，,所以y=-1/12(x-4)2+3，,令y=0，则-1/12(x-4)2+3=0,解得x=10(舍负),答：该学生推铅球的成绩为10米。,会用函数解决实际问题,5,例16 有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假定放养期内蟹的个体重量基本不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每
16、千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元。但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去。假定死蟹均于当天全部出售，售价都是每千克20元。(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数解析式；(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？,(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；,解：p=30+x,(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额
17、为Q元，写出Q关于x的函数解析式；,解：Q=(1000-10 x)(30+x)+10 x20 Q=-10 x2+900 x+30000,(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？,解：设利润为y元，则y=(-10 x2+900 x+30000)-100030-400 xy=-10 x2+500 x=-10(x-25)2+6250,答：放养25天后可以获得最大利润，最大利润是6250元。,条件摘录：活蟹1000千克,每千克30元,每天可上升1元,放养一天支出400元,10千克蟹死去,每千克20元。,会用函数解决实际问题,5,例17 如图，正方形ABCD边长为2，E在AB上，FEDE交BC于F，随着E点从A向B移动。（1）BF的最大值是多少？（2）F点是如何移动的？,解：（1）设AE=x，BF=y。,由已知，容易证明ADEBEF,所以，,所以，y=-1/2(x-1)2+1/2,答：BF的最大值是1/2。,（2）如图由函数图象可知，F点由B点先升到高度为1/2处，再向B点移动直至与B重合。,用二次函数解决最值问题的方法,寻找问题中的数量关系分别用两个字母表示两个变量列出二次函数关系用二次函数性质求出最值,THE END,
