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1、初中数学变式教学,一、对变式教学的理解,数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.,1.1 数学变式教学的本质含义,一、对变式教学的理解,1.2 初中数学变式教学的意义,初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处,变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径,一、对变式教学的理解,【案例1】在“坐标系内的图形对称”的中考专题复习课中，笔者设计了如下的题目 题目 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是
2、；关于y轴对称的点的坐标是；关于原点对称的点的坐标是.,变式1 直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是；关于y轴对称的直线的解析式是；关于原点对称的直线的解析式是.,变式2 将直线y=2x-1改为双曲线y=1/x，其它不变.,变式3 将直线y=2x-1改为抛物线y=3x2+2x-1，其它不变.,变式4 上述函数图象 关于 x轴对称的有；,一、对变式教学的理解,【案例2】浙教版七（上）7.8 平行线：课内练习第3题：如图，在ABC中，P是AC边上的一点，过点P分别画AB，BC的平行线.,Q,R,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,2.1 针对性原则,2.2 可行性原则,二、变式教
3、学要遵循的原则,2.1 针对性原则,【案例3】原题 如图1，在锐角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F，折痕EF/BC，连接AD、DE、DF.（1）求证：线段EF是ABC的中位线.（2）线段AD、BC有何关系？并证明你的结论.（3）若AB=AC，试判断四边形AEDF的形状，并加以证明.,二、变式教学要遵循的原则,变式1 试一试，你能用一张锐角三角形纸片折出他的四条重要线段：角平分线、中线、高、中垂线吗？能利用折纸确定三角形的“四心”吗？,变式2 如图2，在钝角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点A落在边BC的延长线上的D处，折痕交AB于点
4、E,交AC于点F,折痕EF/BC,连接CE、DE、DF,且BC=2CD.(1)图中有几个等腰三角形？试写出.（不能添加字母和辅助线，不要求证明）(2)若AC=BC，试判断四边形EFDC的形状，并证明你的结论.,2.1 针对性原则,二、变式教学要遵循的原则,变式3 如图3，将边长为a的等边三角形折叠，使点A落在边BC的点D上，且BD:DC=m:n.设折痕为MN,求AM:AN的值.,2.1 针对性原则,二、变式教学要遵循的原则,2.2 可行性原则,【案例4】原题 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB
5、、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？,二、变式教学要遵循的原则,变式1 将原题中“正方形PQMN”改为“矩形PQMN”问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？,2.2 可行性原则,二、变式教学要遵循的原则,变式2 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）,2.2 可行性原则,图（1）,图（2）,二、变式教学要
6、遵循的原则,2.2 可行性原则,变式3 已知ABC是直角三角形，ACB90，AC80，BC60，如图所示，把边长分别为x1,x2,x3,xn的n个正方形依次放入ABC中，则第1个正方形的边长x1=；第n个正方形的边长xn=(用含n的式子表示，n1),二、变式教学要遵循的原则,2.2 可行性原则,变式4 在RtABC中，ACB90，AC4，BC3.（1）如图（1），四边形DEFG为RtABC的内接正方形，求正方形的边长（2）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它 们组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长（3）如图（3），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们 组成的矩形内接于RtA
7、BC，求正方形的边长,图（1）,图（2）,图（3）,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,图,变式5 在已知RtABC中，ACB90，AC6，BC8（1）如图，若半径为r1的O1是RtABC的内切圆，求r1,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,图,（2）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2.,（3）如图，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、BC相切，On与BC、AB相切，O1、O2、O3、O n1均与AB边相切，求r n.,图,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则
8、,变式6 有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为60cm和100cm.若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？,二、变式教学要遵循的原则,2.3 参与性原则,变式7 在变式3的基础上再剪出一块圆铁皮O3，O3与O2外切，与BAC的两边相切，求O3的半径；若照此要求作下去，求On的半径rn的大小.,三、变式教学中七种变式举例,3.1 概念变式,【案例5】“平方根”概念的教学,【案例6】“矩形”的概念教学,三、变式教学中七种变式举例,3.1 概念变式,【案例5】“平方根”概念的教学,三、变式
9、教学中七种变式举例,3.1 概念变式,【案例6】“矩形”的概念教学,三、变式教学中七种变式举例,3.2 过程变式,【案例7】“等腰三角形的判定”的教学,（1）模式化的定理教学,复习性质定理、给出判定命题师生进行思路分析通过论证得出定理应用定理做练习,等腰三角形的两个底角相等,有两个角相等的三角形是等腰三角形,写成已知求证的形式：已知：在ABC中，B=C.求证：AB=AC,（2）用情境问题引发兴趣,如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？,学生的三种“补出”方法：,只剩一个底角和一条底边,量出C度数，画出BC，B与C的边相交得到顶点A,作BC边上的中垂线，与C的一边相交得到顶点A,“对折”,（3）多
10、种证法激活创造力,三种常规的办法：,两种创造性的证法：,作A的平分线，利用“角角边”,过A作BC边的垂线，利用“角角边”,作BC边上的中线，“边边角”不能证明,假定ABAC,由“大边对大角”得出矛盾,ABCACB，应用“角边角”,（4）用变式练习分步解决问题,不断变换题目的条件：,ABC中，ABCACB，BO平分B，CO平分C。能得出什么结论？,过O作直线EFBC。图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何关系？(学生编题),若B与C不相等。图中有没有等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间还有没有关系？(学生讨论),三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【
11、案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等,【案例9】二次函数图像的变化规律认识,【案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例9】二次函数图像的变化规律认识,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展,勾股定理也可以表述为：如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正方形，那么以两直角边a,b为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边c为边长的正方形的面积即S1+S2=S3,探索1：如果以直角三角形的三
12、条边a,b,c为边，向形外分别作正三角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？,探索2：如果以直角三角形的三条边a,b,c为直径，向形外分别作三个半圆，那么是否存在S1+S2=S3呢？,几何原本中的结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角上所画的与其相似的图形的面积之和,三、变式教学中七种变式举例,3.3 图形变式,【案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展中考举例,例1（2009 宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为,例2（2009 湖州）如图，已知在RtABC中，ACB=Rt，AB=4，分别以AC，
13、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于,三、变式教学中七种变式举例,3.4 结构变式,【案例11】圆中的有关结论,【案例12】二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解,三、变式教学中七种变式举例,3.4 结构变式,【案例12】圆中的有关结论,三、变式教学中七种变式举例,3.4 结构变式,【案例12】二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解,原题：x2+4x+中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解,变式1：如果添上的数不是4而是3，即x2+4x+3，还能不能分解？,变式2：把x2+4x+3改为x2-5x-6，又如何分解呢？,变式3：分解因式：x2+(a+b)x+
14、ab,三、变式教学中七种变式举例,3.5 题目变式,题目变式包括条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等,一般地说，几何问题的演变策略通常有以下六种：条件的弱化或强化；结论的延伸与拓展；图形的变式与延伸；条件与结论的互换；基本图形的构造应用；多种演变方法的综合,三、变式教学中七种变式举例,3.5 题目变式,怎么样来应用习题演变策略,图1,【案例13】已知：如图1，在RtCAB和RtECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且ACE=B=D=900.求证：CABECD.,链接中考,1.如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC
15、都是正方形，边长分别是a、b、cA、B、N、E、F五点在同一条直线上，则c=.(用含有a、b的代数式表示),怎么样来应用习题演变策略,（一）条件的弱化或强化,当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两个条件“一般化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用,1.条件的弱化,1.1 弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似,变式1 如图2，在RtCAB和RtECD中，点D在边BC的延长线上，且ACE=B=D=900.求证：CABECD.,图2,试题1 如图3，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的
16、任意一点，连接AP，过点P作PQAP交DC于点Q，设BP的长为xcm,CQ的长为y cm,（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；,（2）当y=1/4 cm时，求x的值,图3,链接中考,试题2 如图4,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作DEOD,交边AB于点E，连接OE.记CD的长为t.,.,图4,（1）当t=1/3时,求直线DE的函数表达式,（3）当OD2+DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标,（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么S是否存在最大值？若存在,试求出这个
17、最大值及此时t的值;若不存在,试说明理由,x,链接中考,试题3 已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且AED=90（1）如图，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD的长（2）如图，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明.再探究：当A、D分别在直线两侧且ABCD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明,.,链接中考,变式2 如图5，在ABC和CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，且AC
18、E=B=D,则ABCCDE.,1.2 弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立,图5,试题3 如图6，ABC为等边三角形，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且DEF也为等边三角形,（1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；,图6,（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程,链接中考,2.3 同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似,变式3 如图7，在ABC和 CDE中，点D在边BC的延长线上，ACE=B=D，则ABC CDE,图7,试题4 如图8，在等边ABC 中，P为BC边上一点，D为AC边上一点，且APD=
19、60，BP=1，CD=2/3,则ABC的边长为（）,A3 B4 C5 D6,图8,链接中考,试题5 如图9，在RtCAB中，CAB=90，AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作ADE=45,DE交AC于点E(1)求证：ABDDCE;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,图9,链接中考,试题6 在等腰ABC 中，AB=AC=8,BAC=120,P为BC的中点小惠拿着含30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P（1）如图10（1），当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时，求证：PBE FCP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图10（2）情形时，三角板的两边
20、分别交BA的延长线、边AC于点E,F 探究1：PBE与CFP还相似吗？探究2：连接EF,PBE与EFP是否能相似？试说明理由？设EF=m,EPF的面积为S,试用含m 的代数式表示S,图10,试题7 如图11，已知在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD,AB=10，BC=3（1）如图11(1)，如果M为AB上一点，且满足DMC=A,求AM的长；（2）如图11(2)，如果点M在AB边上移动（点M与A，B不重合），且满足DMN=A，MN交BC的延长线于点N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式,图11,链接中考,怎么样来应用习题演变策略,2.条件的强化,针对基本问题及变式问题中的线段、角等
21、几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段，强化问题的条件，考查学生综合应用知识解决问题的能力,（一）条件的弱化或强化,变式4 如图12，在笔直的公路的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km（1）现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若连接AP，BP，测得APB=900,求A村到车站P的距离,图12,试题8 如图13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与点A不重合），一直角边经过点C，另一直角边与A
22、B交于点E.我们知道，结论“RtEPARtPCD”成立（1）当CPD=300时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，试说明理由,链接中考,怎么样来应用习题演变策略,（二）结论的延伸与拓展,考虑到习题中的结论是两个三角形全等，根据全等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展,变式5 在ABC中，ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，ADMN，垂足为D，BEMN，垂足为E（1）当直线MN绕点C旋转到图14(1)的位置时，求证：ACDCBE;DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图14(2)的位置时，试问：DE，A
23、D，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明,图14,怎么样来应用习题演变策略,（三）图形的变式延伸,结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的ABC和CDE相向移动交叉重叠，如图15所示,图15,图15,试题9 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图16(1)，在正ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=600，则BM=CN；如图16(2)，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON=900，则BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图16(3)，在正五边形
24、ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=1080，则BM=CN 任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：试在图16(3)中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是1080，这样的线段有几条？如图16(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，DA上的点，BM与CN相交于点O，若BON=1080，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由,怎么样来应用习题演变策略,（四）条件与结论的互换,建立并研究讨论几何命题的逆命题，这是几何命题教学中最为常见的
25、一种演变方法,如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理与判定定理的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用,试题10 如图17(1)、图17(2)、图17(3)中，点E，D 分别是正ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P(1)求图17(1)中,APD的度数；（2)图17(2)中，APD的度数为，图17(3)中，APD的度数为；(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理
26、由,图17,怎么样来应用习题演变策略,（五）基本图形的构造应用,几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能.,试题11 如图18，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=900，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E.（1）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式.（2）若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的聚会范围.,图18,链接中考,
27、试题12 如图21，MON=900，在MON的内部有一正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B1是ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1（1）连接D1D，求证：ADD1=900;（2）连接CC1，猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在MON的内部作出正方形AB2C2D2，观察图形，并结合(1)、(2)的结论，请你再作出一个合理的判断,图21,怎么样来应用习题演变策略,（六）多种演变方法的综合,习题的演变要适时、适度，要遵循科学性原则和学生的认知规律，不可脱离学生知识和能力水平的实际，因此，在对例习题教学功能的挖掘方
28、面教师们常常需要综合使用多种变式方法，实施习题演变策略.,图1,三、变式教学中七种变式举例,【案例14】如图1，A,C,B三点在一条直线上，DAC和EBC均为等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论ACEDCB；CM=CN；AC=DN.其中，正确结论的个数是（）（A）3（B）2（C）1（D）0,图2,三、变式教学中七种变式举例,例2结论的探究,（1）图1中全等的三角形有几对？,（2）如图2，连接MN，猜想CMN的形状.,（3）猜想MN和直线AB的位置关系.,（4）猜想EFB的度数.,（5）图2中相似的三角形有哪些？,（6）若已知DAC和EBC的边长分别为a和b，试求MN的
29、长.,三、变式教学中七种变式举例,例2条件的探究,图3,探究1：如图3，当A，C，B三点不共线时，以上探讨的一系列结论哪些仍然成立？哪些不成立？,探究2：在上题中，若将图中的“等边三角形”改成“正方形”、“正五边形”（如图4、图5所示），以上探讨的结论还成立吗？,图4,图5,三、变式教学中七种变式举例,例2的几个变式,变式1：如图6或图7，已知：ABD，ACE都是等边三角形，求证：CD=BE.,图6,三、变式教学中七种变式举例,变式2：如图8，点A为线段CB延长线上一点，分别以BC，AC为边在直线BC异侧作等边BCD和等边ACE，求证：AD=BE.,图8,三、变式教学中七种变式举例,变式3：如
30、图9，点A为线段BC上一点，ABD和ACE都是等腰三角形，且AB，AD与AC，AE分别是等腰三角形的腰，且ABDACE，求证：CD=BE.,图9,三、变式教学中七种变式举例,3.6 方法变式,所谓“方法变式”就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来（“一题多解”）.,三、变式教学中七种变式举例,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图10,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点
31、，求证：CD=2CE.,图11,思路1：（延长法）如图11，延长CE至点D,使ED=CE，连接AD，BD，则CD=2CE，然后利用CBDCBD，得出CD=CD 即可.,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图12,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图13,思路3：(利用三角形中位线的性质)如图13，构造DFG，使E，C分别是DF，DG的中点，连接CF，则FG=2CE，CG=CD
32、，只要证FG=CG即可.,三、变式教学中七种变式举例,【案例15】如图10，已知在ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.,图10,三、变式教学中七种变式举例,3.7 思维变式,思维变式往往指的是以上几种变式的综合，尤其是题目变式（“多题一解”）与方法变式（“一题多解”）.在数学教学过程中，利用此类变式问题可培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，使学生举一反三、融会贯通，从而更好地挖掘学生的潜能，提高学生的综合素质.,【案例16】如图14，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E.CF为AB边上的高线
33、.求证：PD+PE=CF.,图 14,三、变式教学中七种变式举例,证法1（截长法）过点P作 PHFC于点H 容易证明四边形DPHF是矩形.PD=FH.也容易证得PECRtCHP，PE=CH.PD+PE=FH+CH=CF.,证法2（截长法）过点D作DKBC交CF于点K,则易证四边形DPCK是平行四边形.PD=CK，DK=PC.DKBC，FDK=B=PCE.又 DFK=CEP=90,RtDFK RtCEP.FK=PE PD+PE=CK+FK=CF.,例4 如图14，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E.CF为AB边上的高线.求证：PD+PE=CF.
34、,三、变式教学中七种变式举例,图 14,图 14,三、变式教学中七种变式举例,证法3（补短法）过点C作CG DP，交DP的延长线于点G.容易证得四边形DGCF是矩形.FC=DG=PD+PG.CGAB.PCG=B=ACP.RtPGC RtPEC.PG=PE.FC=PD+PE.,例4 如图14，在ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PDAB，PEAC垂足分别为D，E.CF为AB边上的高线.求证：PD+PE=CF.,证法4（面积割补法）,证法5（三角函数法）,证法6（比例化归法）,解法比较：证法1-3都是求证“一条线段等于另外两条线段和”问题的通法，蕴涵了解决这类问题的基本策略；证法4
35、-6充分利用了题设条件的特殊性，如证法4面积割补法，这是由高线想到的；证法5三角函数法，这是由等腰三角形两底角相等想到的；证法6比例化归法，这是由三个三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面积既是本例的特殊解法，更是所有这些解法中的本质解法.,三、变式教学中七种变式举例,变式1 如图15，在ABC中,AB=AC,点P在BC的延长线上,过点P作PEAC,交AC延长线于E点,过点P作PDAB于点D,CF是AB边上的高线.那么PD,PE和CF存在什么关系？写出你的猜想并加以证明.,图 15,三、变式教学中七种变式举例,图 16,三、变式教学中七种变式举例,变式2 如图16,在等腰梯形ABCD中,A
36、DBC,AB=CD,点P为BC边上的一点,PEAB,PFCD,BGCD，垂足分别为E,F,G.（1）求证：PE+PF=BG；（2）若P是CB延长线上的一点,其它条件不变,那么PE,PF,BG之间有何关系?证明你的结论.,图 16,变式3 如图16,在ABC中,AB=AC=3,点P是BC边上的一个动点(不与点B、C重合）,PEAB,PFAC,分别交AC、AB于点E、F,求PE+PF的长,通过计算,能得出关于PE+PF的长的结论吗？,三、变式教学中七种变式举例,变式4 如图17，点P为正三角形ABC内任一点，PD、PE、PF分别垂直BC、AC、AB于点D、E、F，h为ABC的高.求证：PD+PE+
37、PF=h.,图 17,三、变式教学中七种变式举例,变式5 如图18,已知正六边形ABCDEF的边长为a,点P为正六边形内的任意一点,过P点分别作AB、BC、CD、DE、EF、FA边的垂线,垂足分别为P1、P2、P3、P4、P5、P6，求证：P P1+P P2+P P3+P P4+P P5+P P6=,图 18,三、变式教学中七种变式举例,变式6 如图19，点P是正n 边形A1A2A3An内任意一点，过点P分别作A1A2、A2A3、AnA1边的垂线PP1、PP2、PPn，垂足分别为P1、P2、Pn，求证：PP1+PP2+PPn为定值.,图 19,三、变式教学中七种变式举例,变式7 如图20,已知
38、正六边形ABCDEF的边长为a,点P为正六边形AB边上的任意一点,过P点分别作BC、CD、DE、EF、FA边的垂线,垂足分别为P1、P2、P3、P4、P5,求证：P P1+P P2+P P3+P P4+P P5=,a。,图 20,三、变式教学中七种变式举例,变式8 如图21，正n边形A1A2A3An，点P是正n边形A1A2边上的任意一点，过点P分别作A2A3、A3A4、AnA1边的垂线PP1、PP2、PPn-1，垂足分别为P1、P2、Pn-1，求证：PP1+PP2+PPn-1为定值.,图 21,三、变式教学中七种变式举例,1,四、变式教学要把握好三个“度”,4.1 变式的数量要“适度”,4.2
39、 问题设计要有“梯度”,4.3 要提高学生的“参与度”,四、变式教学要把握好三个“度”,【案例17】原题（沪科版数学九（上）P76例2）如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的长与宽.,4.1 变式的数量要“适度”,四、变式教学要把握好三个“度”,变式1 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上（1）求这个矩
40、形的周长；（2）求这个矩形的面积；（3）求APQ的面积,变式方法1：在原题的条件下，挖掘所求的结论,四、变式教学要把握好三个“度”,变式2 如图，一块铁皮呈三角形，BAC=900，要把它加工成矩形零件，使矩形一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上。试问：PS、BS、CR之间有何关系？为什么？,变式方法2：在改变原题条件之下，充分挖掘所求结论,四、变式教学要把握好三个“度”,变式3 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上求这个矩形面积的最大值,变式4 如图，ABC中，点P、Q分别在AB
41、、AC上，S、R在BC上，四边形PQRS是矩形，若矩形PQRS的面积与APQ的面积相等，求PQ：BC的值,变式5 如图，ABC中，点P、Q分别在AB、AC上，S、R在BC上，PQRS是矩形，若PQ:BC=2:3，求矩形PQRS面积与APQ的面积比值,四、变式教学要把握好三个“度”,变式6 如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边BC=12cm，高AD=8cm，要求加工的矩形一边在BC上，另外两个顶点在AB、AC上.（1）试问：这个三角形能否加工成一个周长为20cm的矩形零件？理由是什么？,变式方法3：在原题的基础上，适当改变条件和结论，将题型设置为探究性问题,（2）在（1）的结论下，能否用余下的材
42、料再拼成一个与原矩形大小一样的矩形？若能，试给出一种拼法；若不能，说明理由.,四、变式教学要把握好三个“度”,变式7 如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边BC=12cm，高AD=8cm，要求加工成的矩形一边在BC上，另外两个顶点在AB、AC上.（1）试问：这个三角形能否加工成一个面积为24cm2的矩形零件？能否加工成一个面积为32cm2的矩形？理由是什么？（2）从（1）的结论中，试猜想这个三角形内接的矩形面积与原三角形面积有何关系？不需要说明理由,四、变式教学要把握好三个“度”,【案例18】原题（华师大版课标教材八年级（上）习题14.2第2题）如图，由4个等腰直角三角形组成，其中第1个直角三角
43、形的腰长为1cm，求第4个直角三角形的斜边长度.,4.2 问题设计要有“梯度”,四、变式教学要把握好三个“度”,变式1 如图，已知条件不变，求第5个等腰直角三角形的斜边长，并探究第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？,变式2 已知条件不变，求第6个等腰直角三角形直角边的长，并探究第n个等腰直角三角形的直角边长为多少？,变式3 已知条件不变，求第6个等腰直角三角形的面积，并探究第n个等腰直角三角形的面积为多少？,变式4 如图所示，以OA为斜边作等腰RtABO,再以OB为斜边在等腰RtABO外侧作等腰RtBCO,如此继续下去，得到8个等腰直角三角形则等腰RtABO与等腰RtHIO的面积之比是（）A.
44、32 B.64 C.128 D.256,四、变式教学要把握好三个“度”,O,变式5 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.,问题：（1）试用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）试推算OAn的长；（3）求出,四、变式教学要把握好三个“度”,变式6 如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OABC的两个顶点，以对角线OB为边作正方形OBB1C，再以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C2，则点B5的坐标是,四、变式教学要把握好三个“度”,【案例4】变式8 如图，在直线 与x轴、y轴所围成的AOB中，依次放入腰长分别为x1,x2,x3,xn的n个等腰直角三角形，则x1=，xn
45、=.（或：求A1,A2,A3,A n的横坐标.）,4.3 要提高学生的“参与度”,四、变式教学要把握好三个“度”,4.3 要提高学生的“参与度”,变式9 如图，在直线 与x轴、y轴所围成的AOB中，依次放入边长分别为x1,x2,x3,xn的n个等边三角形，试猜想第n个等边三角形的边长。,四、变式教学要把握好三个“度”,4.3 要提高学生的“参与度”,变式10：如图，P1(x1，y1)，P2(x2，2)，,Pn(xn，yn)在函数,求（1）点P1的坐标；（2）y1+y2+y3+y n的和,四、变式教学要把握好三个“度”,4.3 要提高学生的“参与度”,变式11 二次函数 的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1,A2,，A2008在y轴上，点B1,B2,B3,，B2008在所给二次函数位于第一象限的图象上，若A0B1A1,A1B2A2,A2B3A3,，A2007B2008A2008都为等边三角形，则A2007B2008A2008的边长=.,结 语,变式教学是中国基础教育中的精华，值得我们去传承,变式教学是经实践证明的有效教学模式，值得我们去实践,变式教学是一种十分重要的教学思想，值得我们去钻研,在教学中，我们既要有强烈的变式意识，娴熟的变式方法，更要遵循变式教学的规律，合理安排变式教学的内容，相信大家一定可以取得理想的教学效果.,
