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1、新课标人教版课件系列,高中数学必修1,新课标人教版课件系列高中数学,1.3.1 函数的基本性质,1.3.1 函数的基本性质,教学目的,（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性教学重点：函数的单调性及其几何意义教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,教学目的（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：,1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？,观察下列各
2、个函数的图象，并说说它们分别反映了,高一数学函数的基本性质-PPT,1.3.1 单调性与最大（小）值,1.3.1 单调性与最大（小）值,请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：,1、当x0，+)，x增大时，图（1）中的y值；图（2）中的y值。2、当x(，0)，x增大时，图（1）中的y值；图（2）中的y值。,增大,增大,增大,减小,请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：1、当x,3、分别指出图(1)、图(2)中，当x 0，+)和x(，0)时，函数图象是上升的还是下降的？4、通过前面的讨论，你发现了什么？,结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之
3、亦真；若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。,3、分别指出图(1)、图(2)中，当x 0，+)和x,观察某城市一天24小时气温变化图,f(t)，t0，24,问题：如何描述气温随时间t的变化情况？,观察某城市一天24小时气温变化图 f(t)，t,问题：在区间4，14上，如何用数学符号语言来刻画“随t的增大而增大”这一特征？,如图，研究函数f(t)，t0，24的图象在区间4，14上的变化情况,(t1,1)(t2,2)t1t2问题：如,在4，14上，取几个不同的输入值，例如t15，t26，t3 8，t410，得到相对应的输出值1，2，3，4在t1t2t3t4时，有
4、1234，所以在4，14上，随t的增大而增大,取区间内n个输入值t1，t2，t3，tn，得到相对应的输出值1，2，3，n，在t1t2t3tn时，有123n，所以在区间4，14上，随t的增大而增大,在4，14上任取两个值t1，t2，只要t1t2，就有12，就可以说在区间4，14上，随t的增大而增大,在4，14上，取几个不同的输入值，例如t15，t,问题：设函数yf(x)的定义域为A，区间IA,在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？,在4，14上内任取两个值t1，t2，只要t1t2，就有12，就可以说在区间4，14上，随t的增大而增大,问题：在4，14上内任取两个值t1，t
5、2，只要,函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.,函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如,问题：如何定义单调减函数和单调减区间呢？,问题：,函数yf(x)的定义域为A，区间I A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.,函数yf(x)的定义域为A，区间I A,1.函数yf(x)，x 0，3的图象如图
6、所示,区间0，3是该函数的单调增区间吗？,概念辨析,1.函数yf(x)，x 0，3的图象如图所示Oxy,2.对于二次函数f(x)x2，因为1，2(，)，当12时，f(1)f(2)，所以函数f(x)x2在区间(，)上是单调增函数,3.已知函数yf(x)的定义域为0，)，若对于任意的x20，都有f(x2)f(0)，则函数yf(x)在区间0，)上是单调减函数,判断,2.对于二次函数f(x)x2，因为1，2,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数,一、增函数,yx10 x2
7、xf(x1)f(x2)设函数f(x)的定义域为I,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数,二、减函数,三、单调性与单调区间,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,请问:在单调区间上增函数的图象是_,减函数的图象是_.(填“上升的”或“下降的”),上升的,下降的,想一想：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某
8、个单调区间上是增函数还是减函数？,如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。,请问:上升的下降的想一想：如何从一个函数的图象来判断这个函,1、增函数、减函数的三个特征：,（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1(XZ)不具有单调性,（2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。,（3）一致性,增函数：,f()f(),减函数：,f()f(),1、增函数、减函数的三个特征：（
9、1）局部性：也就是说它肯定有,例1.下图是定义在 闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?,解:函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数,在区间-2,1),3,5上是增函数.,例1.下图是定义在 闭区间-5,5上的函数y=f(x)的,分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数即可。,例2：物理学中的玻意耳定律（k为正,例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调
10、性证明之。,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则,由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0,又k0,于是,所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.,取值,定号,结论,例2、物理学中的玻意耳定律,例：证明函数f(x)=x3在R上是增函数.,证明：设x1,x2是R上任意两个 实数，且x10 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2)所以f(x)=x3在R上是增函数.,例：证明函数f(x)=x3在R上是增函数.证明,探究：画出反比例函数 的图象。（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎
11、样的？证明你的结论。,通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法。,探究：通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做,证明：,设x1，x2（0，+），且x1x2，则,f（x）在定义域上是减函数吗？,取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）,证明：设x1，x2（0，+），且x1x2，则111,用定义证明函数的单调性的步骤:,(1).设x1x2,并是某个区间上任意二值;,(2).作差 f(x1)f(x2);,(3).判断 f(x1)f(x2)的符号:,(4).作结论.,分解因式,得出因式(x1
12、x2,配成非负实数和。,方法小结,有理化。,用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1x2,并,5、讨论函数f(x)=x+,1x,在(0,+)上的单调性.,解：设 0 x1 x2 则 f(x1)f(x2)=（x1-x2）+,1 x1,1 x2,=,-(x1 x2)(x1 x2 1)x1x2,0 0,当0 f(x2)f(x)=x+,1x,在(0,1上是减函数.,当1 1，x1 x2 1 0 f(x1)f(x2)0 即 f(x1)f(x2)f(x)=x+,1x,在1，+）上是增函数.,5、讨论函数f(x)=x+1在(0,+)上的单调性.,例3求函数f(x)=x+（k0）在x0上的单调性,解：对于
13、x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+,-,=,(x1x2-k),因,0,X12-k,x1x2-k,x22-k,故x22-k0即x2,时，f(x2)f(x1),同理x1,时，f(x2)f(x1),总之，f(x)的增区间是，减区间是,例3求函数f(x)=x+（k0）在x0上的单调,图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的，都有,图象没有最低点。,图象上有一个最低点（0,0），即对于任意的，图,画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：,1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？,(1)(2),画出下列函数
14、的草图，并根据图象解答下列问题：1 说出y=f,1最大值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,1最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果,2最小值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,2最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存,2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x
15、I，都有f(x)M（f(x)M）,注意：,1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)=M；,2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任,例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂.如果在距地面高度18m的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.,写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.,(2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m).,例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达,解:(1)设烟花在t秒时距地面的高度为h
16、m,则由物体运动原理可知：h(t)=-4.9t2+14.7t+18,(2)作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.,由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:,于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.,解:(1)设烟花在t秒时距地面的高度为h m,则由物体运动,例3.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值,解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则,由于20,(x1-1)(x2-1)
17、0,于是,所以，函数 是区间2,6上的减函数.,例3.求函数 在区间2，6上的最大值和最,因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.,因此,函数,（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值,2.利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单
18、调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二,课堂练习,1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-，6内递减，则a的取值范围是()A、a3 B、a3C、a-3 D、a-3,D,2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-，-2上递减，在-2,+)上递增，则f(x)在1,2上的值域_.,21,39,课堂练习1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-，6,归纳小结,1、函数的最大（小）值及其几何意义,2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值,归纳小结 1、函数的最大（小）值及其几何意义 2、利用函数,证明：函数f(x)=
19、1/x 在(0，+)上是减函数。,证明：设x1,x2是(0，+)上任意两个实数，且x1x2，则,f(x1)-f(x2)=,由于x1,x2 得x1x20,又由x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),因此 f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,取值,判断符号,变形,作差,下结论,证明：函数f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。证明：,例题讲解：,例1 设函数 f(x)=x2-2x-3.3在区间t，t+1上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。,分析,解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1,(2)当0t 1时，则g(t)=f(1)=-4.3;,(1)当t1
20、时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;,(3)当t+11，即t0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;,例题讲解：例1 设函数 f(x)=x2,例2 求 f(x)=x2-ax+a在区间-1，1上的最值。,分析,例2 求 f(x)=x2-ax+a在区,例2 求 f(x)=x2-ax+a在区间-1，1上的最值。,分析,解：f(x)=(x-)2+a-，对称轴为x=,(1)若，即a-2时，f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;,(4)若,即a2时，f(x)min=f(1)=1，f(x)max=f(-1)=1+2a;,(2)若-1 0,即-2a0时，f(x)m
21、in=f()=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;,(3)若0 1,即0a2时，f(x)min=f()=a-a2/4，f(x)max=f(-1)=1+2a;,例2 求 f(x)=x2-ax+a在区,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）。,四、函数的最大值,注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；,函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在四、函数的最,例1：“菊花”
22、烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？,例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时,分析：由函数 的图象可知，函数在区间2,6上递减.所以，函数在区间2,6的两个端点上分别取得最大值和最小值。,分析：由函数 的图象,（一）创设情景，揭示课题画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？,（一）创设情景，揭示课题,1函数最大（小）值定义,最大值：一般地，设函数的定义域为I如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（
23、2）存在，使得 那么，称M是函数 的最大值思考：依照函数最大值的定义，结出函数 的最小值的定义,注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；,1函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函,函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有 2利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法配方法 换元法 数形结合法,函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的,例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？,例1：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时,例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？解：设利润为 元，每个售价为 元，则每个涨（50）元，从而销售量减少 100）答：为了赚取最大利润，售价应定为70元,例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500,例3求函数 在区间2，6 上的最大值和最小值例4求函数 的最大值,例3求函数 在区间2,再见,再见,
