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1、十二章三角形复习,知识结构,一.全等三角形的定义与性质：,1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性质？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,3、寻找对应元素的规律：,1、有公共边的，公共边是对应边；2、有公共角的，公共角是对应角；3、有对顶角的，对顶角是对应角；4、两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；5、两个全等三角形最大的角是对
2、应角，最小的角是对应角；,二、全等三角形的判定：,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,牛刀小试,如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。,证明：BD=CE BD-ED=CE-ED，即BE=CD。,牛刀小试,如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。,证明:在ABC与BAD中,AC=BDCAB=DBAAB=BA,ABCDEF（SAS）,牛刀小试,如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，
3、AB=AC，B=C.求证：BD=CE,牛刀小试,已知，如图，1=2，C=D求证：AC=AD,证明：,在ABD和ABC中1=2（已知）D=C（已知）AB=AB（公共边）ABDABC（AAS）AC=AD（全等三角形对应边相等）,已知：如图,在ABC和ABD中，ACBC,ADBD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证：BD=AC.,A,B,D,C,证明：ACBC,ADBD C=D=90 在RtABC和RtBAD中,RtABCRtBAD(HL),A,BD=AC,牛刀小试,三、方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已
4、知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角(AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),全等三角形识别思路,如图，已知ABC和DCB中，AB=DC，请补充一个条件_，使ABC DCB。,思路1：,找夹角,找第三边,找直角,已知两边：AB=DC，BC=CB,ABC=DCB（SAS）,AC=DB（SSS）,A=D=90（HL）,如图，已知C=D，添加一个条件_，可得ABC ABD，,思路2：,再找一角,已知一边一角（边角相
5、对）C=D，AB=AB,（AAS）,CAB=DAB 或CBA=DBA,A,C,B,D,如图，已知1=2，添加一个条件_，可得ABC CDA，,思路3：,已知一边一角（边与角相邻）：1=2，AC=CA,A,B,C,D,2,1,找夹此角的另一边,找夹此边的另一角,找此边的对角,AD=CB,ACD=CAB,D=B,（SAS）,（ASA）,（AAS）,如图，已知B=E，要识别ABC AED，需要添加的一个条件是_,思路4：,已知两角：B=E，A=A,找夹边,找一角的对边,AB=AE,AC=AD,或 DE=BC,(ASA),(AAS),练一练,一、挖掘“隐含条件”判全等,20,5cm,3cm,公共边，公
6、共角，对顶角,学习提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！,试一试,二、转化“间接条件”判全等,6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。,4.如图（4）AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与 CEB全等吗？为什么？,解：AE=CF(已知),A,D,B,C,F,E,AEFE=CFEF(等量减等量，差相等),即AF=CE,在AFD和CEB中，,AFDCEB,(SAS),解：CAE=BAD(已知),CAE+BAE=BAD+BAE(等量减等量，差相等),即BAC=DAE,在ABC和ADE中，
7、,ABC ADE,(AAS),6.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。,解:连接AC,ADCABC(SSS),ABC=ADC(全等三角形的对应角相等),在ABC和ADC中，,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法：QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法：QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,四、角的平分线：1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,已知:AOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC.
8、作法:,3、用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C.,3.作射线OC.,SSS,则射线OC就是AOB的平分线.,1.如图，ABCDEF，ACDF，D的对应角是（）A.F B.DEF C.BAC D.C,C,2.判定两个三角形全等必不可少的条件是（）A.至少有一边对应相等B.至少有一角对应相等C.至少有两边对应相等D.至少有两角对应相等,A,3.如图，ABAC，DEDF，ABDE，BECF，则可判定ABCDEF的根据是（）A.SSS B.SAS C.HL D.AAS,D,4.已知A
9、BCDEF，且ABC的周长为100 cm，A、B分别与D、E相对应，并且AB30 cm，DF25 cm，则BC的长等于（）A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm,A,5.在RtABC中，C90，AD平分BAC，交BC于D，若BC32，且BD：CD9：7，则点D到AB的距离为（）A.18 B.16 C.14 D.12,C,7x,6.如图，在ABC中，C90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，垂足点分别是D、E、F，且AB10，BC8，AC6，则点O到三边AB、AC、BC的距离分别等于（）A.2、2、2 B.3、3、3 C.4、4、4 D.2、
10、3、5,A,B,C,O,D,E,F,A,7.如图，ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DEDF，则EDFBAF.,（提示：作DGAB于G，DHAC于H）,180,8.如图，ABCD，A90，ABEC，BCDE，DE、BC交于点O.求证：DEBC.,证明：ABCD DCA180A 1809090 在RtABC和RtCED中,RtABCRtCED（HL）,BDEC,又A90ACBB90,ACBDEC90COE90DEBC,9.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF.求证：DFEF.,（提示：分两步证明
11、：证明OPDOPE；证明OFDOFE）,9.如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF.求证：DFEF.,证明：OC是AOB的平分线，PDOA，PEOB PDPB 在RtOPD和RtOPE中,RtOPDRtOPE（HL）,ODOE,又OC是AOB的平分线DOFEOF,在OFD和OFE中,OFDOFE（SAS）,DFEF,10.如图，在ABC中，AB2AC，AD平分BAC且ADBD.求证：CDAC.,（提示：过点D作DEAB于E 分两步证明：ADEBDE；ADEADC）,10.如图，在ABC中，AB2AC，AD平分BAC 且ADB
12、D.求证：CDAC.,证明：过点D作DEAB于E AEDBED90 在RtADE和RtBDE中,RtADERtBDE（HL）,AEBE,即 AB2AE又AB2ACAEAC,AD平分BACEADCAD,在ADE和ADC中,ADEADC（SAS）,CAED90,CDAC,课堂总结,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；,（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”,
