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1、特殊的平行四边形,新北师大版九年级数学下册第一单元,菱形的性质,菱形的对边平行且四边相等.,对称性,菱形是轴对称图形，也是中心对称图形.,一：菱形,菱形的定义：有一组临边相等的平行四边形.,菱形的对边平行且四边相等.,菱形的对角相等,菱形的判定方法：,1、有一组临边相等的平行四边形是菱形。,2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。,3、有四条边相等四边形是菱形。,对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。,矩形的性质,矩形的对边平行且相等.,对称性,矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.,二：矩形,矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.,矩形的判定方
2、法：,1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。,2、对角线相等的平行四边形是矩形。,3、有三个角是直角的四边形是矩形。,对于1、2两种判定方法是在平行四边形的前提下来判断的，而3是直接在四边形的前提下判断的。,要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。,3、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,正方形,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,角：四个角都是直角,图形的对称性：既
3、是轴对称图形,又是中心对称图形.,正方形的性质,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,定义法,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,小结,5种识别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,例1、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,OAOMOBON,OMON,OM
4、N13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四边形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,例2、直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（),DE=DF(),DEAC，DFBC,CD平分ACB,四边形ABCD为矩形(),而ACB=90,DEC=90，DFC=90,证明：DEAC，DFAB,有三个角是 直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交
5、AF于H。求证：(1)ACFDCB(2)BHAF,练习,1：BC=FC，1=2，AC=DC,2：由1得：3=HBC，又HDF=CDB，CBD+CDB=90 FDB=180 3 HDF=90,2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS)CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中
6、AE与BF的关系。,5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。,7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值。,因为是正方形 若对角线AC、BD交于点O那么AO=AC的一半=5 BAC=45 ACBD 又PEAC PFBD四边形PEOF为矩形 PF=OE 在三角形APE中 PAE=45 AE=PEPE+PF=AE+OE=AO=5,8、如图，正方形ABC
7、D的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,在BC中取P,使BP=2,连DP,则DP是DN+MN的最小值证明:因为ABCD是正方形,所以AC平分角BCD而CP=CM=8-2=6所以,AC垂直平分MP所以,MN=NP所以,DN+MN=DN+NPD,N,P在同一条直线时,DN+NP最小所以:DP是DN+MN的最小值DN+MN的最小值=DP=(CD+CP)=(8+6)=10,8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,9、已知，如图在ABC中，AB=AC，
8、ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。,10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN,（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变
9、，问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？,.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC
10、，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,几种特殊四边形的性质,平行四边形,边,角,对角线,对称性,对边平行且相等,对角相等、邻角互补,两条对角线互相平分,中心对称,矩形,同上,四个角是直角,互相平分且相等,既轴对称又中心对称,菱形,对边平行、四边相等,对角相等、邻角互补,互相垂直平分且平分对角,同上,正方形,同上,四个角是直角,互相垂直平分且相等；平分对角,同上,平行四边形,(1)两组对边分别平行;,矩形,(2)是平行四边形.且有一个角是直角；,菱形,（2）是平行四边形，且有一组邻边相等；,（1）是平行四边形，有一个角是直角且有一组邻边相等；（2）是矩形，且有一组邻边相等；（3）是菱形，且有一
11、个角是直角；（4）是矩形，对角线互相垂直；（5）是菱形，且对角线相等。,正方形,(2)两组对边分别相等；,(3)一组对边平行且相等；,(4)两条对角线互相平分；,(5)两组对角分别相等；,(1)有三个直角；,（3）是平行四边形，并且两条对角线相等；,（1）四条边都相等;,（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直；,几种特殊四边形的常用判定方法,A,1.下列命题:(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.(4)顺次连结矩形四边中点所得的四边形还是矩形 其中错误命题的个数为()A1
12、个 B2个 C3个 D4个,2;如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：S1+S2=S3+S4 S2+S4=S1+S3 若S3=2 S1，则S4=2 S2 若S1=S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_.,解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和,等于矩形面积的一半，,同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和,等于矩形面积的一半.,=,所以一定成立,本题利用三角形的面积计算，能够得出成立，要判断成立，在这里充分利用所给条件，对等式进
13、行变形.不要因为选出，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 这一选项容易漏选.,2、4,3:已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E,1=2。(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。,4:如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，BAEBCE，AEDCED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD,相交于点F（1）求证：四边形ABCD是正方形（2）当AE2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论,（1）证明：四边形ABCD是矩形，BADBCD90BAEBCE，BA
14、DBAEBCDBCE，即EADECDAEDCED，EDED，AEDCEDADCD矩形ABCD是正方形,（2）FG3EF理由：BGAD，GEAD由于EADECD，GECDCEGFEC，CEGFEC,由（1）知CEAE，而AE2EF，故CE2EFEG2CE4EF，即EFFG4EFFG3EF,5:如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长.,解：（1）证明：四边形ABCD正方形，B=D=90,AB=AD.AEF是等边三角形，AE=AF.RtABERtADF,BE=DF,BC=CD,CE=CF.,（2）在RtEFC中，设EC=FC=x 根据勾股定理 解得x=根号2,.设正方形ABCD的边长为x，则x2+(x,)2=22,正方形ABCD的周长为 4=2,解得X=（舍负）,+2,.,2,2,2,
