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1、学点一,学点二,学点三,学点四,1.函数零点的概念对于函数y=f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的.2.函数零点与方程根的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的，也就是函 数y=f(x)的图象与 的交点的.所以方程 f(x)=0有 函数y=f(x)的图象与 函数y=f(x).,f(x)=0,零点,实数根,x轴,横坐标,实数根,x轴有交点,有零点,3.函数零点的判断如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)，那么，函数y=f(x)在区间 内有零点，即存在c(a,b),使得，这个c也就是方程f(x)=0的根.4.二次函数的零点、二次
2、函数图象与x轴的交点、一元二次方程的根三者之间的关系.,0,(a,b),f(c)=0,有两个零点,=b2-4ac,0,0,=0,ax2+bx+c=0,(a0)的根,y=ax2+bx+c(a0)的图象,y=ax2+bx+c,(a0)的零点,方程无实数根,x1=x2=,有一个二重零点,没有零点,学点一 函数的零点,求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.,【分析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点就是求相应方程的实数根.,【解析】（1）由f(x)=4x-3=0得x=，所以函数的零点是.（2）由于f(x)=-x2-2x+3
3、=-(x+3)(x-1)，因此方程f(x)=0的根为-3,1，故函数的零点是-3,1.（3）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得x=1,-1,故函数的零点是1,-1.,【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点.,（1）令lnx-3=0,得x=e3,函数的零点为x=e3.（2）方程x3-7x+6=0可化为x3-6x-x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0.即(x-1)(x-2)(x+3)
4、=0得x1=-3,x2=1,x3=2,函数y=-x2-2x+3的零点为1,-3;函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.,求下列函数的零点:(1)y=lnx-3;(2)y=x3-7x+6.,学点二 判断零点,判断函数f(x)=x2-x-6的零点是否存在，若存在,说明零点所在的一个区间.,【分析】要判断函数的零点的个数，实际就是考查方程x2-x-6=0的解的个数，即y=x2-x-6的图象与x轴的交点个数.,【解析】考查函数f(x)=x2-x-6知图象为抛物线（如图所示），容易看出f(0)=-60,f(-4)=140.,【评析】(1)方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁；(2)体会数形结合
5、和函数与方程的思想的运用.,由于函数f(x)的图象是连续曲线，因此,点B(0,-6)与点C（4,6）之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一个点x1,使f(x1)=0；同样在区间(-4,0)内也必有一个点x2，使f(x2)=0,所以函数f(x)=x2-x-6有两个零点，分别在区间(0,4)和(-4,0)内.,求证：方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上，另一个在区间(1,2)上.,证明:令f(x)=5x2-7x-1,则f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=11,f(2)=5.由f(-1)0,f(0)0知方程在(1,2)上也有一根.,学点三 函数值符号的判定,
6、函数y=-2x2+x+3的自变量x分别在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0？,【分析】首先求出函数的零点，然后利用零点，结合函数的两个性质，可以求出函数值大于0，小于0，等于0时自变量x的取值范围.,【解析】由-2x2+x+3=0得x1=-1,x2=，所以函数的零点是-1和，亦即当自变量x取-1和 时,函数值等于0.函数的两个零点-1和 将数轴分成3个区间：(-,-1),（-1,）,（,+），在区间（-1,）内取特殊值,x=0，得其函数值f(0)=30，依函数零点的性质（2）知当x（-1,）时,有f(x)0；再依据函数零点的性质（1）知,当x(-,-1)和x（,+）时，都有f(x)
7、0.因此，当自变量x（-1,）时,函数值大于0；当x(-,-1)（,+）时，函数值小于0；当x=-1和 时，函数值等于0.,【评析】求出函数的零点后，充分利用函数零点的两个性质，得到在不同的自变量的取值范围内，函数值的不同取值情况.,求函数y=x2-2x-8在y0时，x的取值范围.,解：y=x2-2x-8=(x+2)(x-4),函数的两个零点是-2和4,由图象可知 当x(-,-2)(4,+)时,y0.,学点四 零点与不等式,已知函数f(x)=x3-4x.（1）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式:xf(x)0.,【分析】由函数的零点判断作出函数图象.,【解析】（1）因为 x3-4x=x(
8、x-2)(x+2)，所以函数的零点为0,-2,2.三个零点把数轴分成4个区间：(-,-2,(-2,0,(0,2,(2,+).由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图象如图所示.,（2）不等式xf(x)0 x0,结合函数图象,得不等式的解集为(0,2)(-2,0).,【评析】根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数的图象，结合函数图象不仅可以直观的研究函数的性质，而且能够求解相关的不等式，这体现了以数辅形，以形助数的思想方法.,已知函数f(x)=x2+2x-3m，当x(0,+)时，f(x)0，求m的取值范围.,可分两种情况处理，即分无零点和有零点。（1）当f(x)无零点时,=4+1
9、2m0.（2）当f(x)有零点,且又满足x(0,+)时,f(x)0,有两个零点必落在(-,0)内,此时有 0 m-ba0-20 ca0,-3m0,即,解得-m0.综上所述,得当x(0,+),f(x)0时,m的取值范围是m0.,1.怎样判定函数f(x)在a,b上是否有零点?,判定f(x)在区间a,b上是否有零点，可用下面方法：（1）函数在区间a,b上的图象连续，且它在区间a,b端点的函数值异号，则函数在a,b上一定存在零点；（2）函数图象连续且在区间a,b上存在零点，则它在区间a,b端点的函数值可能异号,也可能同号；上述方法只能用来判断函数零点的存在性，不能用来判断函数零点的个数.,2.怎样理解
10、函数零点与方程根的关系？3.函数值与零点有什么关系？,返回目录,设给出函数y=f(x)，则有方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有交点.若方程f(x)=0有二重实根，则称函数y=f(x)有二阶零点.,对于任意函数y=f(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有（1）当通过零点时,函数值变号.如函数y=x2-x-6的图象在零点-2的左边时，函数值取正号；向右通过零点-2时，函数值由正变负；继续向右通过零点3时,函数值又由负变正.（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.,2.求出函数的零点后，充分利用函数零点的两个性质，得到在不同的自变量的取值范围内，函数值的不同取值情况.,1.求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点.,祝同学们学习上天天有进步！,
