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1、无套利分析方法,第一节 无套利定价原理,一.什么是套利以及几个例子？商业贸易中的”套利”行为？例如1：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进10吨铜合同的同时，与需求商 乙 签订一笔卖出10吨铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以55,000元/吨的价格从甲那里买进10吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的10吨铜以57,000元/吨的价格卖给乙，并且交货时间相同。这样，1吨铜赚取差价2,000元/吨。,无风险套利的定义,在金融理论中，套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，即可能会承担一定的低风险。,套利活动是
2、对冲原则的具体运用，如果现有两项头寸A与B其价格相等，预计不管发生什么情况，A头寸的现金流SA大于B头寸的现金流SB，现可构筑零投资组合，卖空头寸B股将其收入买进头寸A股（由于A与B现时价格相等）得零投资组合的现金流净现金为（SA-SB）大于零。套利行为所产生的供需不均衡将推动头寸B的现金流SB趋于SA。所以，在市场均衡无套利机会时的价格，就是无套利分析的定价技术。,无套利定价法,如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。,无
3、套利的价格是什么？,无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。,无套利分析法：我们以远期外汇市场为例。假定外汇市场和货币市场的行情如下表所示。,在上表所示的行情假定上，市场上势必发生套利行为。套利者会借入马克，换成美元，同时，作远期交易，对马克卖出美元。套利者借入2马克，利率为10%，到期须偿还2.2马克的本息。在即期市场上，套利者用2马克换成1美元，以20%的美元年利率，将美元存放一年、到期可获取1.2美元的本息。套利者在即期买入1美元的同时，远期卖出1.2美
4、元。到期时，套利者将1.2美元的本息按远期汇率换成2.4马克，偿还2.2马克的马克本息后，获利0.2马克。这种套利活动的进行，势必会使马克的利率上升，美元的利率下降，美元即期汇率上升，美元远期汇率下跌。,无套利分析法举例,以远期外汇市场为例。假定外汇市场和货币市场的行情如下所示：货币市场 外汇市场美元利率 4.27%即期 EUR1=$1.23欧元利率 2.21%一年远期 EUR1=$1.23套利过程：借入200欧元，利率2.21%，到期偿还204.42欧元本息；用200欧元换成246美元，以4.27%的年利存放一年，到期获取256.5美元，按远期汇率换成208.54欧元，偿还204.42欧元本
5、息后，获利4.12欧元。,二.无套利定价原理,金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是“无风险套利定价”原理或者简称为“无套利定价”原理。什么情况下市场不存在套利机会呢？我们先看一下无风险套利机会存在的等价条件：,无风险套利机会存在的等价条件,（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把
6、损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。,（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。,上述无套利机会的存在等价性条件,（1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。（2）静态组合
7、复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的“复制组合”（replicating portfolio）。,（3）动态组合复制定价：如果一个自融资（self-financing）交易策略最后具有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（dynamic hedging strategy）。所谓自融资交易策略简单地说，就是交易策略所产生的资产组合的价值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而不是另外增加现金投入或现金取出。,三.确定状态下无套利定价原理的应用,1、同损益同价格（例子2）假设两个零
8、息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,2、静态组合复制定价（例子3）,假设3种零息票的债券面值都为100元，它们的当前市场价格分别为：1年后到期的零息票债券的当前价格为98元；2年后到期的零息票债券的当前价格为96元；3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约。问题：（1）如果息票率为10，1年支付1次利息
9、的三年后到期的债券A的当前价格应该为多少？（2）如果息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A的当前价格为120元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,对于第一个问题，我们只要按照无套利定价原理的推论（2），去构造一个“复制组合”就可以了。先看一个息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为100元，息票率为10，所以在第1年末、第2年末和第3年末的利息为1001010元，在第3年末另外还支付本金面值100元。如图所示：,构造相同损益的复制组合为：（1）购买0.1张的1年后到期的零息票债券，其损益刚好为1000.110元；（2）购买0.1张的2年后到期的零息票
10、债券，其损益刚好为1000.110元；（3）购买1.1张的3年后到期的零息票债券，其损益刚好为1001.1110元；所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，因此根据无套利定价原理的推论（2），具有相同损益情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券的当前价格应该为：0.1980.1961.193121.7,对于第二个问题，其原理与例子2类似，债券A的当前价格为120元，小于应该价格121.7元，因此根据无套利定价原理，存在套利机会。当前市场价格为120元，而无套利定价的价格为121.7元，所以市场低估了这个债券的价值，则应该买进这个债券，然后卖
11、空无套利定价原理中的复制组合。即基本的套利策略为：（1）买进1张息票率为10，1年支付1次利息的三年后到期的债券A；（2）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券；（3）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券；（4）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券；,3、动态组合复制定价（例子4）,假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元。从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格也为98元。并且假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少呢？（2）如果现在开始2年后到期的零息票债券价格为97元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？,与例子3不同的是，在这
12、个例子中我们不能简单地在当前时刻就构造好一个复制组合，而必须进行动态地交易来构造复制组合。我们要运用无套利定价原理的第三个推论。现在看一下如何进行动态地构造套利组合呢？,按照无套利定价原理的第三个推论，自融资交易策略的损益等同于一个证券的损益时，这个证券的价格就等于自融资交易策略的成本。这个自融资交易策略就是：（1）先在当前购买0.98份的债券Z01；（2）在第1年末0.98份债券Z01到期，获得0.9810098元；（3）在第1年末再用获得的98元去购买1份债券Z12；这个自融资交易策略的成本为：980.9896.04,存在交易成本时的无套利定价原理,当存在这些交易成本时，上面的无套利定价原
13、理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，那么所构造的套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略获得的盈利可能还不够支付交易成本。所以，无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个产品的价格区间，或者说价格的上限和下限。,例子5,假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，并且出售债券也需要支付1元的费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只
14、有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,按照无套利定价原理，在没有交易成本时，B的合理价格为98元。不管大于或小于98元，都存在套利机会。如果卖空和出售债券需要费用，那么是否价格不等于98元，就存在套利呢？比如，债券B的当前价格为97.5元，按照前面的套利思路为：（1）卖空债券A，获得98-1=97元（由于卖空A需要1元的费用）；（2）虽然债券B只有97.5元，但是97元还不够用于买进债券B；,因此，在卖空和出售债券需要1元费用情况下，债券B的合理价格区间为：97，99。当债券B低于下限97元时，可以通过卖空债券A，买进债券B赢利；当债券B高于上限99元时，可以通过卖空债券B，买
15、进债券A赢利。因为债券B的当前价格是97.5元，落在此区间内，将无法使用套利策略获得盈利。,虽然如果债券B的价格落在97，99内，它们将无法获得套利机会，但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。,案例6,假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设不考虑违约情况。但是假设卖空1份债券需要支付1元的费用，出售债券也需要支付1元的费用，买入1份债券需要0.5元费用。如果债券A的当前价格为98元。问题：（1）债券B的当前价格
16、应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？,因此，债券B的市场价格区间为：96.5，99.5，在此区间范围内不存在赢利的套利策略。当债券B的当前价格只有97.5元，不存在套利机会。但是实际上，当债券B的价格小于债券A的价格，投资者会倾向于购买债券B；反之则购买债券A。因此，事实上，债券B会接近于债券A的价格。,对于存在交易成本的无套利定价原理总结如下：（1）存在交易成本时，无套利定价原理可能无法给出确切的价格，但可以给出价格区间。存在交易成本时的价格区间为：先不考虑交易成本，根据无套利定价原理计算出理论价格，然后再根据此价格减去最小总交易成本
17、确定为下限价格，此价格加上最小总交易成本为上限价格。,四.不确定状态下无套利定价原理例子,在上一节的债券案例中，未来的损益（现金流）都是在当前就确定的，但实际市场中很多产品的未来损益是不确定的，要根据未来的事件而确定。比如，一个股票看涨期权，当到期日股票价格大于执行价格时，这个期权可获得正的损益，为到期日股票价格减去执行价格；但是，如果到期日股票价格小于等于执行价格，则这个期权到期日损益为零，即没有价值。因此，期权的损益是不确定的，它依赖于未来的股票价格。下面讨论这种未来损益不确定情况下的无套利定价原理。,1、同损益同价格（例子7）,假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场价
18、格会出现两种可能的状态：在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为，在状态1时上升至105，在状态2时下跌至95元。另外，假设不考虑交易成本。问题：（1）证券B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为99元，是否存在套利？如果有，如何套利？,案例7与前面几个案例的不同地方在于，前面案例中的资产为债券，其未来的损益为确定的，即在某一时间时只有一种状态，以概率100%发生。但本案例中的资产为风险证券，其未来的损益出现两种可能，可能上涨，也可能下跌，即未来的状态不确定。但根据无套利定价原理，只要两种证券的损益完全一样，那么它们的价格也
19、会一样。所以，证券B的合理价格也应该为100元。因为证券B的价格为99元，因此存在套利机会。只要卖空证券A，买进证券B，就可实现套利1元。,2、静态组合复制定价（案例8）,假设有一风险证券A，当前的市场价格为100元，1年后的市场有两种状态，在状态1时证券A价格上升至105元，在状态2时证券A价格下跌至95元。同样，也有一证券B，它在1年后的损益为，状态1时上升至120元，状态2时下跌至110元。另外，假设借贷资金的年利率为0，不考虑交易成本。问题：（1）证券B的合理价格为多少呢？（2）如果证券B的现在价格为110元，是否存在套利？如果有，如何套利？,案例8中证券B的损益与证券A不同，两个证券
20、的损益状态如图4所示。现在考虑如何利用证券A和无风险债券来构建一个与证券B损益相同的组合,构建一个组合：x份证券A和y份的借贷（y大于零为借出钱，y小于零为借入钱）。要使得组合的损益与B的损益完全相同，则：,解得：x1，y 15。因此，买人1份证券A，再借出现金15份的组合的损益与证券B的损益完全相同，所以证券B的价格等于组合的价格：即1100151115元,当证券B的现在价格为110元，存在套利机会,构造一个套利策略：买进证券B，再卖空上面的等损益组合，1份证券A和15份现金。所以整个套利组合为：买进证券B，卖空证券A，借入资金15。买进证券B的成本为110元，卖空证券A可得到100元，借入
21、资金15所以还剩下5，这部分实际上就是套利策略的盈利。因为期末的现金流为0。这个组合的期初和期末现金流可见表2-3。,3、动态组合复制定价（案例9）,把案例8中的市场未来状态，从两种状态扩展到3种状态。风险证券A在1年后的未来损益为，状态1时110.25，状态2时99.75，状态3时90.25。同样，也有一证券B，它在1年后三种状态下的未来损益分别为125，112.5和109如图2-5。另外，假设借贷资金的年利率为5.06，半年利率为2.5%，不考虑交易成本。问题：（1）B的合理价格为多少呢？（2）如果B的价格为110元，是否存在套利？如果有，如何套利？,而上述方程却无解。为什么呢？因为当损益
22、存在三种状态时，仅仅依靠两种证券的组合是无法复制出任意一种三状态的证券的。这在金融学中称为“不完全市场”。,110.25x 1.0506y 12599.75x 1.0506y 112.590.25x 1.0506y 109,但在1954年，Arrow和Debreu就证明在某些条件下，随着时间而调整组合的动态组合策略可复制出市场中不存在的证券。,下面我们看一下如何通过证券A和资金借贷的动态组合复制出证券B。所谓动态指的是变化，所以我们把1年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合。假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为105元和95元。但证券B在半年后两种状态下的损益值事先不知道。证券
23、A和B的损益如图2-6所示，而资金借贷的损益如图2-7所示。,证券A和B的两期三状态损益图,动态组合复制过程示意图,无套利定价方法的主要特征：,无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合（自融资组合）。,如何将无套利定价法运用到期权定价中？,Case：假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,为了找出该期权的
24、价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，必须满足下式：11 0.5=9=0.25,该无风险组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市价为10元，因此：,第二节 风险中性定价法,在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。,例
25、子,假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。,在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。P=0.6266这样，根据风险中性定价原理，我们就可以就出该期权的价值：,General case,假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到Sd。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格
26、下降到Sd时，期权的收益为fd。,无套利定价法的思路,首先，构造一个由股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的值。,如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（Su-fu）e-r（T-t）,而构造该组合的成本是S-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即S-f=（Su-fu）e-r(T-t)，所以,风险中性定价的思路,假定风险中性世界中股票的上升概率为p，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：,第三节 状态价格定价技术,状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时
27、刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。,例子,A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q）。我们现在来构造两个基本证券。基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2的价格是d。,购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一个假想的证券组合。该组合在
28、T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流 PA=uuPA+ddPA 或1=uu+dd由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r,所以只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出的主观判断，但是人们对p认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。,例：假如债券A现在的市场价格为100元，一年以后有两种状态，上升时为107元，下降时为98元，市场无风险年利率为2%（连续复利）。现假设另有一个风险债券B，它在一年后的可能状态也是两种，其价格要么上升到103元，要么下跌至98.5元。那么债券B的价格是多少？请用状态价格定价法来计算。,第四节 积木分析法,积木分析法也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。通过这种方法,可以用图形的方式,将风险收益关系以及金融工具之间的关系显示出来。,期权交易的四种损益图（不考虑期权费）,金融工程师常用的六种积木,资产多头看跌期权多头看涨期权多头,资产多头看涨期权空头看跌期权空头,资产空头看涨期权多头看跌期权多头,资产空头看跌期权空头看涨期权空头,
