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1、,第十一章 曲线与曲面积分,第一类曲线积分,特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.,(2)微元 是平面曲线弧长元素.,(3)空间曲线上的一类曲线积分,对弧长的曲线积分:,(1)公式法:,L的参数方程：,L:,L:,一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.,2.第一类曲线积分的计算,步骤：,1.写出L的参数方程，确定参数的范围,2.化为定积分,一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.,(2)技巧：对称性简化计算.,例题,第二类曲线积分,1.引例：变力沿平面曲线做功,(2)被积函数的定义域是曲线弧.,特点(1)积分曲线是有向曲线弧.,(3)微元 是有向弧微分 在坐
2、标轴上的投影,(4)变力沿空间曲线做功,一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.,2.第二类曲线积分的计算,(1)公式法:,有向曲线L的参数方程：,从 到,步骤：,1.写出L的参数方程，确定参数的走向,2.化为定积分,例题,其中L为沿抛物线 从点,到,的一段.,例4 计算,例5 计算 其中 是从到 的直线段.,(1)格林公式平面闭曲线,第二类曲线积分的重要定理,说明：,(1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分.,(2)L是D的正向边界曲线沿着边界走，区域在左手.,(3)L必须是封闭的平面曲线.,添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.,加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负
3、号。,挖洞：含奇点时莫忘挖洞去奇点.,应用：,B,A,定义：,曲线积分与路径无关等价于,条件：,(2)曲线积分与路径无关,利用路径无关计算曲线积分,特点：路径无关，闭曲线,积分为零.,特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.,第二类曲线积分的计算方法总结,1.公式法：被积函数与积分路径简单.,2.格林公式：平面闭曲线，不易积分，但 简单.,3.路径无关：选择简单路径，积分.,三、二元函数的全微分求积,?,?,第一类曲面积分,“一投，二代，三换，投影，换元看方程”,第一类曲面积分的计算,例12 计算,其中 为球面,例13 计算，其中 为,例15 计算，其中 为球面,步骤：,1.写出曲面的显式表达
4、式,2.将曲面向xoy面投影,3.求出曲面面积元素,4.化为二重积分,“一投，二代，三换，投影，换元看方程”,预备知识：,1.有向曲面的侧,2.有向曲面在坐标面上的投影,第二类曲面积分,用 表示 的反向曲面,则,第二类曲面积分的计算,一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧,理解：在曲面上；曲面面积元素的投影.,特点：曲面具有单值函数表达式,2、化为二重积分,3、计算二重积分,一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧,两类曲面积分之间的联系,其中是,旋转抛物面,介于平面 z=0,之间部分的下侧.,例18 计算,及 z=2,的方向取外侧.,或,高斯公式,三度,例22 已知,求在 处,
