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1、曲面积分习题课,则,如果曲面方程为以下三种：,则,第一类曲面积分,1.基本计算公式,则,计算的关键是看所给曲面方程的形式！,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),若,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,(上正下负),则有,第二类曲面积分,两类关系,向量点积法,两类关系公式的另一种表达形式,向量点积法,向量点积法,一、高斯公式,定理,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,2.通量与散度,G 内任意点处的散度为,斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,斯托克斯(Stokes)公式,2.旋度,2.基本技巧,(1)利用对称性及重
2、心公式简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,解：由于 关于变量 x,y 轮换对称性,例1,解,由点到平面的距离公式,得,例2,得,解：利用奇偶对称性,例3,例4,解,利用向量点积法,法1：,用高斯公式.,补面：取下面，,取上面。,则 构成封闭曲面，且取外侧。,计算,由高斯公式,法2：,注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。,例5,解,利用两类曲面积分之间的关系,上侧.,其中,的上侧.,且取下侧,提示:以半球底面,原式=,记半球域为,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,为半球面,例6,例7.,证明:设,
3、(常向量),则,单位外法向向量,试证,例8.计算曲面积分,其中,解:,引申:1.本题 改为椭球面,时,应如何计算?,应如何计算?,2.若本题 改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，,:,计算：,其中：,引申:1,然后用高斯公式.,引申:2,分两种情形,情形1：不包围原点的任意闭曲面。,情形2：包围原点的任意闭曲面。,问题转化为与引申1类似的情形。,例9.设 是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得,例10.计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,(曲面关于xoz面对称）,例11.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算,解:记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,选择题：,
