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1、圆单元复习,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,C,O,A,B,连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，,与圆有关的概念,弦,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,C,O,A,B,弧,圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”,C,O,A,B,劣弧与优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.,大于半圆的弧叫做优弧.,（如图中的AC）,(用三个字母表示,如图中的ACB),想一想,判断下列说法的正误：,(1)弦是直径；,(2)半圆是弧；,(3)过圆心的线段是直径；,(4)过圆心的直线是直径；,(5)半圆是最长的弧；,(6)直径是最长
2、的弦；,(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧,合作学习,请将自己所画的圆与同伴所画的圆进行比较，它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？,半径相等的两个圆叫做等圆。,圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;,半径相等的两个圆是等圆.,判断题,弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。,等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。,同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆,等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。,1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数
3、相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。,注意：,O,A,B,C,D,E,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB,“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.,你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!,垂径定理的推论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理及推论,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两
4、条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,一、判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（
5、5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,（7）平分弦的直径垂直于弦,圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.,圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.,O,弧、弦与圆心角的关系定理,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。,综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,即 ABC=AOC.,同弧 所对的圆周角相等.都等于这条弧所对的圆心角的一半.,(等弧),思考:相等的圆周角所对的弧相等吗?,在同圆或等圆中,圆周角定理:,A,B,C,D
6、,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.,则 D=A,ABCD,1.如图,在O中,BOC=50,求A的大小.,解:A=BOC=25.,如图,AB是直径,则ACB=,90 度,半圆（或直径）所对的圆周角是直角，,90度的圆周角所对的弦是直径。,如图，设O 的半径为r，A点在圆内B点在圆上C点在圆外,点A在O内,点B在O上,点C在O外,反过来，如果已知点到圆心的距离和圆的半径之间的关系，可以判断点和圆的位置关系?,OAr,OB=r,OCr,OAr,OB=r,OCr,O,设O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：,点P在O内,点P在O上,点P在O外,dr,d=r,dr,d,读作“等价于”
7、，它表示从符号左端可以得到右端，也可以从右端得到左端。,1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？,A,无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离,2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？,以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点到A或B的距离为半径作圆.,无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。,3、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？,归纳结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。,B,C,经过B,C两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.,A,经过A,B,C三点的圆的圆心应该这两条
8、垂直平分线的交点O的位置.,O,经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.,经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个,一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。,三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。,想一想,O,分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三
9、角形外.,相交,相切,相离,直线与圆有三种位置关系,（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。,这时直线叫做圆的割线。,（2）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。,这时直线叫做圆的切线。,（3）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。,直线与圆位置关系的数量特征,相交,相切,相离,O,O,O,探索与发现,演示,无,切线,割线,无,切点,交点,d r,d=r,0,2,相切,相交,小结,2、本节课利用（1）类比点与圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；,（2）利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类讨论；,（3）用了数形结合的思想，通过 d 与
10、 r 这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系。,切线的判定定理,定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,老师提示:切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.,如图OA是O的半径,直线CD经过A点,且CDOA,CD是O的切线.,切线的性质定理,定理 圆的切线垂直于过切点的半径.,如图CD是O的切线,A是切点,OA是O的半径,CDOA.,老师提示:切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.,切线判定定理的应用,1.已知O上有一点A,你能过点A点作出O的切线吗?,老师提示:根据“经过半径的外端,并且
11、垂直于这条半径的直线是圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.,2.已知O外有一点P,你还能过点P点作出O的切线吗?,经过圆外一点的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这个点到圆的切线长,从圆一点外可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理：,从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?,老师提示:假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.,三角形与圆的位置关系,I,I,三角形与圆的位置关系,这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.,内切圆的圆
12、心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.,切点,外离:两圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外离.,外切:两圆只有一个公共点,并且除了公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.这个公共的点叫做切点.,切点,相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.,内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.这个公共点叫做切点.,内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内含.,圆和圆的位置关系,外 离,内 切,相 交,外 切,内 含,没有公共点,相 离,一个公共点,相切,两个公共点,相交,圆与圆的位置
13、关系,两圆位置关系的性质与判定:,性质,判定,0,Rr,R+r,同心圆,内含,外离,外切,相交,内切,位 置 关 系 数 字 化,d,解：设P的半径为R(1)若O与P外切，则 OP=5+R=8 R=3 cm,(2)若O与P内切，则 OP=R-5=8，R=13 cm所以P的半径为3cm或13cm,.,.,P,O,1 如图O的半径为5cm，点P是O外一点，OP=8cm。若以P为圆心作P与O相切，求P的半径？,例题,小结:,1)两圆的五种位置关系,2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量关系来判别两圆的位置关系,知识精华:,2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,.中心：一个正多边
14、形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,O,3.中心角：正多边形每以边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距,一、知识要点概述,1、弧长公式和扇形面积公式,n的圆心角所对的弧长l和含n圆心角的扇形的面积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：,这样就不至于因死记硬背而出错,将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：,这一公式与三角形面积公式酷似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看成底边上的高即可,2、弓形面积,弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应
15、用时，可根据图形直观选用下列公式：,当弓形所含的弧是劣弧时,如图(甲)，,S弓形=S扇形OABSAOB；,当弓形所含的弧是优弧时，如图(乙)，,当弓形所含的弧是半圆时，如图(丙)，,3、圆锥的基本特征,如图：,圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面；,圆锥的母线长都相等；,经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形,如图，SAB就是一个经过圆锥的轴的截面，简称为轴截面，它是一个等腰三角形，底边AB是底面圆的直径，腰是圆锥的母线，高是圆锥的高，它的顶角叫做锥角，锥角的大小反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度,4、圆锥的侧面展开图,圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆周长 如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积，即S侧=rl，S全=S侧S底=rlr2=r(lr),注意：扇形的弧长就是底面圆的周长，扇形的半径就是母线长,二、重难点知识归纳,弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积,三、典型例题赏析,例1、如图，ABC是正三角形曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中 的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连结如果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少？,
