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1、1,第三章 扭转,2,3-1 概 述,3,E,扳手,4,5,6,变形特点：.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；.杆表面的纵向线变成螺旋线；.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。,外力与变形：等截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的 外力偶Me作用下发生扭转。,第三章 扭转,薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。,7,扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。,扭转的几个概念：,8,本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象，所研究的问题仅限于杆在线弹性范围内工作的情况。,第三章 扭转,9,3-2 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒通常指
2、的圆筒,当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩扭矩(torque),第三章 扭转,10,薄壁圆筒的扭转实验,第三章 扭转,11,一、薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律,第三章 扭转,1、假设：(1)横截面保持为形状、大小均未改变的平面，即横截面 如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间 的距离未变。,12,2、横截面上的应力与内力的关系：由截面上的应力与微面积dA之乘积的合成对于截面形心o的矩等于截面上的扭矩可知，(1)横截面上的应力只能是切应力。且是与圆周相切的切应 力，圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
3、(3)横截面上无正应力。,第三章 扭转,t,13,二、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：,由 根据应力分布可知,引进，上式亦可写作,，于是有,第三章 扭转,t,14,三、剪切胡克定律(Hookes law in shear),(1)设上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这 种直角改变量称为切应变g。该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种 角位移称为相对扭转角j。在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的 平均半径。,第三章 扭转,15,薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值
4、上等于扭矩T)与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系，即：,这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shear modulus)。钢材的切变模量的约值为：G=80GPa,第三章 扭转,16,3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩,当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶Me在t 秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a。,第三章 扭转,17,外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率：,若已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P，则作用于每一轮上的外力偶矩：,第三章 扭
5、转,18,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶的转向与传动轴的转动方向相反。,第三章 扭转,19,二、扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。,第三章 扭转,T=Me,20,扭矩正负号规定：可用右手螺旋定则来判断，即右手四指内 屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法 线相同，规定扭矩为正，反之为负。,第三章 扭转,21,例题3-1 一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150 kW，P3=150 kW，P4=200 kW。试作轴的扭矩图。,第三章 扭转,22,解
6、：1.计算作用在各轮上的外力偶矩,第三章 扭转,23,2.计算各段的扭矩,BC段内：,AD段内：,第三章 扭转,注意这个扭矩是假定为负的,24,3.作扭矩图,由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。,第三章 扭转,25,例题3.2 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm，mB10kNm,mC6kN.m，试求11截面和22截面上的扭矩，并画扭矩图。,6KNm,4KNm,26,3-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件,小变形条件下，等直圆杆扭转时横截面上只有切应力。下面是其公式的推导。,问题提出：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T.分析方法：从几何、
7、物理、静力学三方面着手。,一、横截面上的应力,27,实观表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(几何方面）,横截面上应变变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(静力学方面),第三章 扭转,合理假设,28,1.表面变形情况及假设 圆周线：相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但大小和形状 未变，小变形情况下间距也未变；(b)纵向线：纵向线倾斜了一个角度g。(c)平面假设：等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的 轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。(d)推论：类同薄壁圆筒，杆横截面上只有切应力且垂直于半径,(一)、几何方面,第三章
8、 扭转,29,2.横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：,即：,第三章 扭转,30,式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。,结论：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,第三章 扭转,31,(二)物理方面,由剪切胡克定律 t=Gg 知,第三章 扭转,结论：在横截面的同一半径为 r 的圆周上，各点处的切应力tr 值均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。,32,(三)静力学方面,其中：称为横截面的极惯性矩Ip，Ip是横截面的几何性质，单位m4。,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转
9、时，横截面上任一点处切应力计算公式：,以 代入上式得：,第三章 扭转,又,33,式中Wp称为扭转截面系数，也是截面几何性质，其单位为 m3。,横截面周边上各点处(r=r)的最大切应力为：,第三章 扭转,34,实心圆截面：,圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的推导过程：,第三章 扭转,35,空心圆截面：,第三章 扭转,36,例题1：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。,二者交界处的切应力,外层
10、在二者交界处的切应变不为零,剪切胡克定律,提示：在里、外层交界处二者具有相同的切应变,正确答案是（C）,37,解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因
11、为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）,38,通过前面分析可知，等值圆杆扭转时横截面上周边各点的切应力最大，为更全面的了解一点的应力情况，在此进一步讨论这些点处斜截面上的应力。1、单元体、切应力互等定理 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体单元体如图所示,二、斜截面上的应力,第三章 扭转,（假定此微元体的前后面与表面平行）。,39,可得：,由单元体的平衡条件Fx=0 和Mz=0 知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反的一对力tdxdz
12、并组成其矩为(tdxdz)dy 力偶。,第三章 扭转,由,t=t,40,定理意义：单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线切应力互等定理。,第三章 扭转,t=t,切应力互等定理：,公式适用范围：该定理具有普遍意义，也适用于横截面上有 正应力的情况。,纯剪切应力状态：指单元体在其两相对互相垂直的平面上只 有切应力无正应力的状态。如薄壁圆筒和 等直杆扭转时，每个点都处于纯剪切应力状态。,41,例题2：试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的 切应力是否正确。,42,因单元体前、后两面没有无任何应力，可将其改用平面图表示，如
13、图示。现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef(如图)上的应力。,2、斜截面上的应力,第三章 扭转,43,分离体上作用力的平衡方程为,利用t=t，经整理得,第三章 扭转,44,由此可知：,(1)单元体的四个侧面(a=0和 a=90)上切应力的绝对值最大；,(2)a=-45和a=+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,，如图所示。,第三章 扭转,45,低碳钢扭转试验开始,第三章 扭转,低碳钢扭转试验结束,46,低碳钢扭转破坏断口,第三章 扭转,47,铸铁扭转破坏试验过程,第三章 扭转,铸铁扭转破坏断口,48,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试
14、问为什么它们的断口形式不同？,第三章 扭转,分析：低碳钢抗剪强度低于抗拉强度，发生剪切破坏；铸铁强度抗拉低于抗剪强度，发生拉伸破坏。,49,例题3-2 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b)（）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,第三章 扭转,50,解：,第三章 扭转,由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得,51,两轴的重量比即为其横截面面积之比：,空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。,第三章 扭转,52,四、强度条件,此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即：,铸铁等脆性材料制成
15、的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。G=E/2(1+v)v是泊松比。,第三章 扭转,等直圆杆扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态，强度条件即是横截面上的最大工作切应力不超过材料的许用切应力，即,53,强度条件,强度计算的三类问题：,(1)、强度校核,(2)、截面设计,(3)、确定许用荷载,54,例题3-4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm，材料的许用切应力t=80 MPa。试校核该
16、轴的强度。,第三章 扭转,55,BC段内,AB段内,解：1.绘扭矩图,2.求每段轴的横截面上的最大切应力,第三章 扭转,56,3.校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,因t1,max t2,max，且 t2,maxt=80MPa，故该轴满足强度条件。,第三章 扭转,57,解：因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别 按薄壁圆筒和空心圆轴设计。,1.薄壁圆筒设计,设平均半径 R0=(d+)/2,例题：一内径d=100mm的空心圆轴如图示,已知圆轴受扭矩T=5kNm,许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚.,由,得,及,整理得：,解
17、得：,58,当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒。,2.空心圆轴设计,由,得,解得：,即：,59,3-5 等直圆杆扭转时的变形刚度条件,一、扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j 来度量。,第三章 扭转,60,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有：,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为,第三章 扭转,单位长度扭转角,式中：GIp称为等值圆杆的扭转刚度，且以上公式均只适 用于线弹性范围。,61,解：1.各段轴的横截面上的扭矩：,例题3-5 图示钢制实心圆截面
18、轴，已知：M1=1 592 Nm，M2=955 Nm，M3=637 Nm，lAB=300 mm，lAC=500 mm，d=70 mm，钢的切变模量G=80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB。,第三章 扭转,62,3.横截面C相对于B的扭转角（因相对于A截面转动同向）：,2.各段轴的两个端面间的相对扭转角：,第三章 扭转,63,二、刚度条件,式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴j0.150.30()/m；,对于一般的传动轴j2()/m。,第三章 扭转,等直圆杆在扭转时的刚度条件为：单位长度扭转角的最大值不超过某一规定
19、值，即,64,解:1.按强度条件求所需外直径D,例题3-6 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力t=40 MPa，切变模量G=80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax=9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角j=0.3()/m。试选择轴的直径。,第三章 扭转,65,2.按刚度条件求所需外直径D,3.空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a=d/D=0.5知,第三章 扭转,66,思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴
20、的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？,第三章 扭转,67,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,纯剪切应力状态下的应变能密度,第三章 扭转,对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力t 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力t dydz在相应的位移g dx上作功。,68,于是，当材料在线弹性范围内工作时(t tp，见图b)，有,第三章 扭转,69,单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上外力所作功dW，即dV=dW。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为,由剪切胡克定
21、律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为,第三章 扭转,70,在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为,等直圆杆在扭转时积蓄的应变能,由 可知，亦有,第三章 扭转,71,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为,在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：,第三章 扭转,72,例题3-7 图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，D截面处作用有外力偶矩 Me。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能，求D 截面的扭转角 jD。,第三章 扭转,73,解:1.静力
22、平衡求扭矩,2.杆系应变能,其转向与Me 相同。,3.求D 截面的扭转角 jD,74,例题3-8 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a 5)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。,第三章 扭转,75,解：1.求簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F 作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：,剪力 FS=F扭矩 T=FR,第三章 扭转,76,2.求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故
23、在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径D=2R与簧杆直径d 的比值D/d 较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有,第三章 扭转,77,3.求弹簧的缩短(伸长)变形,当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时，变形与外力F成线性关系(如图)。于是有外力所作功：,第三章 扭转,78,至于簧杆内的应变能V，如近似认为簧杆长度l=2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T=FR，则,根据能量守恒原理 W=V，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短(伸长)变形近似计算公式：,如令，则有，式中k 为弹簧的刚度系数(N/m)。,第三章
24、 扭转,79,3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,一、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。,自由扭转(纯扭转)等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。,第三章 扭转,80,约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。,第三章 扭转,二、矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,81,(1)一般矩形截面等直杆,横截面上的最大切应力在长边中点处：Wt扭转截面系数，Wt=bb3，b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,横截面上短边中点处的切应力：t=ntmaxn 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,第三章 扭转,单位长度扭转角：It相当极惯性矩，,a 为与m=h/b 相关的因数(表3-1)。,82,表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a，b 和 n,第三章 扭转,83,(2)狭长矩形截面等直杆,第三章 扭转,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,
