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1、第二章 轴向拉伸和压缩,2-1 轴向拉伸和压缩的概念,1、工程实例,此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。,受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。,变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。,2、拉伸与压缩的特点,2-2 内力截面法轴力及轴力图,内力由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。,、内力,根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）,、截面法轴力及轴力图,求内力的一般方法截面法,（1）截：,（3）代：,（4）平：,步骤：,(d),（2）取：,可看出：杆件任
2、一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。,引起伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。,轴力的符号规定:,(a),拉伸为正，压缩为负,若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。,FN图,FN图,轴力图,用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,注意：,FN=F,FN=0,例2-1 试作图示杆的轴力图。,求支反力,解：,A,B,C,D,E,20kN,40kN,
3、55kN,25kN,600,300,500,400,1800,注意假设轴力为拉力,横截面1-1：,横截面2-2：,此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。,横截面3-3：,同理,由轴力图可看出,20,10,5,FN图(kN),50,解：,1、求支反力,补充例题1,F,F,F,思考：,此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？,图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370370mm2，砖砌体的容重=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。,y,补充例题2,FNy,A=10mm2,A=100mm2,10KN,10KN,100KN,100KN,哪个杆先破
4、坏?,F,F,F,思考：,此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？,2-3 应力拉（压）杆内的应力,、应力的概念,拉压杆的强度,轴力,横截面尺寸,材料的强度,即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的。,杆件截面上的分布内力的集度，称为应力。,M点平均应力,总应力,M,DA,M,总应力 p,法向分量,引起长度改变,正应力:,切向分量，引起角度改变,切应力:,正应力：拉为正，压为负,切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为正，反之为负,s,t,内力与应力间的关系,DFN,DFS,应力量纲,应力单位,、拉（压）杆横截面上的应力,无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律,已知静
5、力学条件,但荷载不仅在杆内引起应力，还要引起杆件的变形。,可以从观察杆件的表面变形出发，来分析内力的分布规律。,等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,观察现象：,平面假设,亦即横截面上各点处的正应力 都相等。,推论：,1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。,2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。,等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式,即,适用条件：,上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面形状没有限制；但对于
6、拉伸（压缩）时平截面假设不成立的某些特定截面,原则上不宜用上式计算横截面上的正应力。,实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。,圣维南原理,作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。,圣维南原理,例2-2 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知 F=50 kN。,解：段柱横截面上的正应力,（压）,150
7、kN,50kN,段柱横截面上的正应力,（压应力）,最大工作应力为,例2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的拉应力。已知：,可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布,解：,根据对称性可得，径截面上内力处处相等,图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的正应力。,FNAB,FNBC,补充例题1,、拉（压）杆斜截面上的应力,由静力平衡得斜截面上的内力：,变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。,推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。,即斜截面上各点处总应力相等。,s0 为拉(压
8、)杆横截面上()的正应力。,总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：,通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，成为该点处的应力状态。,对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。,讨论：,（1）,（2）,（横截面）,（纵截面）,（纵截面）,（横截面）,结论：,1、轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。,2、轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。,3、在平行于杆轴线的截面上、均为零。,切应力互等定理,2-4 拉（压）杆的变形胡克定律,1、拉(压)杆的纵向变形,绝对变形,线应变-每单位长度的变形，无量纲,相对变形,长
9、度量纲,当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。,x截面处沿x方向的纵向平均线应变为,x截面处沿x方向的纵向线应变为,线应变以伸长时为正，缩短时为负。,2、横向变形,横向绝对变形,横向线应变,3、荷载与变形量的关系胡克定律,当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时,引进比例常数E,E 弹性模量，量纲与应力相同，为，,拉（压）杆的胡克定律,EA 杆的拉伸（压缩）刚度。,单位为 Pa；,称为单轴应力状态下的胡克定律,即,4、横向变形的计算,单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变e 与横向线应变e的绝对
10、值之比为一常数：,或,n-横向变形因数或泊松比,低碳钢（Q235）：,例2-4 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。,解：,由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为,故,AC杆的总伸长,例 2-5 图示杆系，荷载 F=100kN,求结点A的位移A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，=30，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。,解：1、求两杆的轴力。,得,2、由胡克定律得两杆的伸长：,根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。,
11、3、计算节点位移,此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。,关键步骤如何确定杆系变形后结点A的位置？,A,A,即,由变形图即确定结点A的位移。由几何关系得,A,A,代入数值得,杆件几何尺寸的改变，标量,此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。,变形,位移,结点位置的移动，矢量,与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。,二者间的函数关系,图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移B。1、已经测出CD杆的轴向应变；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.,B1,C1,1.已知,2.已知EA,补充例题3,图所示结构，
12、刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移B。,B1,补充例题4,2-6 拉(压)杆内的应变能,应变能弹性体受力而变形时所积蓄的能量。,单位：,应变能的计算：,能量守恒原理,焦耳J,弹性体的功能原理,拉(压）杆在线弹性范围内的应变能,外力功：,杆内应变能：,或,应变能密度,应变能密度单位：,杆件单位体积内的应变能,两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。,解：,例2-6 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移A。已知 F=10 kN,杆长 l=2m，杆径 d=25mm,=
13、30，材料的弹性模量 E=210GPa。,而,2-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能,力学性能,材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。,力学性能取决于,内部结构,外部环境,由试验方式获得,本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩）变形条件下的力学性能。,试验条件：常温(20)；静载（及其缓慢地加载）试件：,、材料的拉伸和压缩试验,对圆截面试样：,国家标准规定金属拉伸试验方法,（GB2282002),L=10d L=5d,对矩形截面试样：,试验仪器：万能材料试验机,、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,1、拉伸图,四个阶段：,(1)弹性阶段(2)屈服阶段,(3)强化阶段,(4)局部变形阶段
14、,为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力应变曲线图。,图中：,A 原始横截面面积 名义应力,l 原始标距 名义应变,2、拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：,(1)、弹性阶段OB,此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系,E 线段OA的斜率,比例极限p 对应点A,弹性极限e 对应点B,比例极限,弹性极限,(2)、屈服阶段,此阶段应变显著增加，但应力基本不变屈服现象。,产生的变形主要是塑性的。,抛光的试件表面上可见大约与轴线成45 的滑移线。,屈服极限 对应点D（屈服低限）,(3)、强化阶段,此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。,强度极限b 对应点G(拉伸强度)，最大名义应力
15、,此阶段如要增加应变，必须增大应力,材料的强化,强化阶段的卸载及再加载规律,若在强化阶段卸载，则卸载过程 s-e 关系为直线。,立即再加载时，s-e关系起初基本上沿卸载直线(cb)上升直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲线断裂冷作硬化现象。,ee_ 弹性应变,ep 残余应变（塑性）,冷作硬化现象经过退火后可消除,卸载定律：,冷作硬化,材料在卸载时应力与应变成直线关系,冷作硬化对材料力学性能的影响,p,b,不变,ep,(4)、局部变形阶段,试件上出现急剧局部横截面收缩颈缩，直至试件断裂。,伸长率,断面收缩率：,A1 断口处最小横截面面积。,（平均塑性伸长率）,Q235钢的主要强度指标：,Q235
16、钢的塑性指标：,Q235钢的弹性指标：,通常 的材料称为塑性材料；,的材料称为脆性材料。,3、低碳钢拉伸破坏断面,、其他金属材料在拉伸时的力学性能,锰钢没有屈服和局部变形阶段,强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段,共同点：,d 5%，属塑性材料,无屈服阶段的塑性材料，以sp0.2作为其名义屈服极限，称为规定非比例伸长应力或屈服强度。,sp0.2,对应于ep=0.2%时的应力值,产生0.2的塑性应变所对应的应力,灰口铸铁轴向拉伸试验,灰口铸铁在拉伸时的s e 曲线,特点：1、s e 曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线弹性模量2、没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强度指标sb3、伸长率
17、非常小，拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。,典型的脆性材料,铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：,1、压缩试样,圆截面短柱体,正方形截面短柱体,、金属材料在压缩时的力学性能,2、低碳钢压缩时s e 的曲线,特点：1、低碳钢拉、压时的ss以及弹性模量E基本相同。2、材料延展性很好，不会被压坏。,特点：1、压缩时的sb和d 均比拉伸时大得多，宜做受压构件；2、即使在较低应力下其s e 也只近似符合胡克定律;3、试件最终沿着与横截面大致成 50 55 的斜截面发生错动而破坏。,3、灰口铸铁压缩时的s e 曲线,、几种非金属材料的力学性能,1、混凝土：拉伸强度很小，结构计算时一般不加以考
18、虑;使用标准立方体试块测定其压缩时的力学性能。,特点:(1)、直线段很短，在变形不大时突然断裂；(2)、压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关；(3)、以s e 曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,2、木材,木材属各向异性材料,其力学性能具有方向性,亦可认为是正交各向异性材料,其力学性能具有三个相互垂直的对称轴,特点：1、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺陷的影响波动；2、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度，但受木节等缺陷的影响小。3、横纹压缩时可以比例极限作为其强度指标。4、横纹拉伸强度很低，工程中应避免木材横纹受拉。,松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s e 曲线,许用应力
19、 s 和弹性模量 E 均应随应力方向与木纹方向倾角不同而取不同数值。,3、玻璃钢,玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料,力学性能,玻璃纤维和树脂的性能,玻璃纤维和树脂的相对量,材料结合的方式,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s e曲线,特点：1、直至断裂前s e 基本是线弹性的；2、由于纤维的方向性，玻璃钢的力学性能是各向异性的。,2-4 强度条件安全因数许用应力,、材料的许用应力,塑性材料:,脆性材料:,对应于拉、压强度的安全因数,极限应力su,ss 或sp0.2,sb,许用应力,n 1,ns一般取 1.25 2.5，,塑性材料:,脆性材料:,或,nb一般取 2.5 3.0，甚至 4
20、 14。,、关于安全因数的考虑,（1）极限应力的差异；（2）构件横截面尺寸的变异；（3）荷载的变异；（4）计算简图与实际结构的差异；（5）考虑强度储备。,、拉（压）杆的强度条件,保证拉（压）杆不因强度不足发生破坏的条件,等直杆,强度计算的三种类型：,（1）强度校核,（2）截面选择,（3）计算许可荷载,例2-8 图示三铰屋架中，均布荷载的集度 q=4.2kN/m，钢拉杆直径 d=16mm，许用应力 s=170MPa。试校核拉杆的强度。,解：,1、求支反力,考虑结构的整体平衡并利用其对称性,取分离体如图并考虑其平衡,2、求钢拉杆的轴力。,3、求钢拉杆的应力并校核强度。,故钢拉杆的强度是满足要求的。
21、,例2-9 已知：F=16kN，s=120MPa。试选择图示桁架的钢拉杆DI的直径d。,解：巧取分离体如图,由杆件的强度条件得,由于圆钢的最小直径为10mm，故取 d=10mm。,例2-10 图示三角架中，杆AB由两根10号工字钢组成，杆AC由两根 80mm 80mm7mm 的等边角钢组成。两杆的材料均为Q235钢，s=170MPa。试求此结构的许可荷载 F。,（1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：,解：,得,A,（2）查型钢表得两杆的面积,（3）由强度条件得两杆的许可轴力：,杆AC,杆AB,杆AC,杆AB,(4)按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：,图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石
22、料重度g=25kN/m3，许用应力=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料面积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力）,补充例题1,采用等截面石柱,采用三段等长度阶梯石柱,采用等强度石柱,A0：桥墩顶端截面的面积,这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。,图示三角形托架，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻，问斜撑杆与梁之间夹角应取何值？不考虑BD杆的稳定。,设F的作用线到A点的距离为x,x,取ABC杆为研究对象,FNBD,BD杆：,补充例题3,2-8 应力集中的概念,应力集中,由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现象。,截面尺寸变化越剧烈，应力集中就越严重。,理论应力集中因数：,具有小孔的均匀受拉平板,下标ts 表示是对应于正应力的理论应力集中因数,snom 截面突变的横截面上smax作用点处的名义应力；轴向拉压时为横截面上的平均应力。,应力集中对强度的影响：,理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时,荷载增大进入弹塑性,极限荷载,弹性阶段,均匀的脆性材料或塑性差的材料,非均匀的脆性材料，如铸铁,塑性材料、静荷载,不考虑应力集中的影响,要考虑应力集中的影响,动荷载,
