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1、第3章 扭 转,一、定义,变形形式，,扭转变形,作用下，杆的各横截面产生相对转动的,在一对大小相等、转向相反的外力偶矩,简称扭转。,3.1 概 述,二、工程实例,1、螺丝刀杆工作时受扭。,Me,主动力偶,阻抗力偶,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。,3、机器中的传动轴工作时受扭。,扭转的概念,受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。,变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。,主要发生扭转变形的杆轴。,Me,主动力偶,阻抗力偶,三、两个名词,外扭矩（Me）,使得杆产生扭转变形的外力偶矩,扭转角（）,任意两个横截面的相对转角,3-2 外力偶矩的计算扭矩和扭矩
2、图,一、外力偶矩的计算,设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n(r/min）,二、扭矩和扭矩图,扭矩,(5-1),例5-1图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。,n,n,扭矩T的符号规定：,解：,3-3 薄壁圆筒的扭转,1、实验：,一、薄壁圆筒横截面上的应力,薄壁圆筒轴的扭转,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,结论：,横截面上,可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。
3、,根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；,3、切应力的计算公式：,薄壁圆筒横截面上的切应力计算式,二、关于切应力的若干重要性质,1、剪切虎克定律,做薄壁圆筒的扭转试验可得,T,薄壁圆筒的实验,证明剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系：当剪应力不超过材料剪切比例极限p,剪应力与剪应变成正比。,该式称为剪切胡克定律。,即当p时,剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E 泊松比,从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体,单元体,自动满足,存在t,得,2、切应力互等定理,切应力互等定理,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。,在相互垂直的两个面上，切应力
4、总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。,3-4圆轴扭转时截面上的应力扭转强度计算,一、圆轴扭转时横截面上的应力,一）、几何关系：由实验找出变形规律应变的变化规律,1、实验：,观察变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小 以及间距不变，半径仍为直线。,定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。,剪应变的变化规律：,取楔形体O1O2ABCD 为
5、研究对象,微段扭转变形 dj,D,二）物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律,方向垂直于半径。,dj/dx扭转角变化率,弹性范围内,三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式,代入物理关系式 得：,圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。,扭转变形计算式,横截面上,抗扭截面模量，,整个圆轴上等直杆：,公式的使用条件：,1、等直的圆轴，,2、弹性范围内工作。,Ip截面的极惯性矩，单位：,圆轴中max的确定,单位：,圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp,实心圆截面：,空心圆截面：,现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef(如图)上的应力。,二、斜截面上的应力,分离体
6、上作用力的平衡方程为,利用t=t，经整理得,由此可知：,(1)单元体的四个侧面(a=0和 a=90)上切应力的绝对值最大；,(2)a=-45和a=+45截面上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,低碳钢扭转试验演示,低碳钢扭转破坏断口,铸铁扭转破坏试验演示,铸铁扭转破坏断口,圆轴扭转破坏分析,低碳钢试件：沿横截面断开。,铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。,材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。,材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；,若材料抗拉能力差，构件沿-45斜截面发生破坏（脆性材料）。,结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性
7、材料）；,分析：,横截面上！,1、强度条件：,2、强度条件应用：1）校核强度:,2）设计截面尺寸:,3）确定外荷载:,三、扭转强度计算,等截面圆轴:,变截面圆轴:,例 已知 T=1.5 kN.m，t=50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a=0.9 的空心圆轴。,解：1.确定实心圆轴直径,2.确定空心圆轴内、外径,3.重量比较,空心轴远比实心轴轻,例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm。扭转力偶矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力t=80MPa，试校核该轴的强度。,解：1、求内力，作出轴的扭矩图,T图（k
8、Nm）,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,T图（kNm）,直径为d1的实心圆轴(图a)和内、外直径分别为d2和D2，a d2/D2=0.8的空心圆轴(图b),两轴的长度、材料、扭矩分别相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,例题,1.分别求两轴的最大切应力,2.求D2/d1和二轴重量之比。由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得,因为两轴的长度l 和材料密度r 分别相同，所以两轴的重量比即为其横截面面积之比,切应力的分布规律如图c、d所示，当tmaxt时，实心轴圆心附近的切应力还很小，这部分材
9、料没有充分发挥作用，空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，还要注意加上成本和构造上的要求等因素。,3-5 扭转变形 扭转刚度计算,.扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j 来度量。,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为,.刚度条件,式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴j0.150.30()/m
10、；,对于一般的传动轴j2()/m。,(),(),由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知材料的许用切应力t=40 MPa，切变模量G=80 GPa。轴的最大扭矩Tmax=9.56 kNm，许可单位长度扭转角j=0.3()/m。试选择轴的直径。,例题,1.按强度条件求所需外直径D,解：,2.按刚度条件求所需外直径D,3.空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a=d/D=0.5知,例水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。,解：,AB杆的转角,C点位移,解
11、：计算扭矩、绘扭矩图：,例圆截面杆AB左端固定，承受均布力偶作用，其力偶矩 集度（单位长度上的力偶矩）为m=20N.m/m，已知直径d=20mm，l=2m，材料G=80MPa=300MPa。单位长度的许用扭角=20/m，试进行强度和刚度校核，并计算A、B两截面的相对扭角。,2）校核强度：,3）校核刚度：,3）计算B-A：,取微段dx研究,“+”号表示面向B截面观察时，该截面相对于A截面逆时针转动。,3-6 等直圆杆扭转时的应变能一.应变能,二.应变能密度（比能）,按剪切虎克定律,图示AB、CD 为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，D截面处作用有外力偶矩 Me。试求：(1)杆系内的
12、应变能；(2)利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角 jD。,例题,1.用截面法分别求AB和CD杆的扭矩T1和T2,解:,2.杆系应变能为,其转向与Me 相同。,3.求D 截面的扭转角 jD,密圈螺旋弹簧,螺旋角,d 簧丝横截面的直径,密圈螺旋弹簧 螺旋角5时的圆柱形弹簧,D 弹簧圈的平均直径,弹簧的内力,用过弹簧轴线O-O的截面，,将弹簧截开,可近似地认为：,该截面为弹簧的横截面,试推导密圈圆柱螺旋弹簧受轴向压力F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。设d(2R)。,例题,1.
13、用截面法求簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧可近似认为a0o，簧杆的横截面就在外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内，由图b所示的分离体的平衡方程得,剪力 FS=F扭矩 T=FR,(b),解：,2.求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T 相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。因为d(2R)，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响，按直杆公式计算。于是有,3.求弹簧的缩短(伸长)变形D,当弹簧所受外力F不超过一定限度时变形D与外力F成线性关系(如图c)。于是外力所作的功为,(c),簧杆内的应变能Ve为,W=Ve，即,如令，则有 式中k 为弹簧的刚度
14、系数(N/m)。,以上分析中，不计产生的切应力和应变能，并用直杆公式计算扭转切应力和应变能，由此得到的 和 均比实际值偏小。,3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,.等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。,圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。,1.自由扭转(纯扭转),在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力
15、,而没有正应力。,非圆截面杆扭转的分类,2.约束扭转,扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。,对于实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。,.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,(1)一般矩形截面等直杆,在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且截面的四个角点上剪应力均为零。剪应力形成与周边相切的顺流。,横截面上的最大切应力在长边中点处：Wt扭转截面系数，Wt=bb3，b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,横截面上短边中点处的切
16、应力：t=ntmaxn 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,单位长度扭转角：It相当极惯性矩，,a 为与m=h/b 相关的因数(表3-1)。,表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a、b 和 n,(2)狭长矩形截面等直杆,3)、两者的比值：,例：均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。,解：,1)圆截面 circular,2)矩形截面 square,结论：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方形截面要好。,解：1.闭口薄壁圆管,例 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能，设 R020,2.开口薄壁圆管,3.抗扭性能比较,在抗扭性能方面，闭
17、口薄壁杆远比开口薄壁杆好,3-8 简单的扭转超静定问题,一.扭转超静定问题的解法,和拉压超静定问题一样，要考虑平衡方程、变形相容方程和物理方程。关键在于寻找变形协调关系作为补充方程。,二.算例,例两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩M作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,静力平衡方程为,变形协调条件为,解：,（3）式代入(2)式即,物理方程,（3）,（4）,（1）式和（4）式联立求解得：,（5）,图示组合杆，内半径为ra的实心铜杆与外半径为rb的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径
18、的变化情况。,例题,实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb=Me(1)故为一次超静定问题。,解：,2.位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于A截面的扭转角相等。在图b中都用j表示（设A端固定）。,3.利用物理关系由(2)式得补充方程为,4.联立求解(1)式和(3)式得：,5.实心铜杆横截面上任意点的切应力为,空心钢杆横截面上任意点的切应力为,切应力沿半径的变化情况如图c所示。,由图c可见，在r=ra处，tatb，这是因为 Ga Gb。在r=ra处，两杆的切应变是相等的，即,说明r=ra处变形是连续的。,例一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为l，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩m，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。,解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T,
