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1、,第四章 弯曲内力,材料力学,41 弯曲的概念和实例42 受弯杆件的简化43 剪力和弯矩44 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系46 平面曲杆的内力图,第四章 弯曲内力,一、弯曲的概念,受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。,梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。,41 弯曲的概念和实例,变形特点：轴线变成了曲线。,工程实例,工程实例,平面弯曲：,梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线。,对称弯曲,非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作用在对称面
2、内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。,下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1.构件本身的简化,42 受弯杆件的简化,通常取梁的轴线来代替梁。,(1)固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,(2)可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,2.支座简化,(3)固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。,3.梁的三种基本形式,(1)简支梁,(2)外伸梁,4.载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简
3、化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。,(3)悬臂梁,5.静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。,超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全 部支反力。,弯曲内力,已知：P，a，l。,解：(1)求支座反力,43 剪力和弯矩,求：距A 端x处截面上内力。,（2）求内力截面法,剪力FS,弯矩M,FS,M,取左段：,内力的正负规定:,（1）剪力FS:左上右下为正;反之为负。,左上右下为正,（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。,左顺右逆为正,可以装水为正,例1,求C截面上的内力。,解：,截面法求C截面内力：,取左段：,求D截面上的
4、内力。,解：,截面法求D截面内力：,例2,取左段：,剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。,弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。,例3,求1-1、2-2截面上的内力。,A,解：1-1截面,2-2截面,B,a,q,a,C,P=qa,m=qa2,A,例4,求A截面上的内力。,解：A截面,44 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,例,求x截面上的内力。,解：,剪力图和弯矩图：,FS,M,x,ql,x,，,，,，,，,，,求梁的内力方程并画出内力图。,解：,写出内力方程,P,l,根据方程画内力图,FS,M,x,x,P,Pl,例5,，,，,例4-2(P119),求梁的
5、内力方程并画出内力图。,A,B,P,a,C,l,b,解:(1)求支座反力,(2)写出内力方程,AC段：,CB段：,FS,x,(3)根据方程画内力图,P,(4)内力图特征：,在集中力作用的地方，剪力图有突变，P力向下FS 图向下变，变化值=P 值;弯矩图有折角。,FS,例6,求梁的内力方程并画出内力图。,解：(1)求支座反力,(2)写出内力方程,AC段：,CB段：,x,FS,(3)根据方程画内力图,(4)内力图特征：,在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，m逆时针转，M图向下变，变化值=m值。,例7,求梁的内力方程并画出内力图。,解：(1)求支座反力,(2)写出内力方程,x,FS,（
6、3）根据方程画内力图,(4)内力图特征：,在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向下。,抛物线的极值在剪力为零的截面上。,例8,求梁的内力方程并画出内力图。,解：(1)写出内力方程,x,FS,(2)根据方程画内力图,二次抛物线的升降，开口方向，极值点,极值点：,即：,得：,一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系,取一微段dx，进行平衡分析。,q(x),q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+d FS(x),FS(x),M(x),dx,A,剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。,45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,q(x),M(x)+d M(x),FS
7、(x)+d FS(x),FS(x),M(x),dx,A,弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；,2、若q=常数，则FS是斜直线，M为二次抛物线；,3、M的极值发生在FS=0的截面上。,二、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,q=0,FS图特征,M图特征,水平直线,斜直线,向下突变,无变化,斜直线,曲线,有折角,向上突变,4、将微分关系转为积分关系：,简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。,例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解:,特殊点:端点、分区点（外力变化点
8、）和驻点等。,FS,x,qa2,qa,x,M,A,C,B,根据,及FS图和M图的特征作图。,用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解：求支反力,q,M=qa2,P=qa,FS,x,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,qa2/2,x,M,qa2/2,qa2/2,3qa2/8,a,a,a,例9,例10,FS(kN),x,3,M(kNm),x,2.4,5,M0=1.25,1.2,1.8,x0=0.7m,7,7,7,x,x,q=3kN/m,8.5,6,6.04,6,2.83m,例4-4（P122),m=3kNm,3.5,a=2m,4,FS(kN),x,3,2,5,例4-6(P126),画梁的
9、剪力图和弯矩图,M(kNm),x,4,6,2.25,4,FS(kN),x,7,2,3,例11,画梁的剪力图和弯矩图,3,1,M(kNm),x,20.5,6,6,16,20,例12,画梁的剪力图和弯矩图,B,3m,3m,6m,C,D,A,P=2kN,q=1kN/m,改内力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,FS,x,x,M,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,qa2/4,49qa2/32,3qa2/2,5qa2/4,q,例13,已知FS图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,FS(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,M(kNm),x,1,1,1
10、.25,例14,一、平面刚架,1.平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。,46 平面刚架和曲杆的内力图,特点：刚架各杆的内力有：FS、M、N。,2.内力图规定：,剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。,弯矩图：通常正值画在刚架的外侧，负值画在刚架的内侧，不注明正、负号。,试作图示刚架的内力图。,例15,C,P1,FS,FN,M,C,P1,FS,FN,M,FN 图,FS 图,P1a+P2 l,试作图示刚架的弯矩图。,C,B,例16,D,1、先求支反力。,解：,qa,qa2/2,C,D,qa2/2,qa2,qa2/2,二、曲杆：轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,已知：如图所示，P及R。试绘制FS、M、FN 图。,P,A,B,例16,解：建立极坐标，q表示截面mm的位置。,P,A,B,M,FN,FS,P,A,B,M图,FS图,FN图,2PR,P,P,
