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1、正弦定理、余弦 定理习题课,(2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.,返回目录,1.正弦定理:其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;,(1),2R,c=2RsinC,返回目录,2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.SABC=absinC=acsinB=(a+b+c)r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,bcsin
2、A,返回目录,解三角形的类型ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:,返回目录,7.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角（如图3-7-1中).,6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.,上方,下方,(2)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图3-7-1).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.,返回目录,正北,返回目录,(1)在ABC中,a=,b=,B=45.求角A,C和边
3、c;(2)在ABC中,a=8,B=60,C=75,求边b和c.,【分析】已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.,考点一 正弦定理的应用,返回目录,【解析】(1)由正弦定理 得sinA=.ab,A=60或A=120.当A=60时,C=180-45-60=75,c=.当A=120时,C=180-45-120=15,c=.由知,A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.,(2)B=60,C=75,A=45.由正弦定理,得b=a=4,c=a=4+4.,返回目录,在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a
4、+c=4,求ABC的面积.,【分析】由,利用余弦定理转化为边的关系求解.,考点二 余弦定理的应用,返回目录,返回目录,【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得 整理得a2+c2-b2=-ac,cosB=B为三角形的内角，B=.,(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，b2=16-2ac(1-),ac=3.SABC=acsinB=.,返回目录,对应演练,在ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,B=,b=,a+c=4,求a.,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2
5、+c2+ac=(a+c)2-ac,a+c=4,b=,ac=3,a+c=4 ac=3,返回目录,联立,解得a=1或a=3.,返回目录,在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求 的值.,考点三 正、余弦定理的综合应 用,返回目录,【解析】(1)cosA=又A(0,180),A=120.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号），3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号）.即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.,(3)由正弦定理得,返回目录,返回目录,对应演练,
6、已知ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角C;(2)试求ABC面积S的最大值,(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.,再由余弦定理,得cosC=,又0C,C=.(2)C=,A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2cos(A+B)-cos(A-B)=R2+cos(A-
7、B).0A,0B,-A-B,当且仅当A-B=0,即A=B=时,sin(A-B)=1,S取到最大值 R2.,返回目录,返回目录,已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b为ABC的两边，A,B为两内角，试判定这个三角形的形状.,考点四 判断三角形的形状,【分析】先由已知条件得出三角形的边角关系.要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定.,返回目录,【解析】方法一:设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得b=a,b2+c2-a2=a2+c2-b2
8、,化简得a=b,ABC为等腰三角形.,方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.0A,0B，-A-B.A-B=0，即A=B.故ABC为等腰三角形.,返回目录,对应演练,在ABC中，sinA=，试判断ABC的形状.,返回目录,解法一：由条件,得 0(否则A=),2sin2=1,即cosA=0.又0A,A=,即ABC为直角三角形.,返回目录,解法二:用正、余弦定理得a()=a+b.化简，得a2=b2+c2,故ABC为直角三角形.,返回目录,考点七 解三角形,在ABC中，BC=a，
9、AC=b，a,b是方程x2-2 x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1.求：（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）ABC的面积.,【分析】解三角形时要注意利用隐含条件A+B+C=,然后再利用正、余弦定理求之.,返回目录,【解析】(1)由题意知cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-,C=120.(2)a,b是方程x2-2 x+2=0的两个根,a+b=2 ab=2.AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=b2+a2-2abcos120=b2+a2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10.AB=.,返回目录,(3)SABC=absinC=absin120=2=.,【评
10、析】在ABC中已知两边a,b的关系，需再知一个条件，才能确定第三边.这样，需充分利用2cos(A+B)=1，并注意利用韦达定理、余弦定理及面积公式.,返回目录,再见,返回目录,某观测站在城A的南偏西20的方向,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40,在C处测得公路上B处有一人,距C为31千米,正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问:这人还要走多少千米才能到达A城?,【分析】正确画出图形,综合运用正弦定理与余弦定理解题.,考点五 测量问题,返回目录,【解析】本题为解斜三角形的应用问题,要求这人走多少路可到达A城,也就是要求AD的长.在ACD中,已知CD=21千
11、米,CAD=60,只需再求出一个量即可.如图,令ACD=,CDB=,在CBD中,由余弦定理得,sin=.而sin=sin(-60)=sincos60-sin60cos=在ACD中,AD=15(千米).这个人再走15千米就可到达A城.,返回目录,返回目录,如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.,对应演练,在BCD中，CBD=-.由正弦定理，得.所以在RtABC中，AB=BCtanACB=,返回目录,返回目录,沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是5
12、0,距离是3km,从B到C,方位角是110,距离是3km,从C 到 D,方位角是140,距离是(9+3)km.试画出示意图,并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号).,【分析】画出示意图,要求A到D的方位角,需要构造三角形,连接AC,在ABC中,可知BAC=30,用余弦定理求出AC,再在ACD中,求出AD和CAD.,考点六 求角度、高度问题,返回目录,【解析】示意图如图所示,连接AC,在ABC中,ABC=50+(180-110)=120,又AB=BC=3,BAC=BCA=30.由余弦定理可得,在ACD中,ACD=360-140-(70+30)=120,CD=3+9.由余弦定理得由正弦定理得sinCAD=,返回目录,CAD=45,于是AD的方位角为50+30+45=125,从A到D的方位角是125，距离为,返回目录,连结BC，由余弦定理得BC2=202+102-22010cos120=700.于是BC=10.ACB90,ACB=41.乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.,返回目录,
