正方形的性质与判定优质ppt课件.ppt

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1、19.2.3 正方形,情境一:观察体会,有一个直角,有一个直角,矩形,有一个直角,矩形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,有一个直角,正方形,平行四边形,你能给正方形下一个定义吗?,问题:,图中CD在平移时,这个图形始终是怎样的图形?,当CD移动到CD位置,此时AD

2、 AB,四边形ABCD还是矩形吗?,A,B,两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD,矩 形,正方形,矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?,探究(一),正方形,探 究(二),菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?,探究小结,矩 形,正方形,邻边,相等,发现:一组邻边相等的矩形 叫正方形,一个角,是直角,正方形,发现:一个角为直角的菱形叫正方形,如何来给正方形下定义?,给正方形下个定义,定义:一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。,回顾平行四边形,矩形,菱形的性质,

3、完成表格前三列,对边平行且相等,四条边相等,对边平行且四条边相等,对角相等,四个角都是直角,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等,对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角,对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角,中心对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,图形,性质,分类,正方形,类比归纳,角:四个角都是直角,图形的对称性:既是轴对称图形,又是中心对称图形.,正方形的性质,1.已知:正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O,且AB2cm,则AC=,正方形的面积S=_.,练一练,2,2,4,6,36,1.已知:在正方

4、形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC6 cm,面积S=_.则边长AB_,例题1如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么,BE和DE相等吗?为什么?,解:BE=DE.因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴,而点E在对称轴上,点B为点D关于AC的对称点,所以 BE=DE,2.在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PEAB,PFBC,垂足分别是点E、F.求证:DP=EF,3、如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一个动点,求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,例2、如图,四边形ABCD是正方形,延长BC到E,使CE=AC,

5、连接AE,交CD于F,求E,AFC的度数.,F,练习:1、如图,正方形ABCD中,BE=BD,求E,练:正方形ABCD中,M为AD中点,MEBD于E,MFAC于F,若ME+MF=8cm,则AC=_.,课堂练习,例3.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E,PFBD于F,则PE+PF=_.,5,30,16cm,2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边DCE,则AEB=_.,分析:PE=AE,PF=OEPEPFOA,1、如图:正方形ABCD的周长为15cm,则矩形EFCG的周长为 cm。,7.5,试一试,2.正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求

6、 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,3.AC为正方形ABCD的对角线,E为AC上一点,且AB=AE,EFAC交BC于F.请说明:EC=EF=FB,解:四边形ABCD是正方形 B=900,ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL)BF=EF 又FEC=900,ECF=45EFC=45,EC=EF(等角对等边)BF=EF=EC,4如图(3),正方形ABCD中,AC、BD相交于O,,分析:要证明BMCN,大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N,,求证:BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC,1245 条件够吗?,还需要的条件是 A

7、MBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有:,5、已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CEAF于E,交AD于M,求证:MFD45,证明:,DM=DF,RtCDMRtADF(AAS),又CDAD,ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF 四边形ABCD是正方形,MFD45,6、如图,在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证:(1)ACFDCB(2)BHAF,7、如图(6),ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连结BG、CE

8、,交点为N。求证:CEAABG,证明:四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS)CEAABG,8、如图B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与CEFG是正方形,连接BG、DE,(1)观察、猜想BG与DE之间的大小关系,并说明理由。,(2)正方形CEFG在绕点C旋转过程中,BG与DE之间的关系是否仍然成立。,9、如图,M为正方形ABCD边AB的中点,E是AB延长线上一点,MNDM,且交CBE的平分线于点N。,(1)求证:MD=MN,(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M

9、为AB上任意一点”,其它条件不变,问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题:如图正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是另一个正方形OEFG的一个顶点,若正方形OEFG绕点O旋转,在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N,试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化?并说明理由。,探究四:如图,有两个大小不等的两个正 方形,其中小正方形的面积是大正方形面积的一半,若阴影部分的面积为8,则小正方形的边长为多少?,探究三:若正方形OEFG继续旋转时,AM 与 BN之间的关系是否还成立?,正方形的判定方法:,(可从平行四

10、边形、矩形、菱形为基础),定义法,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,正方形的判定方法1:,定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,A=900,又AB=BC,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是平行四边形,A=900.AB=BC,四边形ABCD是矩形.,正方形的判定方法2:,有一个组邻边相等的矩形是正方形,求证:四边

11、形ABCD是正方形.,证明:,四边形ABCD是矩形,又AB=BC,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.,A=B=C=D=90,AD=BC,AB=CD.,正方形的判定方法3,有一个角是直角的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.,证明:,AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.,A=B=C=900.,四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,A=900.,对角线互相

12、垂直的矩形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.,ACBD,四边形ABCD是菱形.,ABC=900.,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.,正方形的判定方法4,对角线相等的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.,AC=BD,四边形ABCD是矩形.,AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.,正方形的判定方法5,归纳:,正方形的4种判定方法,1、有一组邻边相等的矩形

13、是正方形,2、有一个角是直角的菱形是正方形.,3、对角线互相垂直的矩形是正方形.,4、对角线相等的菱形是正方形.,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形()(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形()(3)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定 是正方形()(4)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它 一定是正方形()(5)四条边相等,且有一个角是直角的四边形 是正方形(),判断题:,(6)正方形一定是矩形()(7)正方形一定是菱形()(8)菱形一定是正方形()(9)矩形一定是正方形()(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形(),(12)正方形是轴对称图形,一共有2条对

14、称轴(),(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形(),正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质()A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是()A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是()A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,5在四边形A

15、BCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正 方形的是:()AAOBOCODO,ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD,C,A,6 四个内角都相等,四条边也都相等的四边形一定是:()A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,例3、直角三角形ABC中,CD平分ACB交AB于D,DEAC,DFAB。求证:四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形(),DE=DF(),DEAC,DFBC,CD平分ACB,四边形ABCD为矩形(),而ACB=90,DEC=90,DFC=90,证明:DEAC,DFAB,有三个角是 直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等

16、的矩形是正方形,练习、在正方形中,点,分别在,上,且.四边形是正方形吗?为什么?,2、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明),3、已知,如图在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN是ABC外角CAM的平分线,CEAN垂足为点E,,求证:四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时,四边形 ADCE是正方形,说明理由。,1、在一块正方形的花坛上,欲修建两条直的小路,使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度),你有几种方法?(至少说出三种),课外拓展:,如何设计花坛?在一块正方形的花坛上,欲修建两条直的小路,使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度),你有几种方法?(至少说出三种),请你当设计师,1已知:正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O,且AB2cm,如图(2)。,求:AC的长及正方形的面积S。,E,F,G,矩形EFCG的周长。,2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成,若中间最小的一个正方形边长为1,你能求这矩形色块的面积吗?,课外拓展:,

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