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1、定态薛定谔方程为：,11.10 氢原子的薛定谔方程的解,1、氢原子的定态薛定谔方程,氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为:,由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：,在球坐标系下：,在球坐标系下的薛定谔方程：,此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设 代入上式得：,方程（1）的解为,方程（2）的解为,由标准化条件决定：l=0,1,2,同时限定给定一 lml只能取下列2l+1个：,是连带的勒让德函数,角度部分的解：,方程（3）的解为,其中：Nnl为归一化常数，为一常数，,为
2、缔合勒盖尔多项式。,同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n,l可能取n个值：l=0,1,2,n-1,氢原子的波函数：,讨论n、l、ml 参数的物理意义,为主量子数或称能量量子数。,（1）能量量子化,在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取一些分立的负值，即：,n=1的能级称为基态能级,n1的能级称为激发态能级：,如图所示，n增大时，能级间隔减小；n很大时间隔非常小，可看成连续变化。,（2）角动量量子化,方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动量是量子化的，其大小为：,其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。,说明：1、L只能取由l 决定的一系列分
3、立值，即量子化。2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n,l 才能 确切地表征。一般s、p、d、f、g等字母表示 l=0,1,2,，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.,（3）角动量的空间取向量子化,方程（1）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：,这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l，ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。,索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆
4、周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设,如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情形。,（4）电子自旋,电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。,K原子射线；B狭缝；NS磁场；P照相板,结果：无外场时，P上沉积一 条正对B的痕迹；有外 场时，出现几条不连 续的线状痕迹。,此实验最初用s态银原子进行，原子射线分裂为二条，且二者偏转上下对称。因 s态原子l=0本身无动量矩和磁矩。,1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。量子力学的计算：自旋动量矩S为,自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz只能有如下两种取值：,确定氢原子的状态的四个量子数,主量子数 决定电子的能量。,角量子数 决定电子轨道角动量,磁量子数 决定轨道角动量的空间取向，,自旋磁量子数 决定自旋角动量的空间取向。,
