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1、二、几个函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式,三、泰勒公式的应用,泰勒(Taylor)公式,第三章,一、泰勒公式,当一个函数f(x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0,时，,是比,高阶的无穷小.,附近的函数值或描绘曲线f(x)在一点P(x0,f(x0)附近,的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式,函数,近似表示f(x)且当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,首先确定多项式函数的系数,假定f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到,这样,对Pn(x)求各阶导数,然后分别代入以上等式得,即得,(n+1)阶的导数，并且要求满足条件：,机动 目录 上页 下页 返回 结
2、束,把所求得的系数代入得,其次证明,是较,显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且,据此重复使用洛必达法则，可推得,高阶无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时，,是比,高阶的无穷小.,即当,Rn(x),于是f(x)可表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、问题的提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（如下图）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不足之处,问题:,1、精确度不高,2、误差不能估计。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,机动
3、目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒(Taylor)中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:泰勒(Taylor)中值定理,有,其中,则对于任一,如果f(x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到,(n+1)阶的导数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特例:,当 n=0 时,泰勒公式,变成拉格朗日中值定理,公式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型,公式 称为拉格朗日型余项.,余项的 n 阶泰勒公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几个
4、函数的麦克劳林公式,上述公式称为f(x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.,因此可令,在泰勒公式中取,从而泰勒公式变为较简单的形式,即,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例1:求函数,解:因为,的n阶麦克劳林展开式.,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,令n=2m，于是有,例2:求函数,解:因为,的n阶麦克劳林展开式.,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地,可得,其中,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用,中经常遇到，应该熟记！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒公式的应用,1.求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式,例3:求,解:因为,又,的麦克劳林展开式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4:求函数,解:因为,处的泰勒展开式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.在近似计算中的应用,例5:利用,的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.,解:,取n=8，进行计算得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、小结,五、小结,五、小结,五、小结,五、小结,习题3-3（P91),1(2)、2,
