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1、2023年1月15日,2023年1月15日,现代控制理论,东北大学信息科学与工程学院姜囡 讲师,二一一年三月,2023年1月15日,第2章 控制系统状态空间描述,第3章 状态方程的解,第4章 线性系统的能控性和能观测性,第6章 状态反馈和状态观测器,第7章 最优控制,第8章 状态估计,第1章 绪论,第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,2023年1月15日,第2章 控制系统状态空间描述,2023年1月15日,输入输出模式 状态变量模式黑箱子 动力学特性,2023年1月15日,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义：,2023年1月15日,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义：,(1)状态：
2、,系统过去、现在和将来的状况,2023年1月15日,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义：,(1)状态：,系统过去、现在和将来的状况,(2)状态变量：,能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：,2023年1月15日,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义：,(1)状态：,系统过去、现在和将来的状况,(2)状态变量：,能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：,表示系统在 时刻的状态,若初值 给定，时的 给定，则状态变量完全确定系统在 时的行为。,2023年1月15日,(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即,2023年1月15日,(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量 作
3、为分量的向量，即,(4)状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2023年1月15日,(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：,(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即,(4)状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2023年1月15日,(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：,(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：,(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即,(4)状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2023年1月15日,(5)状态方程：描述系统
4、状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：,(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：,(7)状态空间表达式：(5)+(6).,(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即,(4)状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2023年1月15日,(1)独立性：状态变量之间线性独立,(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种 方案,(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换,状态变量的特点：,(4)现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量,(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义,2023年1月15日,(1)线性系统,2.1
5、.2 状态空间表达式的一般形式：,其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直接传递矩阵。,2023年1月15日,(1)线性系统,2.1.2 状态空间表达式的一般形式：,其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直接传递矩阵。,(2)非线性系统,或,2023年1月15日,2.1.3 状态空间表达式的状态变量图,绘制步骤：(1)绘制积分器(2)画出加法器和放大器(3)用线连接各元件，并用箭头示出信号传递 的方向。,加法器 积分器 放大器,2023年1月15日,例2.1.1 设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2023年1月15日,例2.1.1 设一阶系统状态方
6、程为,则其状态图为,2023年1月15日,例2.1.1 设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2023年1月15日,第二章 控制系统状态空间描述,基本概念,则其状态图为,例2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为,2023年1月15日,第二章 控制系统状态空间描述,基本概念,则其状态图为,例2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为,+,2023年1月15日,2.2 状态空间表达式的建立,2023年1月15日,2.2 状态空间表达式的建立,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空
7、间表达式：,2023年1月15日,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：,2023年1月15日,整理得：,2023年1月15日,整理得：,2023年1月15日,整理得：,状态方程,2023年1月15日,整理得：,状态方程,2023年1月15日,整理得：,状态方程,输出方程,20
8、23年1月15日,整理得：,状态方程,输出方程,2023年1月15日,写成矩阵形式,2023年1月15日,写成矩阵形式,2023年1月15日,写成矩阵形式,2023年1月15日,写成矩阵形式,2023年1月15日,写成矩阵形式,2023年1月15日,例2.2.1 系统如图,2023年1月15日,例2.2.1 系统如图,2023年1月15日,例2.2.1 系统如图,电动机电势常数,电动机转轴转角,2023年1月15日,例2.2.1 系统如图,电动机电磁转矩常数,电动机转动惯量,电动机粘滞摩擦系数,2023年1月15日,例2.2.1 系统如图,取状态变量,2023年1月15日,例2.2.1 系统如
9、图,得：,取状态变量,2023年1月15日,系统输出方程为：,2023年1月15日,系统输出方程为：,写成矩阵形式的状态空间表达式为：,2023年1月15日,系统输出方程为：,写成矩阵形式的状态空间表达式为：,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2023年1月15日
10、,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年1月15日,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2023年1月15日,系统输出方程为：,写成矩阵形式的状态空间表达式为：,2023年1月15日,系统输出方程为：,写成矩阵形式的状态空间表达式为：,2023年1月15日,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,2023年1月15
11、日,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,的情形,2023年1月15日,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,的情形,2023年1月15日,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,的情形,取状态变量,2023年1月15日,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,的情形,取状态变量,即,2023年1月15日
12、,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式：,的情形,取状态变量,即,2023年1月15日,则有：,写成矩阵形式：,2023年1月15日,其中：,称为友矩阵。,能控标准型,2023年1月15日,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,2023年1月15日,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,解：选择状态变量：,2023年1月15日,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,解：选择状态变量：,则状态空间表达式为：,2023年1月15日,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,解：选择状态变量：
13、,则状态空间表达式为：,2023年1月15日,化为能观测标准型,取状态变量：,2023年1月15日,整理得：,2023年1月15日,则得能观标准型状态空间表达式,2023年1月15日,的情形,2023年1月15日,的情形,Step 1.计算,2023年1月15日,Step 2.定义状态变量,2023年1月15日,Step 3.写成矩阵形式的状态空间表达式,2023年1月15日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：,2023年1月15日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：,(1)直接分解法,2023年1月15日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：,(1)直接分解法,单输入单
14、输出线性定常系统传递函数：,2023年1月15日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：,(1)直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数：,2023年1月15日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：,(1)直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数：,2023年1月15日,2.2.3.根据传递函数求状态空间表达式：,(1)直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数：,2023年1月15日,输出为：,2023年1月15日,输出为：,令：,2023年1月15日,输出为：,令：,则有：,2023年1月15日,的拉氏变换，则系统的状态空间表达式为：,令,分别表示,2023年1月15日
15、,(2)并联分解法,2023年1月15日,(2)并联分解法,极点两两相异时,2023年1月15日,(2)并联分解法,极点两两相异时,2023年1月15日,(2)并联分解法,极点两两相异时,其中：,2023年1月15日,(2)并联分解法,极点两两相异时,其中：,令：,2023年1月15日,2023年1月15日,则有：,2023年1月15日,则有：,2023年1月15日,则有：,则有：,2023年1月15日,系统的矩阵式表达：,2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2
16、.3.1 SISO系统,2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,取拉氏变换得：,2023年1月15日,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,取拉氏变换得：,A的特征值即为系统的极点。,2023年1月15日,2.3.2 MIMO系统,2023年1月15日,2.3.2 MIMO系统,其中：,2023年1月15日,2.3.2 MIMO系统,其中：,2023年1月15日,2023年1月15日,2.4 组合系统
17、,2023年1月15日,2.4 组合系统,2.4.1 并联:,2023年1月15日,2.4 组合系统,2.4.1 并联:,系统如图，二子系统并联连接,2023年1月15日,2.4 组合系统,2.4.1 并联:,系统如图，二子系统并联连接,2023年1月15日,2.4 组合系统,2.4.1 并联:,系统如图，二子系统并联连接,2023年1月15日,2.4 组合系统,2.4.1 并联:,特点：,系统如图，二子系统并联连接,2023年1月15日,传递矩阵：,2023年1月15日,2.4.1 串联:,2023年1月15日,2.4.1 串联:,2023年1月15日,2.4.1 串联:,系统如图，二子系统
18、串联连接,2023年1月15日,2.4.1 串联:,系统如图，二子系统串联连接,2023年1月15日,2.4.1 串联:,特点：,系统如图，二子系统串联连接,2023年1月15日,2023年1月15日,2.4.2 反馈:,2023年1月15日,2.4.2 反馈:,系统如图，二子系统并联连接,2023年1月15日,2.4.2 反馈:,系统如图，二子系统并联连接,2023年1月15日,2.4.2 反馈:,系统如图，二子系统并联连接,(1)动态反馈,2023年1月15日,2.4.2 反馈:,系统如图，二子系统并联连接,(1)动态反馈,2023年1月15日,2.4.2 反馈:,特点：,系统如图，二子系
19、统并联连接,(1)动态反馈,2023年1月15日,(2)静态反馈,2023年1月15日,(2)静态反馈,闭环系统状态空间描述为：,2023年1月15日,(2)静态反馈,闭环系统状态空间描述为：,2023年1月15日,(2)静态反馈,闭环系统状态空间描述为：,闭环系统传递矩阵为：,2023年1月15日,(2)静态反馈,闭环系统状态空间描述为：,闭环系统传递矩阵为：,2023年1月15日,2.5(非奇异)线性变换,2.5.1 状态向量的线性变换:,考虑系统：,2023年1月15日,2.5(非奇异)线性变换,2.5.1 状态向量的线性变换:,考虑系统：,2023年1月15日,2.5(非奇异)线性变换
20、,2.5.1 状态向量的线性变换:,考虑系统：,取线性非奇异变换：,2023年1月15日,2.5(非奇异)线性变换,2.5.1 状态向量的线性变换:,考虑系统：,取线性非奇异变换：,，矩阵P非奇异,2023年1月15日,2.5(非奇异)线性变换,2.5.1 状态向量的线性变换:,考虑系统：,取线性非奇异变换：,，矩阵P非奇异,2023年1月15日,整理得：,其中：,2023年1月15日,例2.5.1 考虑系统,2023年1月15日,例2.5.1 考虑系统,2023年1月15日,例2.5.1 考虑系统,取变换：,2023年1月15日,状态空间表达式变为：,2023年1月15日,2.5.2 对角标
21、准型,2023年1月15日,2.5.2 对角标准型,定义：令A为n阶矩阵。若 和n维向量 满足，则 称 为矩阵A的特征根，而 为对应的特征向量。,2023年1月15日,2.5.2 对角标准型,定义：令A为n阶矩阵。若 和n维向量 满足，则 称 为矩阵A的特征根，而 为对应的特征向量。,定理：对于系统，若矩阵A具有n个两两相异的 特征根，则存在线性非奇异变换 将系统化为对角标准型,2023年1月15日,2.5.2 对角标准型,定义：令A为n阶矩阵。若 和n维向量 满足，则 称 为矩阵A的特征根，而 为对应的特征向量。,定理：对于系统，若矩阵A具有n个两两相异的 特征根，则存在线性非奇异变换 将系
22、统化为对角标准型,2023年1月15日,证明：设 为特征根 所对应 的特征向量。则有,2023年1月15日,证明：设 为特征根 所对应 的特征向量。则有,2023年1月15日,证明：设 为特征根 所对应 的特征向量。则有,2023年1月15日,充要条件：n 阶系统矩阵 A 有n 个线性无关的特征向量。,化对角标准型的步骤：,2023年1月15日,充要条件：n 阶系统矩阵 A 有n 个线性无关的特征向量。,化对角标准型的步骤：,Step 1 求取系统矩阵A的n个特征根 和对应的特征向量,2023年1月15日,充要条件：n 阶系统矩阵 A 有n 个线性无关的特征向量。,化对角标准型的步骤：,Ste
23、p 1 求取系统矩阵A的n个特征根 和对应的特征向量,Step 2 令,2023年1月15日,充要条件：n 阶系统矩阵 A 有n 个线性无关的特征向量。,化对角标准型的步骤：,Step 1 求取系统矩阵A的n个特征根 和对应的特征向量,Step 2 令,Step 3 做变换,2023年1月15日,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,解：1)求系统特征根.,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,解：1)求系统特征根.,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,解：1)求系统
24、特征根.,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,2)求特征矢量,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2
25、023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,3)新的状态方程为：,2023年1月15日,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,解：1)求系统特征根.,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,解：1)求系统特征根.,例2.5.2 将下系统化为对角标准型,2023年1月15日,2)求特征矢量,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,
26、2)求特征矢量,对,由,可得,及,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,3)新的状态方程为：,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,3)新的状态方程为：,2023年1月15日,2.5.3 若当标准型,2023年1月15日,2.5.3 若当标准型,设矩阵A具有n重特征根，即,设 是 所对应的特征向量。若 满足,2023年1月15日,2.5.3 若当标准型,设矩阵A具有
27、n重特征根，即,设 是 所对应的特征向量。若 满足,2023年1月15日,2.5.3 若当标准型,设矩阵A具有n重特征根，即,设 是 所对应的特征向量。若 满足,则 称为广义特征向量。矩阵A可通过线性变换化为约当标准型。,2023年1月15日,2.5.3 若当标准型,设矩阵A具有n重特征根，即,设 是 所对应的特征向量。若 满足,则 称为广义特征向量。矩阵A可通过线性变换化为约当标准型。,2023年1月15日,求约当标准型的步骤：,2023年1月15日,求约当标准型的步骤：,Step 1 求解,2023年1月15日,求约当标准型的步骤：,Step 1 求解,Step 2 令,2023年1月15
28、日,求约当标准型的步骤：,Step 1 求解,Step 2 令,Step 3 做变换,2023年1月15日,解：1)求系统特征根.,例2.5.5 将下系统化为约当标准型,2023年1月15日,2)求特征矢量,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,对,由,可得,2023年1月15日,构成状态转移矩阵,3)新的状态方程为：,2023年1月15日,2.5.4 特征值及传递函数矩阵的不变性,2023年1月15日,2.5.4 特征值及传递函数矩阵的不变性,特征值（特征多项式、特征方程）,2023年1月15日,2.5.4 特征值及传递函数矩阵的不变性,经变换,特征值（特征
29、多项式、特征方程）,2023年1月15日,2.5.4 特征值及传递函数矩阵的不变性,经变换,特征值（特征多项式、特征方程）,2023年1月15日,传递函数矩阵,2023年1月15日,经变换,传递函数矩阵,2023年1月15日,经变换,传递函数矩阵,2023年1月15日,2.5.4 离散时间系统的状态空间表达式,2023年1月15日,2.5.4 离散时间系统的状态空间表达式,2023年1月15日,2.5.4 离散时间系统的状态空间表达式,连续时间系统,2023年1月15日,2.5.4 离散时间系统的状态空间表达式,连续时间系统,离散时间系统,2023年1月15日,2.5.4 离散时间系统的状态空
30、间表达式,连续时间系统,离散时间系统,采样周期T，系统状态从k时刻到k+1时刻的变化情况,2023年1月15日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,2023年1月15日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,2023年1月15日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,或经过z变换，用脉冲传递函数描述,2023年1月15日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,或经过z变换，用脉冲传递函数描述,2023年1月15日,通常，古典控制理论中，离散系统为如下高阶差分方程描述,或经过z变换，用脉冲传递函数描述,如何得到状态空间表达式？,2023年1月15日,只考虑一个简单情况,2023年1月15日,只考虑一个简单情况,选择状态变量,2023年1月15日,只考虑一个简单情况,选择状态变量,得到状态空间表达式,2023年1月15日,只考虑一个简单情况,选择状态变量,得到状态空间表达式,2023年1月15日,本章小结,围绕控制系统的状态空间模型给出几个概念状态空间表达式的建立组合系统的状态空间表达式线性变换离散时间系统的状态空间表达式,状态向量三种方式三种组合变换矩阵采样周期,2023年1月15日,
