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1、理 论 力 学（运动学）,教 材:理论力学 陈国平 罗高作 主编武汉理工大学出版社参考书:建筑力学 钟光珞 张为民 编著中国建材工业出版社 建筑力学 周国瑾等 编著同济大学出版社 理论力学 范钦珊 主编清华大学出版社,10 质点动力学,第10章 质点动力学的基本方程,10-1 动力学的基本定律,第一定律（惯性定律）,第二定律（力与加速度之间的关系的定律）,第三定律（作用与反作用定律）,将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,1.矢量形式,2.直角坐标形式,X=maxY=may,3.自然形式,质点运动微分方程还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求
2、解质点动力学的两类问题。,1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）,10-3 质点动力学两类问题,解题步骤和要点：正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量。,桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,解：选重物(抽象为质点)为研究对象 受力分析如图所示,运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。
3、,例1,例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA=AB=r.滑块B的运动方程为x=2rcos.如滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计.求当=t=0 时连杆 AB所受的力.,B,解:取滑块B为研究对象.,由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力如图。,N,mg,F,x=2rcos,=t,ax=-2r2cos,max=-Fcos,F=-2 mr2,例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。分析小球的运动。,解：1、取研究对象画受力图、确定坐标系 2、建立微分方程 3、求解并分析小球运动,运动微分方程,分析小球的运动,（微幅摆动）,列出自然形式
4、的质点运动微方程,求解未知量,注减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,已知：P，。求 fmin。,解:（1）取物块为研究对象，画受力图,（2）研究对象运动分析,（3）列方程求解求知量,例题2,11-1 动量与冲量,质点的动量 质点的质量与质点速度的乘积,质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。其单位为 kgm/s 或 Ns,1 动 量,质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。,11 动量定理,根据质点系
5、质心的位矢公式,2 冲 量,力在作用时间上的累积效应力的冲量,a.常力,b.变力,冲量为矢量，其单位与动量单位相同为 Ns,11-2 动量定理,1.质点的动量定理,质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。,2.质点系的动量定理,其中：,或：,微分形式,积分形式,1.质点的动量矩,12.1 质点和质点系的动量矩,12 动量矩定理,2.质点系的动量矩,质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。,令：,Jz刚体对 z 轴的转动惯量,绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,3.定轴转动刚体对转轴的动量矩,2.定轴转动刚体,定轴转动刚体对
6、转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。,三、刚体动量矩计算,1.平移刚体,平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。,对转轴的动量矩,3.平面运动刚体,质点系对质心的动量矩,质点系对O点的动量矩,平面运动刚体,平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。,对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。,动量矩,定轴转动刚体对转轴的动量矩,平动刚体对转动轴的动量矩,刚体平面运动的动量矩,解：,例1 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2，J2；R1=2R2 物体C：m3
7、求系统对O轴的动量矩。,解:v=r,。,例2,求系统对O轴的动量矩。,例题3.重150N的均质圆盘B与重60N,长24 cm的均质直杆AB在 B处用铰链连接如图.求系统对A点的动量矩。,圆盘B平动,杆AB作定轴转动.,=,+,w,lv,g,W,J,B,B,A,w,1)质点的动量矩定理,质点对某定点 的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。,4.动量矩定理,3.质点系的动量矩定理,其中：,质点系对某定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对同一点的矩的矢量和。,解：取系统为研究对象,均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知
8、重物重量为W。,求：重物下落的加速度,v,例题 1,质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。,12.2 刚体绕定轴的转动微分方程,解：取摆为研究对象,求：微小摆动的运动方程,已知：m，a，JO。,例题 2,12.3 刚体对轴的转动惯量,:物体对平行轴的转动惯量,d,:物体对质心轴的转动惯量,m,:物体的质量,:质心轴与平行轴间的距离,1.平行轴定理,5.回转半径,已知：m，R。,解：取圆轮为研究对象,解得：,例题 3,求：角加速度a,12.4 刚体的平面运动微分方程,刚体平面运动=刚体随质心平动+刚体绕质心转动,刚体平面运动微分方程,已知：m，R,f，
9、。,就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。,(a)斜面光滑,解：取圆轮为研究对象,圆盘作平动,例题 4,(b)斜面足够粗糙,解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=r,由动量矩定理：,已知:,。,求,;,e,滑轮重P；半径为r；,例5,13 动能定理,质点的动能,质点系的动能,动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为 J。,13.1质点系和刚体的动能,刚体的动能,a.平动刚体的动能,b.定轴转动刚体的动能,c.平面运动刚体的动能,例1,解：,P,P 为AB杆
10、的瞬心,均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。,例2,a.常力的功,b.变力的功,功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。,13.2 力的功,c.,（1）重力的功,x,重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。,质点系：,几种常见力的功,（2）弹性力的功,弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，与力作用点的路径无关。,当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为,力F在刚体从角j1转到j2所作的功为,作用于转动刚体上的力的功，
11、力偶的功,作用面垂直转轴的常力偶M，则力偶作的功为,（3）,定轴转动刚体上作用力的功,（4）,平面运动刚体上力系的功,平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。,（5）,只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。但变形体内力功之和不为零。,质点系内力的功,刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。,约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。,3.刚体沿固定面作纯滚动4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）,2.固定铰支座、活动铰支座和向心轴承,1.光滑固定面约束,理想约束力的功,（6）,法向力，
12、摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移,(b)圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功,(a)动滑动摩擦力的功,FN=常量时,W=fFN S,与质点的路径有关。,圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功!,(7)摩擦力的功,如图所示滑块重P9.8 N，弹簧刚度系数k0.5 N/cm，滑块在A位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N，滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光滑水平槽从位置A运动到位置B，求作用于滑块上所有力的功的和。,解：滑块在任一瞬时受力如图。由于P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。先计算T 的功：,在运动过程中，T 的大小不变，但方向在变，因
13、此T 的元功为,因此T在整个过程中所作的功为,例1,再计算F的功：,由题意：,因此F在整个过程中所作的功为,因此所有力的功为,另外,一、质点的动能定理：,动能定理的积分形式,13.3动能定理,动能定理的积分形式,两边点乘以，有,牛顿定律,均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。,求：重物下落的加速度,解：取系统为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,将上式对时间求导，并注意,例题 1,解得：,已知：m，R,f，。,求：纯滚时盘心的加速度。,解：取系统为研究对象,解得：,例题 2,例题 3,图示系统中,重物A质量为m1,系在绳
14、子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D并绕在鼓轮B上，由于重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r，轮C的半径为R，两者固连在一起，总，质量为m2，对于其水平轴O 的回转半径为。求重物A下落距离h时的加速度。(绳重不计，绳不可伸长，初始时系统静止),解：取系统为研究对象,解得：,已知：轮 O 质量为 m，P，f。,求：轮 O 移动距离 S 时 轮的角速度、角加速度。,解：取轮 O 为研究对象,例题 4,解得：,卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚
15、不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程 的速度。,解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为,系统在初始及终了两状态的动能分别为,a,FS,O,C,例5,其中,于是,由,得,解之得,作业,求物块A由静止下降至任意位置(x)时的加速度?,人用手推车,力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。,一、惯性力的概念,注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。,14 动静法,14.1.1 质点的达朗伯原理,14.1 达朗伯原理,二、质点的达朗伯原理,质点的达朗伯原理,即：在质点运动的任
16、一瞬时,作用于质点上的主动力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。,14.1.2 质点系的达朗伯原理,列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速度。,例题 1,角随着加速度 的变化而变化，当 不变时，角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度。摆式加速计的原理。,由动静法,有,解得,离心调速器,解：1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C为研究对象，分析所受的主动力和约束力,2、分析运动：施加惯性力。,球绕O1y1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为,Gm1l 2sin
17、,重锤静止，无惯性力。,例题 2,3、应用动静法：,对于重锤 C,对于球 B,14.2 刚体惯性力系的简化,一、平动刚体的惯性力,作用在质心上,二、定轴转动刚体的惯性力,作用在定点,三、平面运动刚体的惯性力,作用在质心上,习题1,O,C,a,C,a,a,重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为q 的斜面向下滚动。求轮心C 的 加速度。,解：以圆轮为研究对象,受力如图,建立如图坐标。,圆轮作平面运动,轮心作直线运动,则,将惯性力系向质心简化,惯性力和惯性力偶矩的大小为,q,C,r,则由质点系的达朗伯原理,例3,解之得,均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位置，由静止落下。求刚开始落下时杆A
18、B的角加速度及A支座的约束力。,解：选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：,根据动静法，有,例4,单个物体的动力学问题，用动静法或动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。,解方程得：,特别注意：在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反(考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入，不能再带负号！,质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：方法1 用达朗伯原理求解,例,虚加惯性力和惯性力偶：,由质点系的达兰贝尔原理：,列补充方程：代入上式得：,习题2,习题3,一 图示系统中，物块A和半径为R的均质圆轮B的质量均为m1，圆轮B可在水平面上作纯滚动；均质定滑轮C的半径为r，质量为m2，弹簧刚度为k，初始时系统处于静止，且弹簧恰为原长。试用动能定理求物块A下降距离s时的速度和加速度。绳子的质量和轴C处的摩擦忽略不计。,p,
