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1、2.3 动量矩定理与动量矩守恒律,一、质点组的动量矩定理,1.对固定点的动量矩,2.相对运动的动量矩描述,S系（固定系）,S系（平动系）,3.在质心系中分析以上四项,s系的原点固定在质点组的质心上，则：,第一项：,质心对o点的动量矩,第二项：,第四项：,质点组对质心的动量矩,总结：,质点组对一固定点的动量矩等于质心对固定点的动量矩与质点组对质心的动量矩之矢量和。,第三项：,4、质点组对固定点o的动量矩定理,单个质点：,对每质点求和：,则：,对质心的动量矩定理：以质心为原点建立坐标系，则,形式与固定参考系一样,选逆时针为正方向,绳对质点组的力为内力,【例4】,解法二：隔离二人并分别用牛顿第二定律
2、,选地面为参照系,由方程(1)和(2)得,二人均以匀加速向上爬,注：也可用对通过滑轮中心水平轴的动量矩定理,注：若两人质量相等，且，至少有一个人努力就可以同时到达顶端，爬绳所需时间则与两人的努力程度有关。,质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件,两人能否同时到达顶端与他们共同努力的程度有关，但谁较努力些则无关紧要。,选【例5】质量分别为m1,m2的两个质点，用一长为a+b的无重刚性杆连接，c为质心（如图所示）。最初处于水平位置，突然给m2以v0的速度，试求两质点此后的运动规律？,解：,可先确定质心的运动规律，再确定m1,m2对质心的运动规律。,1.对象：质点组（m1,m2),2.参照系：地面；
3、坐标系：o-xy,3.受力分析,外力,4.质心运动定理,（不考虑内力）,分量式：,解得：,其中：,质心为竖直上抛运动,5.求m1，m2对质心的运动,分析特点：,即任意时刻动量矩等于初始时刻动量矩。,设t时刻杆的角速度为,质点m1，m2相对质心作匀角速转动,则：,2.4 动能定理与机械能守恒定律,一、质点组的动能,1.质点组中第i个质点的动能。,质点组的动能,2.动能的相对运动描述,3.柯尼希定理,引入质心参照系，分析上式,第一项：,第二项：,第三项：,柯尼希定理,叙述：质点组的动能等于质心的动能与各质点对质心的动能之和。,【例6】一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水平面上向前滚动而不滑动，
4、若圆心的速度为，求圆盘的动能。,解：由柯尼希定理,圆盘相对于其质心轴作定轴转动,二、质点组的动能定理(在惯性系S中),由第i个质点的动能定理：,求和后，,叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内力的元功之和。,质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。,三、质点组对质心的动能定理,引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能,求和：,叙述:质点组对质心系的动能的微分等于外力与内力对质心系的元功之和。,说明（1）质心系一般为非惯性系，但在质心系中质点 组的动能定理仍保持与惯性系中相同的形式。（2）惯性力对质点组做功为零。,解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的内力为保守力，质点组动量守恒
5、、机械能守恒。,（2）,联立方程（1）、（2）解得,选【例7】质量为m1和m2的两质点以万有引力吸引，开始时两质点静止且距离为。求两质点相距为 时两质点的速度。,选【例8】质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的质量为m2，可在光滑水平面上自由滑动，试求：质点从静止开始下滑距离 时的速度？,分析:,重力为保守力，地面支持力不做功，m1,m2之间的相互作用内力做功之和为零，质点组机械能守恒。,解:(1)研究对象：质点组（m1,m2),(2)参照系：水平面；建立oxy坐标系,(3)受力分析,（4）,设m1的速度为，m2的速度为，则,(1),(2),(3),联立方程(1)(2)(3)(4)解
6、得,2.5 两体问题,一.什么是两体问题,(1)问题的提出（地球绕太阳运动，卫星绕地球 运动，双星运动，电子绕核运动）,(2)两体问题的定义,选择惯性系o-xyz,二.先确定质心的运动，再确定行星、太阳对质心的运动,1.确定系统(S,P)质心的运动,在惯性系o-xyz中，由质心运动定理,且系统的动量守恒，即,2.确定行星和太阳相对质心的运动,在质心系(惯性系)中，行星的动力学方程为,上式用到,在惯性系o-xyz中，行星的动力学方程为：,太阳的动力学方程为：,（3）的形式和太阳固定不动时行星的动力学方程完全一样。,说明：(1)若Mm，由上式引起的误差极小，仍可以 将太阳视为静止，可视为单体问题处
7、理;,(2)如果Mm不成立，两质量差别不大，则 必须视为两体问题处理;,(3)若考虑其他行星的吸引，则为多体问题。,表明：考虑太阳的运动后，行星对太阳做圆锥曲线 运动，但质量不为m，而是折合质量。,(4),(5)应用:如当求一个质点m1相对另一个质点m2的运动时，可认为m2不动，但动力学方程中必须把m1换成折合质量。即：,如：p96页例题，求m1相对m2的速度。(利用机械能守恒）,四.对开普勒第三定律的修正,说明:当mM时，对开普勒定律的修正很小，但对质量相近的双星系统，必须考虑修正，双星系统中可能有一颗星是暗星，可以根据两体理论，由亮星的运动导致暗星的发现。,2.6（选）实验室坐标系与质心坐
8、标系,一、实验室坐标系,即以大地为参照系(静系)研究力学问题。,实验室中观察一个粒子对另外一个粒子的散射：,特点：由质心运动定理，质心作匀速直线运动，碰撞过程中动量守恒，质点系的动量为,若为弹性碰撞：总动能守恒,二.质心坐标系,在质心坐标系中观察碰撞问题：,结论：质心静止，开始两个质点向质心运动，散射后逐渐远离质心。,分析：质点系未受外力作用，碰撞前后质点系动量守恒并恒为零。,若为弹性碰撞：总动能守恒,标量方程为,两式相除得,对弹性碰撞，碰撞前后系统的总动能不变,得,再根据,最后得,一、变质量物体的动力学方程(惯性系),t,t+t,对合并前后（即在t时间内），对系统运用质点组动量定理：,2.7
9、 变质量物体的运动,展开：,取极限，并舍去二阶小量：,即：,或者,二、讨论,1、若dm0，说明主体的质量在增大（合并）,2、若dm0，说明主体的质量在减小（分离）,3、若 方程为（雨滴粘附问题）：,注：m不是恒量,即：,4、若 方程为：,即：形式和定质量的动力学方程一样，但是实际不一样，此处m为t的函数。,例：一车厢在光滑的水平面上匀加速向右行驶，车厢上方有一漏斗，装有沙子，如图：,注：m不是恒量,欲保持原加速度前进，F要增大。,5、反推力(火箭),由：,即：,欲保持推力不变，m增大,减小。,可写成：,令：,该方程研究对象是主体m(下面分析一维情况）,例：从后面向小船上投沙袋。,【例9】,解法
10、一：用变质量物体的动力学方程求解,1.研究对象：空中部分链条。,4.用变质量物体的动力学方程：,3.受力分析,竖直方向分量形式：,即:,因为：,方程变为：,(1),设线质量密度为，对桌面上一段用变质量物体的动力学方程,(2),将（2）代入（1）,得,注意：,化简得,两边积分：,得：,即：,拉力做功之和为零，只有空中部分链条的重力做功，故系统的机械能守恒,以桌面为零势能位置,(1),受力分析：空中部分链的重力，桌面上链条的重力，桌面对其上链条的支撑力以及链条内部的拉力(内力)。,代入方程(1),得,化简，得,即：,分析：,只有空中部分链条的重力做功,第二章作业-22.5（动量矩）；2.13、2.15（变质量物体的运动）,小 结,一.基本要求,1.概念,质点组；质心；内力、外力及其性质；惯性系；质心系。,2.掌握质点组的动量定理，动量矩定理，动能定理。(惯性系，质心系),3.运用三个基本定理及守恒律和质心运动定理求解质点组动力学问题。,4.两体问题。,5.变质量物体的动力学问题。,
