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1、现代电路与系统,第一章电路分析的一般方法,武汉理工大学信息工程学院,现代电路与系统,本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。,电路分析的一般方法,现代电路与系统,本章目录,1.1 网络的图树1.2 基本回路和基本割集1.3 关联矩阵1.4 基本回路矩阵1.5 基本割集矩阵1.6 广义支路及其方程的矩阵形式1.7 用矩阵运算建立节点电压方程,电路分析的一般方法,现代电路与系统,电路分析的一般方法,图论是数学领域中一个十分重要的分支，本课程所涉及的只是图论在电网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。为在计算机上列出一个复
2、杂网络的方程，必须用到网络图论和线性代数的一些概念。网络图论已成为电网络计算机辅助分析中重要基础知识和不可缺少的工具。,现代电路与系统,本节的基本要求：掌握网络的图、子图、连通图、割集和树的概念。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它说明电路中各部分电流和电压之间的约束关系，因为它只与电路的几何结构有关，我们用拓扑学中的一个重要分支图论来研究。因此结构约束又叫拓扑约束。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,电路课程学习了几种有效的电路分析方法，回路电流法节点电压法当电路结构简单时，可由人工用观察法列出电路方程。当电路结构日趋复杂时，为了便于计算机辅助
3、电路分析，有必要研究建立电路方程的方法；为了便于计算机求解方程，电路方程应使用矩阵形式表示。本章介绍：电路方程的矩阵形式极其系统建立法，它是电路的计算机辅助设计和分析所需的基本知识。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,图(graph):由“点”和“线”组成。“点”也称为节点或顶点(vertex)，“线”也称为支路或边(edge)。图通常用符号G来表示。,1.1.1 网络的图,图(a)电路只含二端元件，对应的图如图(b)所示。,电桥电路及其图,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为连通图；否则称为非连通图。,含互感电路及其图,1.1 网络的
4、图 树,现代电路与系统,子图：图的一部分称为子图。一个孤立的节点也是一个子图。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图,回 路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,割 集：连通图的割集是一组支路集合，并且满足：(1)如果移去包含在此集合中的全部支路(但所有节点予以保留)，则留下的图形变成两个彼此分离而又各自连通的子图（这种子图也可以是一个孤立节点）。(2)如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图形仍是连通的。条件表明，割集是满足条件的为
5、数最少的支路集合。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,1.1 网络的图 树,割集定义中的要点移去割集后的图不连通；该不连通图具有两个分离部分（而不是多个）；割集是一个最小支路集合（少移去其中任意支路的图仍连通）。,现代电路与系统,割集与非割集示例,(a)、(b)为割集。,(c)为非割集：移去后没变成两个分离部分。,(d)为非割集：留下6后，剩下的图是非连通图。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,线图象电路图一样可分成平面图和非平面图。平面图能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图。否则叫非平面图。平面图的节点和支路构成一个凸多面体的顶点和棱。如果把其中任意一个面“扩大”，
6、可把其它的面都包在里面而摊成平面。也可以把某些支路拉伸到外侧而摊成平面。如：,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,将下图中的2、3支路拉伸到外侧，则各支路都不交叉，因而也是平面图。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,再如下面的图，无论把支路伸缩还是把支路拉伸到外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而是非平面图。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,树(tree)：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。,1.1.2 树,同一个电路线图可构成不同的树。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,一个电路线图可构成多少种树呢？一个具有n个节点的网络，如果每对节点
7、之间都有一条支路相连，则它的图形共有nn-2种树。如上面的线图，共有四个节点，因此应有16种树。,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,如图所示：,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,选定一种树后，线图的支路就分成了二种：树支：属于树的支路。连支：不属于树的支路。从上面的16种树中我们可以看出，它们的树支数目是相同的，即有3条树支。该线图有四个节点，也就是树支的数目比节点数少1。,实际上这是一个普遍规律，是由树的构造方法决定的。,对于有n个节点、b条支路的图，树支的数目为：bt=n-1 连支的数目为：bl=b-bt=b-n+1,1.1 网络的图 树,现代电路与系统,本节的基本要求掌握基本回路
8、和基本割集的定义；理解基本回路KVL的独立性理解基本割集KCL的独立性理解树支电压的独立性和连支电流的独立性。,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,一个电路作出其线图，并取定一树，树上没有回路。如果在树上加一条连支，便形成一个回路。该回路是由添上的连支和若干树支组成的。而且添一连支与某些树支只能形成一个回路，且只能形成一个回路，若形成二个回路，则去掉该连支后，其它树支仍能形成回路，这就不是树了。,1.2.1 基本回路,因此，图上一条连支和若干树支形成一个而且只能形成一个回路，这种单连支形成的回路叫单连支回路，又叫基本回路。,基本回路的数目等于连支数，即bl=b-n+1。,1.2 基本回
9、路和基本割集,现代电路与系统,图中树支1、2、3用实线表示；连支4、5、6用虚线表示。,添上连支4，则连支4与树支2、3组成一基本回路；,添上连支5，则连支5与树支1、2、3组成一基本回路；,添上连支6，则连支6与树支1、2组成一基本回路。,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,基本回路的性质：,(a),(b),(c),注意：连支的方向就是基本回路的方向。,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,再增加一个由支路1、4、5构成的回路:,结论：基本回路上列写的基氏电压方程是一组独立方程。独立方程的数目等于连支数。,由（a）与(b)相减得到,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,结
10、论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。,上述三个基本回路方程可改写为：,这说明、连支电压可由树支电压线性组合得到。、树支电压不能由其它树支电压得到。,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,1.2.2 基本割集,基本割集（单树支割集）：C1、C2、C3。,一个图可存在不同的割集，只包含一个树支，而其余均为连支的割集叫基本割集，也称单树支割集。,基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。,基本割集数等于树支数：,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,基本割集的性质,以树支的电流方向作参考，写出基本割集的电流方程如下：,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,由1、2、
11、4构成的割集,（由(b)-(a)得到）,结论：基本割集上列写的基氏电流方程是一组独立方程。独立方程的数目等于树支数。,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量,这说明、树支电流可由连支电流线性组合得到。、连支电流不能由其它连支电流得到。,1.2 基本回路和基本割集,现代电路与系统,本节的基本要求熟练掌握关联矩阵的定义掌握用关联矩阵表达基尔霍夫定律。,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,1.3.1 关联矩阵,设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联性质可以用所谓关联矩阵描述。对于n个
12、节点b条支路的图，定义一个矩阵(行号对应节点号，列号对应支路号),矩阵中第i行第j列元素定义为：,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩阵A为,支路：1 2 3 4 5 6,节点节点节点节点,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,除去节点对应的第4行,由于任一支路连接于两个节点，它从一个节点连出，必然连入另一节点，因此A每一列有两个非零元素，分别是1和-1，每一列元素之和均为零。所以 A的任意一行都可由其它n-1行来确定，换言之，它只有n-1个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减（降价
13、）的矩阵，简称关联矩阵，记为A。,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,二、基尔霍夫定律的关联矩阵形式,对上图的节点、列KCL方程并写成矩阵形式为：,此方程组的系数矩阵就是该图的关联矩阵A。,1、KCL的关联矩阵形式,它是一个6元的单列矩阵，为了书写方便，写成单行矩阵的转置叫支路电流矢量。,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,推广到一般情况：将b个支路电流写成支路电流向量,则 AI0,叫做矩阵形式的基氏电流方程。,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,2、KVL的关联矩阵形式,此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵
14、A 的转置。,选右图节点为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式,叫做节点电压矢量。,叫做支路电压矢量。,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,推广到一般情况：设网络有b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作：,则节点电压与支路电压的关系即KVL：,1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式,现代电路与系统,本节的基本要求掌握基本回路矩阵的定义掌握用基本回路矩阵表达基尔霍夫定律,1.4 基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路矩阵形式,现代电路与系统,1.4.1 基本回路矩阵B,支路与基本回路的关联性质可以用基本回路矩
15、阵B描述。定义B 的行对应基本回路，列对应支路，B的元素定义为,1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,现代电路与系统,与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为,如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵 B 的右边存在单位矩阵。,1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,现代电路与系统,1.4.2 基氏定律的基本回路矩阵形式,对右图所示基本回路列写KVL方程，并写成矩阵形式,其系数矩阵是上图的基本回路矩阵,1、KVL的基本回路矩阵形式,是支路电压矢量,1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,现代电路与系统,推广到一般情况：设U 表示支路电压向量，基氏
16、电压定律的基本回路矩阵形式为,如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,用树支电压表示连支电压,1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,现代电路与系统,对下图所示基本割集列写KCL方程并写成矩阵形式,(a),(b),系数矩阵是基本回路矩阵B 的转置。式(b)就是基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式。,2、KCL的基本回路矩阵形式,是连支电流矢量。,再扩展到全部支路电流,1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,现代电路与系统,推广到一般情况:基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为,如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,用连支电流表示树支
17、电流：,1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵,现代电路与系统,本节的基本要求理解基本割集矩阵的定义掌握用基本割集矩阵表达基尔霍夫定律,1.5 基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式,现代电路与系统,1.5.1 基本割集矩阵C,支路与基本割集的关联性质可以用基本割集矩阵C描述。矩阵的行对应基本割集，列对应支路，C的元素定义为：,1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,现代电路与系统,如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本割集编号顺序与连支相同，则在矩阵 C 的左边存在单位矩阵。,与图所选基本割集对应的基本割集矩阵为：,1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,现代电
18、路与系统,1.5.2 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式,对右图所示的基本割集列写基尔霍夫电流定律方程并写成矩阵形式为：,上述方程系数矩阵恰是上图的基本割集矩阵。,1、KCL的基本割集矩阵形式,1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,现代电路与系统,推广到一般情况：设I表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是,如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,用连支电流表示树支电流：,1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,现代电路与系统,对右图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得,再扩展到全部支路电压：,2、KVL的基本割集矩阵形式,系数矩阵
19、是基本割集矩阵C的转置。该式就是基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式。,1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,现代电路与系统,推广到一般情况：设树支电压向量为Ut，则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是,如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成,用树支电压表示连支电压：,1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵,现代电路与系统,本节的基本要求掌握广义支路的定义掌握广义支路方程的矩阵形式理解定义广义支路的目的。,1.6 广义支路及其方程的矩阵形式,现代电路与系统,广义支路又称为标准或一般支路。其中包括阻抗、电压源和电流源。一个广义支路在图中对应一条支路。,(
20、k=1,b),第k条广义支路的方程可以表示成,1.6 广义支路及其方程的矩阵形式,现代电路与系统,b条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量s)：,简写为,1.6 广义支路及其方程的矩阵形式,现代电路与系统,其中U、I支路电压向量与支路电流向量；,若矩阵Z存在逆矩阵Z-1，令Y=Z-1，并乘U=ZI-ZIS+US两端，得,1.6 广义支路及其方程的矩阵形式,现代电路与系统,本节的基本要求掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤。,1.7 用矩阵运算建立节点电压方程,现代电路与系统,令,(称节点导纳矩阵),广义支路的矩阵方程,支路电压方程,节点电压方程简化为,1.7 用矩阵运算建立节点电压方程,现代电路与系统,例1 利用本节方法列写图(a)所示电路的节点电压方程。,例题,现代电路与系统,解：1)按广义支路定义，对照图(a)作出网络的图(b),2)根据图写出关联矩阵A,例题,现代电路与系统,3)根据网络图并对照图(a)写出,例题,现代电路与系统,(6)求解上式得节点电压,(5)按YnUn=ISn列出节点电压方程,4)计算,例题,
