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1、矩阵的初等变换,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,显然 交换B的第1行与第2行即得B1,增广矩阵的比较,例如,显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方
2、程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,例如,增广矩阵的比较,显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,例如,增广矩阵的比较,线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换,方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同
3、解的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上,下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换(i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去,矩阵的初等变换,这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换,rirj(cicj)对调i j两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,初等变换的符号,换法变换,倍法变换,消法变换,矩阵的等价关系,如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B
4、 就称矩阵A与B等价 记作 A B,等价关系的性质(i)反身性 AA(ii)对称性 若AB 则BA(iii)传递性 若AB BC 则AC,r3r4,0 0 0 2 6,1 1 2 1 4,0 2 2 2 0,0 5 5 3 6,0 3 3 4 3,1 1 2 1 4,2 1 1 1 2,2 3 1 1 2,3 6 9 7 9,r42r3,矩阵初等变换举例,r1r2,r2r3,r32r1,r43r1,1 1 2 1 4,0 1 1 1 0,0 0 0 2 6,0 0 0 1 3,r22,r35r2,r43r2,r32,r1r2,r2r3,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,1 0 1 0 4,0 1 1
5、 0 3,0 0 0 0 0,0 0 0 1 3,行阶梯形矩阵特点：,可画出一条阶梯线，线的下方全为0；,每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元,行阶梯形矩阵,非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0,行最简形矩阵特点：,行最简形矩阵,可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组,行最简形矩阵与线性方程组的解,矩阵初等变换举例,矩阵初等变换举例,所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程
6、组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的,行最简形矩阵与线性方程组的解,矩阵初等变换举例,对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0,矩阵的标准形,比如上述行最简形矩阵经初等列变换得,注：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,3.行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,4.行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形,注：1.一个矩阵的行（列）最简形矩阵是唯一确定的。,A,n,m,把他变为行阶梯形和行最简形,变换,总可经过有限次初等行,2.对于任何矩阵,5.增广矩阵,
