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1、1,2.1.1 矩 阵,一、矩阵的定义二、几种特殊矩阵三、同型矩阵与矩阵相等的概念四、小结,2,大纲要求,二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算,3,大纲要求,二、矩阵考试要求1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质 2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念
2、，会用伴随矩阵求逆矩阵4理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 5了解分块矩阵及其运算,4,一、矩阵的定义,由 个数排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,5,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,6,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,7,例1某厂向三个商店发送四种产品,则发送的数量可用矩阵A 表示：,a i j 表示向第 i 店发送 第 j 种产品的数量,8,例如,是一个3 阶方阵.,二、几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,
3、称为行矩阵(或行向量).,9,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,10,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或.,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,11,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,三、同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,12,例如,为同型矩阵.,13,例1 设,解,14,四、小结,(1)矩阵的概念,15,(2)特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,16,思考题,矩阵与行列式的有何区别?,17,思考题解答,矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个
4、数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.,18,2.1.2 矩阵的运算,一、矩阵的加法、减法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置五、方阵的行列式 六、共轭矩阵,19,、定义,一、矩阵的加法、减法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作，规定为,20,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,21,2、矩阵加法的运算规律,22,1、定义,二、数与矩阵相乘,23,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵，为数）,24,1、定义,并把此乘积记作,设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那末规
5、定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵，其中,三、矩阵与矩阵相乘,25,例,设,例2,26,故,解,27,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,28,2、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,29,注意矩阵不满足交换律，即：,例 设,则,30,但也有例外，比如设,则有,31,例3 计算下列乘积：,解,32,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作.,例,、转置矩阵,四、矩阵的转置,33,2、转置矩阵的运算性质,34,例4 已知,解法1,35,解法2,36,3、对称阵,定义,设 为
6、 阶方阵，如果满足，即那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,37,例5 设列矩阵 满足,证明,38,五、方阵的行列式,1、定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,2、运算性质,39,1997,40,3、定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,称为矩阵 的伴随矩阵.,41,性质,42,例：设矩阵,，矩阵B满足,其中,为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则,43,2005,44,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,45,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,46,思考题,成立的充要条件是什么?,47,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,
