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1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,13.3确定临界荷载的能量法,13.3.1 能量法及临界状态的能量特征,临界状态的能量特征,其一，从能量守恒原理出发，有,（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。,其二，从势能驻值原理出发，有总势能,（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利李兹能量法。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,13.3.2 能量守恒原理和铁木辛柯能量法,在位于凹面内稳定平衡情况下，其势能EP最小。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而势能增加，即 D EP 0,在位于凸面上不稳定平衡情况下，其
2、势能 EP最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即 D EP 0,在处于平面上随遇平衡情况下，其势能 EP为常量。使小球偏离原平衡位置，将不会引起势能改变，即 D EP 0,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加(增加了弯曲应变能)，杆件的荷载势能将会减小,整个体系的势能的增量为,体系处于随遇平衡状态时，势能的增量恒等于零,即 D EP 0,铁木辛柯能量法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,1、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）,用能量法重
3、解上节图13-6所示刚性中心压杆的临界荷载。,第一，假设失稳形式，如图实线所示，位移参数为q。,第二，根据临界状态的能量特征,建立临界状态平衡方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,荷载功的增量为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,此即临界状态平衡方程。这是一个以q 为未知量的齐次方程。,能量法以下的步骤与静力法完全相同,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：,1)假定失稳形式。,2)根据能量特征,建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）。,3)由位移有非零解的条件
4、，建立稳定方程。,4)解稳定方程，求特征荷载值。,5)由最小特征荷载值，确定临界荷载。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例13-4】试用能量法重解上节例13-1图13-7a所示具有两个自由度体系的临界荷载。,（1）假设失稳形式，如图所示。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,荷载功的增量为,又弹性支座的应变能增量为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,能量法以下的计算步骤与静力法完全相同,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,
5、2、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）,现以图示弹性中心压杆为例,取压杆直线平衡位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所示，y(x)为满足位移边界条件的任一可能位移状态。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,取微段dx进行分析，微段两端点竖向位移的差值为,按泰勒级数展开,略去高阶微量，则可改写为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,荷载功的增量,临界荷载的计算公式为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：1)假设失稳形式y(x)。2)计算y(x)和,3
6、)代入铁木辛柯能量法公式（13-6），计算临界荷载,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例13-5】试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。,假设变形曲线为二次抛物线,引入边界条件,误差为21.6%,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线，即,x=0,x=l处的几何边界条件 仍能满足,误差仅为0.13%,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,假设变形曲线为正弦曲线,同样能满足几何边界条件。变形曲线只含一个位移参数a，即作为单自由度体系看待,用静力法所得精确
7、结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,第一，用能量法求临界荷载，须事先假定屈曲时的变形曲线，得到的是对应的近似解。第二，用能量法求解临界荷载的关键是：假定的变形曲线y(x)必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足几何边界条件（支座处的挠度 D和转角）与静力边界条件（支座处的弯矩M和剪力FQ），至少应使几何边界条件得到满足；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。第三，用能量法求得的临界荷载都大于精确值。假设的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些附
8、加约束，提高了压杆的刚度。,通过以上算例，可以指出以下几点：,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,13.3.3 势能驻值原理和瑞利李兹能量法,势能驻值原理可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势能的一阶变分,极大、极小或始终保持不变,由此得到的驻值条件等价于平衡条件,仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系的平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种，要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步研究。,研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的二阶变分,All Rights Reserved,重庆大学
9、土木工程学院,1、有限自由度体系的稳定（瑞利法）,设取该图中双点画线所示初始平衡位置为参考状态。假设失稳形式如实线所示，位移参数为q。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,其总势能为,弹簧的应变能,荷载势能,体系总势能,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,第一，当体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小。因此，体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能EP就由正定过渡到非正定。第二，当体系处于随遇平衡状态，即如以初始平衡位置作为参考状态，则必有总势能 恒为0,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2、无限
10、自由度体系的稳定(瑞利-李兹法),图示为一弹性中心压杆。设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态，则对任一几何可能位移，它的总势能为,体系在临界状态时其总势能恒为0,U和D均与所取体系几何可能位移有关。对弹性杆而言，其几何可能位移可有无限个，因此，满足式的FP值就不止一个,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,设弹性杆的任一个几何可能位移用y(x)表示，若只考虑弯曲变形的影响，则有,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,在求解比较复杂的问题时，上面所设的弹性曲线方程式常常难以满足全部边界条件，其形状也很难与实际情况完全一致。因此，常采用下面介绍的李兹
11、法，采用包含若干参数的组合形式的变形曲线去逼近真实曲线，即,是满足位移边界条件的已知函数，,ai是待定的参数，共有n个。这样，无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,求FP极小值，其极小条件为,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,即为临界状态的能量方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,有非零解的条件是，其系数行列式应为零。于是得稳定方程,n次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1)假设失稳形式,(2)计算稳定方程的系数,(3)建立稳定方程,(4)解稳定方程，由方程解中取荷载最小值，作为最接近精确解的临界荷载的近似解,瑞利-李兹能量法 的计算步骤:,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例13-6】试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界荷载。,(1)假设失稳形式：设取变形曲线为两项形式：,(2)计算稳定方程的系数,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)建立稳定方程,(4)解稳定方程，其中最小特征荷载即为所求临界荷载,(误差为3.61%),
