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1、2.3.1 离散型随机变量的数学期望,1、什么叫n次独立重复试验？,一.复习,一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)p0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。,2、什么叫二项分布？,若XB(n，p),2、离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：,(1)pi0，i1，2，；(2)p1p21,1、离散型随机变量的分布列,一、复习导引,3、求离散型随机变量的分布列的步骤：,离散型随机变量可能取的值为x1，x2，求取每一个值xi(i1，2，)的概率P(xi)pi，列出分布列表,1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1
2、，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,权数,加权平均,二、互动探索,反映标志值对平均数的影响程度,二.问题,1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：,如何比较甲、乙两个工人的技术？,对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,数学期望的定义,若离散型随机变量X的分布列为：,则称：E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为
3、随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,E(X1)00.710.120.130.10.6,E(X2)00.510.320.2300.7,对于问题1,由于E(X1)E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。,问题1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：,如何比较甲、乙两个工人的技术？,例1 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可
4、获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？,解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为 万元，则 的分布列为,E=100.6(4)0.4=4.4万元,2万元,故应选择在商场外搞促销活动。,1、随机变量的分布列是,(1)则E=.,2、随机变量的分布列是,2.4,E=7.5,则a=b=.,0.4,0.1,变式,设YaXb,其中a,b为常数,则Y也是随机变量(1)Y的分布列是什么？(2)EY=？,思考：,2、数学期望的性质,练一练,1、随机变量的分布列是,(1)则E()=.,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E()=.,5.8,
5、(1)E()=7.5,则a=b=.,0.4,0.1,(2)若=3+2，则E()=.,24.5,3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是.,1.2,4.（1）若 E()=4.5,则 E()=.（2）E(E)=.,-4.5,0,例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？,三、例题讲解,一般地，如果随机变量X服从两点分布，,则,小结：,例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X
6、的分布列；（2）求X的期望。,解：,(1)XB（3，0.7）,(2),一般地,如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则,小结：,练一练:,一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的数学期望是.,3,E()=0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0,P(=k)=Cnkpkqn-k,证明：,=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np,(k Cnk=n Cn-1k-1),若B(
7、n，p)，则E()=np,所以,若B(n，p)则E()np,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,例3.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和,则,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E()200.918，,E()200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别
8、是5和5.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,思考2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中摸出3个球.（1）求得到黄球个数的分布列；（2）求的期望。,解：,(1)服从超几何分布,小结：,一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,例4:（2009上海）某学校要从5名男生和2名女生中选
9、出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 x 表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是（结果用最简分数表示）,超几何分布,变式,一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。,E(X)=2,2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望.(保留三个有效数字),E=1.43,课堂小结,1、离散型随机变量的数学期望,2、数学期望的性质,数学期望是反映离散型随机变量的平均水平,3、如果随机变量X服从两点分布为,则,4、如果随机变量X服从二项分布，即X B（n,p），则,5、如果随机变量X服从超几何分布，即X H（n,M,N）则,
