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1、1,第十章 群与环,主要内容:群的定义与性质子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域,2,半群、独异点与群的定义半群、独异点、群的实例群中的术语群的基本性质,10.1 群的定义与性质,3,半群、独异点与群的定义,定义10.1(1)设V=是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若eS是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V 记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.,4,实例,例1(1),都是半群，+是普通加法.这些半群中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数，和都是半群，
2、也都是独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算.(4)为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n1，为模n加法.(5)为半群，也是独异点，其中为函数的复合运算.(6)为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义如下：x,yR*,xy=y.,5,例2 设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群,实例,特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素,6,有关群的术语,定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记
3、作|G|.(2)只含单位元的群称为平凡群.(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.,7,有关群的术语,实例：和是无限群.是有限群，也是 n 阶群.Klein四元群是4阶群.是平凡群.上述群都是交换群，n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,8,定义10.3 设G是群，aG，nZ，则a 的 n次幂.,群中元素的幂,群中元素可以定义负整数次幂.在中有 23=(21)3=13=111=0 在中有(2)3=23=2+2+2=6,9,元素的阶,定义10.4 设G是群，aG，使得等式 ak=e 成立的最小正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a
4、为 k 阶元.若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元.,例如，在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元.在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.,10,群的性质：幂运算规则,定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足：(1)aG，(a1)1=a(2)a,bG，(ab)1=b1a1(3)aG，anam=an+m，n,mZ(4)aG，(an)m=anm，n,mZ(5)若G为交换群，则(ab)n=anbn.,11,群的性质：方程存在惟一解,定理10.2G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.,证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b)=(aa
5、1)b=eb=b所以a1b 是该方程的解.下面证明惟一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有 c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解.,12,群的性质：方程存在惟一解,例3 设群G=，其中为对称差.解下列群方程：aX=，Ya,b=b解 X=a1=a=a，Y=ba,b1=ba,b=a,13,群的性质：消去律,定理10.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,cG 有(1)若 ab=ac，则 b=c.(2)若 ba=ca，则 b=c.,例4 设G=a1,a2,an是n阶群，令 aiG=aiaj|j=1,2,n 证明 aiG=G.证 由
6、群中运算的封闭性有 aiGG.假设aiGG，即|aiG|n.必有aj,akG使得 aiaj=aiak（j k）由消去律得 aj=ak,与|G|=n矛盾.,14,群的性质：元素的阶,证(1)充分性.由于r|k，必存在整数m使得k=mr，所以有ak=amr=(ar)m=em=e.必要性.根据除法，存在整数 m 和 i 使得 k=mr+i,0ir1从而有 e=ak=amr+i=(ar)mai=eai=ai 因为|a|=r，必有i=0.这就证明了r|k.,定理10.4 G为群，aG且|a|=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k(2)|a1|=|a|,15,群的性质：元素的阶,证(2)由(a1
7、)r=(ar)1=e1=e 可知 a1 的阶存在.令|a1|=t，根据上面的证明有t|r.a又是a1的逆元，所以 r|t.从而证明了r=t，即|a1|=|a|.,定理10.4 G为群，aG且|a|=r.设k是整数，则(1)ak=e当且仅当r|k(2)|a1|=|a|,16,实例,例 5 设G是群，a,bG是有限阶元.证明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|,证(1)设|a|=r，|b1ab|=t，则有 从而有t|r.另一方面，由 a=(b1)1(b1ab)b1可知 r|t.从而有|b1ab|=|a|.,17,实例,(2)设|ab|=r，|ba|=t，则有 由消去律得(ab)t=e
8、，从而可知，r|t.同理可证 t|r.因此|ab|=|ba|.,18,10.2 子群与群的陪集分解,定义10.5 设G是群，H是G的非空子集，(1)如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,记作HG.(2)若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作HG.,例如 nZ(n是自然数)是整数加群 的子群.当n1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群.G和e都是G的子群，称为G的平凡子群.,19,子群判定定理1,定理10.5（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1)a,bH有abH(2)aH有a1H.,证 必要性是显然的.为证明充分性，只需证明eH.因为H非空
9、，存在aH.由条件(2)知a1H，根据条件(1)aa1H，即eH.,20,子群判定定理2,定理10.6（判定定理二）设G为群，H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当a,bH有ab1H.,证 必要性显然.只证充分性.因为H非空，必存在aH.根据给定条件得aa1H，即eH.任取aH,由e,aH 得 ea1H，即a1H.任取a,bH，知b1H.再利用给定条件得a(b1)1H，即abH.综合上述，可知H是G的子群.,21,子群判定定理3,定理10.7（判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当a,bH有abH.,证 必要性显然.为证充分性，只需证明 aH有a1H.任取aH,若a
10、=e,则a1=eH.若ae，令S=a,a2,，则SH.由于H是有穷集，必有ai=aj（i1，由此得 a ji1a=e 和 a a ji1=e 从而证明了a1=a ji1H.,22,典型子群的实例:生成子群,定义10.6 设G为群，aG，令H=ak|kZ，则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作.,证 首先由a知道.任取am,al，则 am(al)1=amal=aml根据判定定理二可知G.实例：例如整数加群，由2生成的子群是=2k|kZ=2Z中，由2生成的子群=0,2,4Klein四元群 G=e,a,b,c的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c.,23,典型子群的实例:中心C,
11、定义10.7 设G为群,令C=a|aGxG(ax=xa)，则C是G的子群，称为G的中心.,证 eC.C是G的非空子集.任取a,bC，只需证明ab1与G中所有的元素都可交换.xG，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax1)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理二可知CG.对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中心就等于G.但是对某些非交换群G，它的中心是e.,24,典型子群的实例:子群的交,例6 设G是群，H,K是G的子群.证明(1)HK也是G的子群.(2)HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH.,证(1)由 eHK 知
12、 HK 非空.任取a,bHK，则aH,aK,bH,bK.必有ab1H 和 ab1K，从而ab1HK.因此HKG.,25,典型子群的实例:子群的交,例6 设G是群，H,K是G的子群.证明(1)HK也是G的子群.(2)HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH.,证(2)充分性显然，只证必要性.用反证法.假设 HK 且KH，那么存在 h 和 k 使得 hHhK,kKkH 推出 hk H.否则由h1H 得 k=h1(hk)H，与假设矛盾.同理可证 hk K.从而得到 hk HK.与HK是子群矛盾.,26,图1,定义10.8 设G为群,令 L(G)=H|H是G的子群则偏序集称为G的子群格.,子群格,实例：
13、Klein四元群的子群格如下：,27,陪集定义与实例,定义10.9 设H是G的子群，aG.令Ha=ha|hH称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.,例7(1)设G=e,a,b,c是Klein四元群，H=是G的子群.H所有的右陪集是：He=e,a=H,Ha=a,e=H,Hb=b,c,Hc=c,b不同的右陪集只有两个，即H和b,c.,28,实例,(2)设A=1,2,3，f1,f2,f6是A上的双射函数.其中 f1=,，f2=,f3=,，f4=,f5=,，f6=,令 G=f1,f2,f6，则G 关于函数的复合运算构成群.考虑G 的子群H=f1,f2.做出 H 的全体右陪集如下:Hf1=
14、f1f1,f2f1=H,Hf2=f1f2,f2f2=H Hf3=f1f3,f2f3=f3,f5,Hf5=f1f5,f2f5=f5,f3 Hf4=f1f4,f2f4=f4,f6,Hf6=f1f6,f2f6=f6,f4结论：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.,29,陪集的基本性质,定理10.8 设H是群G的子群，则(1)He=H(2)aG 有aHa证(1)He=he|hH=h|hH=H(2)任取 aG，由a=ea 和 eaHa 得 aHa,30,定理10.9 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb,陪集的基本性质,证 先证aHb ab1H aHb h(hHa=h
15、b)h(hHab1=h)ab1H,31,定理10.9 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb,陪集的基本性质,证 再证 aHb Ha=Hb.充分性.若Ha=Hb，由aHa 可知必有 aHb.必要性.由 aHb 可知存在 hH 使得 a=hb，即b=h1a 任取 h1aHa，则有h1a=h1(hb)=(h1h)bHb 从而得到 Ha Hb.反之，任取h1bHb，则有h1b=h1(h1a)=(h1h1)aHa 从而得到Hb Ha.综合上述，Ha=Hb得证.,32,定理10.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R:a,bG,R ab1H则 R是G上的等价关系，且aR=Ha
16、.,陪集的基本性质,证 先证明R为G上的等价关系.再证明：aG，aR=Ha.任取bG，baR R ab1H Ha=Hb bHa,33,推论,推论 设H是群G的子群,则(1)a,bG，Ha=Hb 或 HaHb=(2)Ha|aG=G 证明：由等价类性质可得.,定理10.11 设H是群G的子群，则 aG，H Ha,34,左陪集的定义与性质,设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即aH=ah|hH，aG 关于左陪集有下述性质：(1)eH=H(2)aG，aaH(3)a,bG，abH b1aH aH=bH(4)若在G上定义二元关系R，a,bG，R b1aH 则R是G上的等价关系，且aR=aH.(5)aG，
17、H aH,35,Lagrange定理,定理10.12（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|G:H 其中G:H 是H在G中的不同右陪集(或左陪集)数，称为H在G 中的指数.,证 设G:H=r，a1,a2,ar分别是H 的r个右陪集的代表元素，G=Ha1Ha2Har|G|=|Ha1|+|Ha2|+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,r,得|G|=|H|r=|H|G:H,36,Lagrange定理的推论,推论1 设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且有an=e.证 任取aG，是G的子群，的阶是n的因子.是由a生成的子群，若|a|=r，则=a0=e,a1,a2,a
18、r1即的阶与|a|相等,所以|a|是n的因子.从而an=e.,37,Lagrange定理的推论,推论2 对阶为素数的群G，必存在aG使得G=.证 设|G|=p，p是素数.由p2知G中必存在非单位元.任取aG，a e，则是G的子群.根据拉格朗日定理，的阶是p的因子，即的阶是 p或1.显然的阶不是1，这就推出G=.,38,Lagrange定理的应用,命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.,证 设a为G中任意元素，有a1=a.任取 x,yG，则 xy=(xy)1=y1x1=yx，因此G是Abel群.,39,Lagrange定理的应用,例8 证明 6 阶群中必含有 3 阶元
19、.,证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶或6阶.若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元.若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元.如若不然，G中只含1阶和2阶元，即aG，有a2=e，由命题知G是Abel群.取G中2阶元 a 和 b，a b，令 H=e,a,b,ab，则H 是G的子群，但|H|=4，|G|=6，与拉格朗日定理矛盾.,40,例9 证明阶小于6 的群都是Abel群.,Lagrange定理的应用,证 1 阶群是平凡的，显然是阿贝尔群.2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群，都是Abel群.设G是4阶群.若G中含有4阶元，比如说a，则G=，由上述分
20、析可知G是Abel群.若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可知G也是Abel群.,41,10.3 循环群与置换群,定义10.10 设G是群，若存在aG使得 G=ak|kZ 则称G是循环群，记作G=，称 a 为G 的生成元.,循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G=a0=e,a1,a2,an1 那么|G|=n，称 G 为 n 阶循环群.若a 是无限阶元，则 G=a0=e,a1,a2,称 G 为无限循环群.,42,循环群的生成元,定理10.13 设G=是循环群.(1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1.(2)若G是 n 阶循环群，则G
21、含有(n)个生成元.对于任何小 于n且与 n 互质的数r0,1,n-1,ar是G的生成元.(n)称为欧拉函数，例如 n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：1,5,7,11，所以(12)=4.,43,证明,证(1)显然G.akG，ak=(a1)k，因此G，a1是G的生成元.再证明G只有a和a1这两个生成元.假设 b 也是G 的生成元，则 G=.由aG 可知存在整数 t 使得a=bt.由bG=知存在整数 m 使得 b=am.从而 a=bt=(am)t=amt 由G中的消去律得 amt1=e因为G是无限群，必有mt1=0.从而证明了m=t=1或 m=t=1，即 b=a 或 b=a1.,
22、44,(2)只须证明：对任何正整数 r(rn)，ar是G的生成元 n与r互质.充分性.设r与n互质，且rn，那么存在整数 u 和 v 使得 ur+vn=1 从而 a=aur+vn=(ar)u(an)v=(ar)u这就推出akG，ak=(ar)uk，即G.另一方面，显然有G.从而G=.必要性.设ar是G的生成元，则|ar|=n.令r与n的最大公约数为d，则存在正整数 t 使得 r=dt.因此,|ar|是n/d的因子，即n整除n/d.从而证明了d=1.,证明,45,实例,例10(1)设G=e,a,a11是12阶循环群，则(12)=4.小于12且与12互素的数是1,5,7,11,由定理10.13可知
23、 a,a5,a7 和 a11是G的生成元.(2)设G=是模9的整数加群，则(9)=6.小于9且与9互素的数是 1,2,4,5,7,8.根据定理10.13，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)设G=3Z=3z|zZ,G上的运算是普通加法.那么G只有两个生成元：3和3.,46,循环群的子群,定理10.14 设G=是循环群.(1)设G=是循环群，则G的子群仍是循环群.(2)若G=是无限循环群，则G的子群除e以外都是无限循环群.(3)若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.,47,证明,证(1)设H是G=的子群，若H=e，显然H是循环群，否则取H中的最小正方幂元am，
24、下面证明H=.易见 H.下面证明H.为此，只需证明H中任何元素都可表成am的整数次幂.任取alH，由除法可知存在整数 q 和 r，使得 l=qm+r，其中 0rm1 ar=alqm=al(am)q 由al,amH 且 H 是G 的子群可知arH.因为am是H中最小正方幂元，必有r=0.这就推出al=(am)q,48,证明,(2)设G=是无限循环群，H是G 的子群.若He可知H=，其中am为H中最小正方幂元.假若|H|=t，则|am|=t，从而得到amt=e.这与a为无限阶元矛盾.,49,证明,(3)设G=是 n 阶循环群，则 G=a0=e,a1,an1 下面证明对于n的每个正因子d都存在一个d
25、阶子群.易见 是G的d 阶子群.假设H1=也是G的d 阶子群，其中 am 为 H1中的最小正方幂元.则由(am)d=e 可知 n 整除md，即 n/d 整除 m.令m=(n/d)l，l是整数，则有 这就推出H1H.又由于|H1|=|H|=d，得H1=H.,50,实例,例11(1)G=是无限循环群，其生成元为1和1.对于自然数mN，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，mN.即=0=0Z=mz|zZ=mZ，m0(2)G=Z12是12阶循环群.12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群:1阶子群=0 2阶子群=0,6 3阶子群=0,4,8 4阶子群=0,3,6,9 6阶子群=0,2,4,6,8
26、,10 12阶子群=Z12,51,n 元置换及乘法,定义10.11 设 S=1,2,n,S上的任何双射函数:SS 称为S上的n元置换.例如 S=1,2,3,4,5,下述为5元置换,定义10.12 设,是n元置换,和的复合 也是n元置换,称为与 的乘积,记作.例如,52,n元置换的轮换表示,定义10.13 设是 S=1,2,n 上的n元置换。若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持S中其它元素不变，则称是 S上的k阶轮换.记作(i1 i2 ik)。若k=2，称是 S上的对换.,53,n元置换的轮换表示,设 S=1,2,n，对于任何S上的 n 元置换,存在着一个有限
27、序列 i1,i2,ik,k1,(可以取i1=1)使得(i1)=i2,(i2)=i3,(ik1)=ik,(ik)=i1令 1=(i1 i2 ik)是 分解的第一个轮换.将 写作 1,继续对 分解.由于S 只有n 个元素,经过有限步得到=1 2 t,54,n元置换的轮换表示,轮换分解式的特征轮换的不交性分解的惟一性:若=12 t 和=12 s 是的两个轮换表示式，则有 1,2,t=1,2,s,55,例12 设S=1,2,8,则 轮换分解式为：=(1 5 2 3 6)(4)(7 8)=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 8 3 4 2)(5 6 7),实例,56,置换的对换分解,设S=1,2,n
28、，=(i1 i2 ik)是S上的 k 阶轮换，可以进一步表成对换之积，即(i1 i2 ik)=(i1 i2)(i1 i3)(i1 ik)任何n元置换表成轮换之积，然后将每个轮换表成对换之积.例如 8 元置换=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8)=(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7),57,对换分解的特征,对换分解式中对换之间可以有交，分解式也不惟一.例如4元置换 可以有下面不同的对换表示：=(1 2)(1 3)，=(1 4)(2 4)(3 4)(1 4)表示式中所含对换个数的奇偶性是不
29、变的.如果n元置换 可以表示成奇数个对换之积，则称为奇置换，否则称为偶置换.不难证明奇置换和偶置换各有n!/2个.,58,n元置换群,所有的 n元置换构成的集合Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群.n元对称群的子群称为n元置换群.例13 设 S=1,2,3，3元对称群 S3=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2),59,Sn的子群,n元交错群An是Sn的子群，An是所有的n元偶置换的集合.证 恒等置换(1)是偶置换，所以An非空.根据判定定理三，只需证明封闭性：任取,An，,都可以表成偶数个对换之积，那么 也可以表成偶数个对换之积，所以 An.,60,Sn
30、的子群,实例：S3的子群格S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),A3=(1),(123),(132),(1),(1),(12),(1),(13),(1),(23).,61,10.4 环与域,定义10.12 设是代数系统，+和是二元运算.如果满足以下条件:(1)构成交换群(2)构成半群(3)运算关于+运算适合分配律则称是一个环.通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法.环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x.若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.,62,环的实例,例15(1)整数集、有理数
31、集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 n 阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模 n的整数环.,63,定理10.16 设是环，则(1)aR，a0=0a=0(2)a,bR，(a)b=a(b)=ab(3)a,b,cR，a(bc)=abac，(bc)a=baca(4)a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR(n,m2),环的运算性质,64,环的运算性质,证(1
32、)aR有 a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0.(2)a,bR，有(a)b+ab=(a+a)b=0b=0ab+(a)b=(a+(a)b=0b=0(a)b是ab的负元.由负元惟一性(a)b=ab.同理a(b)=ab.,65,同理可证,b1,b2,.,bm有,(4)证明思路：用归纳法证明 a1,a2,.,an 有,于是,证明(4),66,实例,例16 在环中计算(a+b)3,(ab)2,解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=
33、a2baab+b2,67,特殊的环,定义10.13 设是环(1)若环中乘法 适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法 存在单位元，则称R是含幺环.(3)若a,bR，ab=0 a=0b=0，则称R是无零因子环.(4)若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环.(5)设R是整环，且R中至少含有两个元素.若aR*，其中R*=R0，都有a1R，则称R是域.,68,例17(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环.除了整数环以外都是域.(2)令2Z=2z|zZ，则构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)
34、关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环.23=32=0，2和3是零因子.注意：对于一般的n,Zn是整环当且仅当n是素数.,实例,69,实例,例18 设 p为素数，证明Zp是域.,证 p为素数，所以|Zp|2.易见Zp可交换，单位是1,对于任意的 i,jZp,i 0有i j=0 p 整除 ij p|j j=0所以 Zp 中无零因子，Zp为整环.下面证明每个非零元素都有逆元.任取 iZp，i 0，令i Zp=i j|jZp则 i Zp=Zp，否则 j,kZp，使得 i j=i k，由消去律得 j=k.由1
35、Zp，存在 jZp，使得 i j=1.由于交换性可知 j 就是i 的逆元.,70,练习1,1.判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群.(1)a 是正整数，G=an|nZ,运算是普通乘法.(2)Q+是正有理数集，运算为普通加法.(3)一元实系数多项式的集合关于多项式加法.,解(1)是半群、独异点和群(2)是半群但不是独异点和群(3)是半群、独异点和群方法：根据定义验证，注意运算的封闭性,71,2.设V1=,V2=,其中Z为整数集合,+和 分别代表普通加法和乘法.判断下述集合S是否构成V1和V2的子半群和子独异点.(1)S=2k|kZ(2)S=2k+1|kZ(3)S=1,0,1,解(1)S关于
36、V1构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子半群(2)S关于V1不构成子半群也不构成子独异点，S关于V2构成子半群和子独异点(3)S关于V1不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群和子独异点,练习2,72,3.设Z18 为模18整数加群,求所有元素的阶.,解：|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18.,练习3,说明：群中元素的阶可能存在，也可能不存在.对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子.对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的
37、阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）.,73,4证明偶数阶群必含2阶元.,由 x2=e|x|=1 或2.换句话说,对于G中元素x，如果|x|2,必有x1 x.由于|x|=|x1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个.那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个.1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了G中必有 2 阶元.,练习4,74,有关群性质的证明方法,有关群的简单证明题的主要类型:证明群中的元素某些运算结果相等证明群中的子集相等证明与元素的阶相关的命题.证明群的其它性质，如交换性等.常用的证明手段或工具是:算律：结合律、消去律和特殊元素相关的等式，
38、如单位元、逆元等幂运算规则 和元素的阶相关的性质.特别地，a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1=a.,75,证明方法,证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简.证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等.证明两个元素的阶r 和 s 相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除.在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质.特别地，可能用到a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1=a.,76,练习5,5设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素
39、构成G的子群.,证 令H=x|xG xa=ax,下面证明H是G的子群.首先e属于H，H是G的非空子集.任取x,y H，有(xy1)a=x(y1a)=x(a1y)1=x(ay)1=x(ya)1=xa1y1=xay1=axy1=a(xy1)因此 xy1属于H.由判定定理命题得证.,分析：证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二.证明的步骤是：验证 H 非空任取 x,yH，证明xy1H,77,6.(1)设G为模12加群,求 在G中所有的左陪集;(2)设 X=x|xR,x 0,1,在X上如下定义6个函数：f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1x,f4(x)=1/(1x),f5(x)=(x1
40、)/x,f6(x)=x/(x1),则G=f1,f2,f3,f4,f5,f6关于函数合成运算构成群.求子群H=f1,f2 的所有的右陪集.,练习6,78,练习6,解(1)=0,3,6,9,的不同左陪集有3个，即 0+=,1+=4+=7+=10+=1,4,7,10,2+=5+=8+=11+=2,5,8,11.(2)f1,f2有3个不同的陪集，它们是：H，Hf3=f3,f5,Hf4=f4,f6.,79,7设 H1,H2分别是群G 的 r,s 阶子群，若(r,s)=1，证明H1H2=e.,练习7,证 H1H2H1，H1H2 H2.由Lagrange定理，|H1H2|整除r，也整除s.从而|H1H2|整
41、除 r与s 的最大公因子.因为(r,s)=1,从而|H1H2|=1.即 H1H2=e.,80,练习7,某些有用的数量结果：设a是群G元素，C为G的中心 N(a)=x|xG,xa=ax，|C|是|N(a)|和|G|的因子，|a|是|N(a)|和|G|的因子|H|=|xHx1|an|是|a|的因子 a2=e a=a1|a|=1,2,81,8设群G的运算表如表所示，问G是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群.,练习8,解 易见 a 为单位元.由于|G|=6,|b|=6,所以 b 为生成元.G=为循环群.|f|=6,因而 f 也是生成元|c|=3,|d|=2,|e|=3,因此 c,d,e不是生
42、成元.子群：=a,=c,e,a,=d,a,G.,82,证 a,bZ有ab,abZ,两个运算封闭.任取a,b,cZ(ab)c=(a+b1)c=(a+b1)+c1=a+b+c2 a(bc)=a(b+c1)=a+(b+c1)1=a+b+c2(ab)c=(a+bab)c=a+b+c(ab+ac+bc)+abc a(bc)=a(b+cbc)=a+b+c(ab+ac+bc)+abc 与可结合.,练习9,9.在整数环中定义和两个运算,a,bZ 有 ab=a+b1,ab=a+bab.证明构成环.,83,1为的单位元.2a为a关于的逆元.Z关于构成交换群.关于构成半群.关于 满足分配律.a(bc)=a(b+c1
43、)=2a+b+cabac1 ab)(ac)=2a+b+cabac1构成环.,练习9,9.在整数环中定义和两个运算,a,bZ 有 ab=a+b1,ab=a+bab.证明构成环.,84,10.判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不构成,说明理由.(1)A=a+bi|a,bQ,其中i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A=2z+1|zZ,运算为实数加法和乘法(3)A=2z|zZ,运算为实数加法和乘法(4)A=x|x0 xZ,运算为实数加法和乘法.(5),运算为实 数加法和乘法.,练习10,85,解(1)是环,是整环,也是域.(2)不是环,因为关于加法不封闭.(3)是环,不是整环和域,因为乘法没有么元.(4)不是环,因为正整数关于加法的负元不存在.(5)不是环,因为关于乘法不封闭.,练习10,86,总 结,主要内容:半群、独异点与群的定义群的基本性质子群的判别定理陪集的定义及其性质拉格朗日定理及其应用循环群的生成元和子群置换群环的定义与性质特殊的环,87,基本要求,判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群熟悉群的基本性质能够证明G的子集构成G的子群熟悉陪集的定义和性质熟悉拉格朗日定理及其推论，学习简单应用会求循环群的生成元及其子群熟悉n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群能判断给定代数系统是否为环和域,
