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1、理论力学多媒体教材,第六章 点的运动学,6-1 矢量法,第六章 点的运动学,6-2 直角坐标法,运动学引言,6-3 自然法,例题,运动学引言,静力学:研究了物体在力系作用下的平衡条件运动学:研究物体运动的几何性质的科学研究对象:点（质点），刚体目的：1.为学习动力学打基础 2.为研究分析机构的运动打基础参考体：研究一个物体的运动，要选取另一个物体作为参考，该物体称为参考体参考系:与参考体固连的坐标系称为参考系,点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具有独立应用意义。本章将研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的几何位置随时间变动的规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度等。,第六章 点
2、的运动学,1 矢量法,选取参考系上某确定点为坐标原点，自点向动点作矢量r，称为点相对原点的位置矢量，简称矢径。,动点在运动过程中，其矢径 r 的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。矢径 r 的矢端曲线就是动点的运动轨迹。,1、运动方程当动点运动时，矢径 r 随时间而变化，并且是时间的单值连续函数.,设点M经过t 达到点M,位移,2、动点的位移,动点的速度等于它的矢径r对时间的一阶导数，是矢量。,3、动点的速度,速度,速度方向：沿着矢径 r 的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。,速度单位:m/s量纲：LT-1,动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于
3、矢径对时间的二阶导数。是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。,加速度单位:m/s2量纲：LT-2,4、动点的加速度,动点的加速度矢 a 的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。,加速度的方向,速度矢端曲线：连接各速度矢量的端点，就构成了矢量 v 端点的连续曲线。,返回,2 直角坐标法,动点在任意瞬时的空间位置可以用它的三个直角坐标x、y、z表示。,1、运动方程,2、动点的速度,即：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。,速度v 的大小,速度v 的方向,3、动点加速度,则有,加速度在直角坐标轴上的投影等于动点 的速度在直角坐标轴上的投影对时间的一阶导数；等于动点的各对应坐
4、标对时间的二阶导数。,加速度 的大小,加速度的方向,返回,利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。,动点在轨迹上的位置由弧长确定，弧长s为代数量,称它为动点在轨迹上的弧坐标。,弧坐标(自然坐标系）设动点的轨迹为如图所示的曲线，则动点在轨迹上的位置可以这样确定：,在轨迹上任选一点为参考点，并设点的某一侧为正向;,6-3 自然法,1、运动方程,点沿轨迹由M到M，经过t 时间,其矢径有增量r。,速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数。,2、点的速度,当t0 时,速度的方向沿弧坐标的切线方向。,因此点的速度矢可写为：,建立一自然轴系,是切线方向的单位矢量
5、，n是法线方向的单位矢量，b是副法线方向的单位矢量,曲率定义为曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。曲率的倒数称为曲率半径。如曲率半径以 表示，则有：,在曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数。,所以：,3、点的切向加速度和法向加速度,两项矢量第一项是反映速度大小变化的加速度，记为a，称切向加速度；第二项是反映速度方向变化的加速度，记为a n，称法向加速度。,切向加速度反映点的速度值对时间的变化率。它的数值等于速度的代数值对时间的 一阶导数；或者等于弧坐标对时间的二阶导数，方向沿着轨迹切线。,法向加速度反映点的速度方向变化的快慢程度，它的大小等于速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法
6、线方向，指向曲率中心。,切向加速度表示速度大小的变化率，法向加速度表示速度方向的变化；v，a的符号相同时，点作加速运动v，a的符号相反时，点作减速运动,沿着副法线上加速度ab=0,全加速度大小为,全加速度方向为：,特殊情况，当a=常量，动点运动为匀变速曲线运动。,返回,实例,例：椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴O 转动，其端点C与规尺AB的中点以较链相接，而规尺A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所示。已知：OC=AC=BC=l,MC=a,=t,试求规尺上点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。,解：1）取直角坐标系xy 如图所示2）建立点M的运动方程,消去时间t，得轨迹方程,3）点的速度：,
7、4）点的加速度：,选题,例:已知点的运动方程为 x=2sin4t，y=2cos4t，z=4t，求点的运动轨迹的曲率半径,解：,点的速度为：,速度大小为：,点的加速度为：,全加速度大小为：,而点的切向加速度为：,求得：,选题,例：半径为r的轮子沿着直线轨道无滑动的滚动，设轮子转角为=t。求用直角坐标和弧坐标表示轮缘上一点M的 运动方程，并求该点的速度、切向加速度、和法向加速度。,解：取点M与直线轨道的接触点O为原点.建立直角坐标系Oxy,当轮子转过角时，轮子与直线的接触点为C，因为纯滚动，则,直角坐标系表示M 点的运动方程为,上式对时间求导，得M点的速度：,M点的速度大小为,M点的速度方向,M点的加速度为：,M点的加速度方向,得M点全加速度,而M点的切向加速度：,所以，M点的法向加速度为：,返回,
