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1、第11章 静定结构总论,11-2 零载法,11-3 空间杆件体系的几何构造分析,11-4 静定空间刚架,11-5 静定空间桁架,11-6 悬索结构,11-7 静定结构的一般性质,11-8 各种结构形式的受力特点,11-9 简支梁的包络图和绝对最大弯矩,11-10 位移影响线,11-11 小结,11-1 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系,11-1 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系,从计算自由度W的力学含义和几何含义看对偶关系W的几何含义：W=各部件的自由度总数-全部约束数,W的力学含义：（1）W0，平衡方程个数大于未知力个数，体系不能维持平衡，体系为几何可变；（2）W0，平衡方程个数小于
2、未知力个数，体系能维持平衡，体系有多余约束；（3）W=0，平衡方程个数等于未知力个数，方程组的系数行列式D D0，方程组有唯一解，体系几何不变且无多余约束 D=0，方程组无解或有无穷多解，体系几何可变且有多余约束,2.从W=0的一个简例看对偶关系,图(a)为一个W=0的对称体系，分析此体系几何构造分析和受力分析之间的对偶关系。,几何构造分析：0，体系几何不变且无多余约束；=0，体系为几何可变（瞬变）且有多余约束。,受力分析（如图(b)、(c)）：,得,0，D 0，平衡方程组有唯一解=0，D=0，F1-F2=Fx，Fy=0，无解或解不唯一,1.零载法及其应用举例,零载法：对于W=0的体系 如果几
3、何不变，在荷载为零时，它的全部内力都为零；如果几何可变，在荷载为零时，它的某些内力可不为零。,图(a)所示体系，W=0，几何不变；荷载为零，全部支座反力都为零。,图(b)所示体系，W=0，几何可变；荷载为零，水平支座反力Fx可以不为零。,自内力：荷载为零而内力不全为零的内力状态。,11-2 零载法,例11-1 试用零载法检验图(a)所示桁架的几何不变性。,解：W=210-20=0，可用零载法，得,由结点A、B、C、G的平衡条件得,余下部分如图(b)，FNEI=0，设：FNDH=X可见：X为任一值时，各结点都能保持平衡。即：桁架可以有自内力存在，是几何可变体系。,例11-2 试用零载法检验图(a
4、)所示桁架的几何不变性。,解：W=0，可用零载法，支座反力为零，且,余下部分如图(b)，设：FNAB=X(为初参数)按B、C、D、E、F的次序应用结点法：,结点A的隔离体如图(c)，求得X=0。即各杆轴力全部为零，不存在自内力，体系几何不变。初参数法或通路法。,2.从虚功原理角度看零载法,图(a)所示两体系W=0,在零荷载作用下，应用虚功原理求约束力FX。得到如图(b)的体系,虚功方程为,所有约束力都应为零，体系中不存在自内力状态。,FX可为任意值，体系中存在自内力状态。,在W=0的体系中：自内力状态能(否)存在是体系 几何可(不)变的标志。,空间结构：杆件轴线不在同一平面内的结构。,1.空间
5、几何不变体系的组成规律,（1）一点与一刚体之间的联接方式 一点在空间内有三个自由度，即沿三个坐标轴方向的移动。,图(a)中点O由三根不在同一平面内的链杆固定在基础上，结点O在空间的位置便固定了。,图(b)中三根链杆在同一平面内，结点O沿平面AOB的法线方向可以移动。体系有一个自由度，有一个多余约束。,11-3 空间杆件体系的几何构造分析,规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连，且三链杆不在同 一平面内，则组成几何不变的整体，且无多余约束。,如图，当刚片ABC是一平面铰接三角形时，与平面外一点O用三链杆按规律1联结成一个铰接四面体。,即一个铰接四面体的形状是几何不变，且无多余约束的。,（2）两
6、个刚体之间的联接方式 一个刚体在空间内有六个自由度，即沿三个坐标轴方向的移动和绕三个坐标轴的转动。即将一刚体固定到另一刚体(基础)上需要六根链杆。,图(a)中六根支杆不交于同一直线，体系无多余约束且几何不变。,图(b)中六根支杆交于同一直线AB，刚体可绕直线AB转动，体系是可变的。,图(c)中支杆4、5、6互相平行，三杆在无穷远处交于一点，体系是可变的。,规律2 一刚体与另一刚体(基础)用六根链杆相联，如链杆中有三 根交于一点而不在同一平面内，当六根链杆不交于同一直 线时，则组成几何不变的整体，且无多余约束。,图(a)中六根支杆不交于同一直线，体系是几何不变体系。,图(b)中1、3、5、6四根
7、支杆互相平行，刚体可绕直线BB转动，体系是可变的。,图(c)中2、4、5、6四根支杆位于同一平面内，六杆支杆都交于直线BD，体系是可变的。,规律3 一刚体与另一刚体(基础)用六根链杆相联，如链杆中有三 根位于同一平面内而不交于一点，当六根链杆不交于同 一直线时，则组成几何不变的整体，且无多余约束。,例11-3 试分析图示体系的几何构造。,解 去掉六根支杆，分析体系内几何构造,ABCD是一个铰接四面体，在此基础上：按规律1由BE、CE、DE联结结点E，构成一个大刚体；重复应用规律1，依次联结结点F、G、H，构成几何不变且无多余约束的整体。,由规律2，体系是无多余约束的几何不变体系。,2.空间铰接
8、体系的计算自由度W,体系的结点总数：j链杆与支杆的总数：b计算自由度W为：W=3j-b,若W0：体系是几何可变的；若W0：体系有多余约束；若W=0：体系可能是几何不变且无多余约束，也可能是几何可变且有多余约束。,例11-4 计算例11-3 所示体系的计算自由度W。,解：j=8，b=24，W=3j-b=0,1 内力计算 空间结构杆件轴线与荷载不 在同一平面内，如图所示。,杆件截面一般有六个内力分量，如图所示。,FN 轴力，沿杆件轴线方向作用；FQ1、FQ2剪力，分别沿截面两个主轴方向作用；Mt 扭矩，绕杆件轴线旋转的力偶矩；M1、M2 弯矩，分别绕截面两个主轴旋转的力偶矩。,11-4 静定空间刚
9、架,作图示空间刚架的内力图（设上边受拉为正）。,（1）求杆BC的杆端内力，隔离体如图(a)。,（2）求杆AB的杆端B内力，隔离体如图(b)。,求杆AB的杆端A内力，隔离体如图(c)。,（3）作内力图,图(a)为弯矩图，杆AB为Mx图，杆BC为Mz图。,图(b)为扭矩图，要注明正负号。,图(c)为剪力图，图中箭头为杆轴线的正方向。各杆在正面上的剪力均指向下边，因而剪力图画在杆件下边。,例11-5 图(a)所示刚架承受空间平衡力系，试作内力图。,解：利用对称性，只需求半结构ABCD的内力,（1）作弯矩图,杆AB的A端 B端,杆BC的B端 C端,杆CD的C端 D端,（2）作扭矩图,杆AB,杆AC,杆
10、CD,（3）作剪力图,剪力图画在杆件正面上剪力指向的一侧,位移计算：只考虑空间杆绕截面两个主轴的弯矩和绕杆轴 线的扭矩影响。计算公式为：,例11-6 试求图(a)所示刚架C点的竖向位移。各杆EI和GIt为常数。,解 虚设单位荷载如图(b)，两种状态内力图如(c)、(d)、(e)、(f),1 空间桁架的应用 网架结构、塔架、起重机构架等。,网架结构,广州电视塔,11-5 静定空间桁架,空间桁架的几何构造,空间桁架由结点和链杆组成：j结点数；b链杆和支杆的总数空间桁架的计算自由度W为：W=3j-b体系可变：W0体系几何不变且无多余约束：W=0,组成几何不变空间桁架的最简单规则：从一个平面三角形(或
11、基础)开始，依次用三根不在同一平面内的链杆固定一个新结点。如图(a)、(b)，都是按A，B，C的次序依次增加结点组成的。,3.结点法和截面法,结点法截取结点为隔离体，其三个平衡条件：,计算内力时，常将杆件的轴力FN分解为沿x、y、z三个方向的分力Fx、Fy、Fz。如图所示：,设杆件AB长为l，其在x、y、z三个方向的投影为lx、ly、lz，则存在下列关系：,例11-7 试求图(a)所示桁架各杆的轴力。,解：求各杆长 lAD=lBD=4.47m lCD=5m,取结点D为隔离体如图(b)所示,可得,可得,例11-8 如图所示一锥形桁架，底面ABCD为长方形，荷载FP与 a边平行。试求反力及各杆轴力
12、。,解 求支反力,结点C,结点B,结点D,结点A,杆件AE、AD、DE与FP在平面内平衡。,特殊情况,（1）除FN以外，其余各力均在同一平面内，则：FN=0，如图(a)。,（2）不在同一平面内的三个力平衡，则：FN1=FN2=FN3=0，如图(b)。,（3）除在一直线上两个方向相反的力，其余 各力都在同一平面内，则：FN=FP，如图(c)。,图示结构为支撑贮灌的塔架，承受竖向荷载和水平荷载。根据叠加原理，可将荷载分开求解。以荷载FP1为例如图所示。,结点法求解结点6：除杆61外，其余三杆在一平面内，FN61=0结点5：同理，FN56=0依次取结点4、3、2：FN45=FN34=FN23=0依次
13、取结点6、5、4、3：各杆都是零杆结点1：FN1F=0平面12BA内的杆件有内力，可按平面桁架计算。,4.分解成平面桁架法,图(a)为一空间桁架，将作用在E点的荷载FP沿EH、EF、EA三个方向分解为FP1、FP2、FP3三个分力，分别计算每个分力产生的内力并叠加既得所要解答。,FP1只使平面桁架ADHE受力，其余各杆轴力为零。如图(b)：,FP2只使平面桁架ABEF受力，其余各杆轴力为零。如图(c)：,FP3只使杆AE受压，其余各杆轴力为零。如图(d)：,1悬索结构的特点 由一系列受拉的索作为主要承重构件，并悬挂在相应的支承上的结构。只受轴向拉力作用。,悬索结构的形式：单层索系、双层索系、鞍
14、形索网、斜拉式 屋盖索梁体系等。,单层悬索体系：一系列按一定规律布置的单根悬索组成。,平行布置,辐射布置,网状布置,11-6 悬索结构,2.单根悬索的计算方法,基本假设：索是理想柔性的，不能受压，不能受弯，只能受拉。索在使用阶段时应力和应变符合胡克定律(线性关系)。,图(a)为一集中荷载作用下支座等高的悬索，图(b)为同跨度的简支梁，可得：,悬索任一截面D的弯矩为零，则有,悬索的平衡形式与三铰拱的合理轴线相同，不同的是：拱：水平反力是向内的推力，向上突起的形状，受压力；悬索：水平反力是向外的拉力，下垂的形状，受拉力。,图(a)所示单索的曲线方程为z=z(x)。推导悬索在图示荷载作用下的平衡方程
15、。取微分单元如图(b)。,由平衡条件,若悬索只承受竖向荷载作用，qx=0，则FH=a(常量)。平衡方程为：,qz、qx指向与坐标轴一致时为正,索的张力FT的水平分量为FH，竖向分量V=FHtan。,例11-9 图中单索承受沿跨度均匀分布的竖向荷载，试求索的张力。,解 qz=q，qx=0，由(a)得：,积分得,求得,边界条件,已知,代入(b)得,代回(b),c=0时,索各点的张力,在支点处,几何构造：静定结构无多余约束，超静定结构有多余约束；静力平衡：静定结构由平衡条件可确定唯一解，超静定结构不 能，需考虑变形条件可确定唯一解。,1.温度改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力,支座
16、B下沉引起刚体位移不引起内力,杆AC稍有缩短拱形状略有改变不引起内力,杆AB温度改变产生弯曲变形不引起内力,11-7 静定结构的一般性质,静定结构与超静定结构的差别,2.静定结构的局部平衡特性,图(a)中梁AB是几何不变部分，它自身与荷载维持平衡，因而梁BC无内力。,图(b)中杆AB承受任意平衡力系时，只有杆AB产生内力，其余各杆都是零杆。,3.静定结构的荷载等效性,图(a)中的荷载FP与图(b)中的荷载是等效荷载。二者只有杆AB的内力不同，其余各杆的内力都相同。,由局部平衡特性有：(a)内力=(b)内力+(c)内力,4.静定结构的构造变换特性,图(a)中杆AB改为一个小桁架如图(b)。,只是
17、AB的内力有改变，其余部分的内力没变化。如图(c)、(d)所示。,当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。,结构形式的分类无推力结构：梁、梁式桁架有推力结构：三铰拱、三铰刚架、拱式桁架和某些组合结构,杆件的分类链杆：桁架中的各杆，组合结构中的某些杆件梁式杆：多跨梁和刚架中的各杆，组合结构中的某些杆件,各种结构形式的特点（1）静定多跨梁和伸臂梁：利用杆端的负弯矩可以减小跨 中的正弯矩。（2）有推力结构：利用水平推力的作用可以减少弯矩峰值。（3）合理的结构形式：结构处于合理的受力状态-无弯矩状态。,11-8 各种结构形式的受力特点,合理拱轴线,相同跨度、相同荷载，不同结构
18、的内力比较如图。,内力包络图：连接各截面内力最大值的曲线。,图(a)为某截面C的弯矩影响线，当荷载作用于C时，MC为最大值。由此，荷载由A向B 移动时，算出荷载作用点的截面弯矩，即可得到弯矩包络图。如图(b)所示。,11-9 简支梁的包络图和绝对最大弯矩,绝对最大弯矩：弯矩包络图中最高的数据，梁内可能出现的 弯矩最大值。,图示简支梁上移动荷载的数量和间距不变，试求梁内所能发生的绝对最大弯矩。FR为梁上荷载的合力。,分析得，绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载的作用点。试取一个集中荷载FPcr，研究其作用点的弯矩何时成为最大，如图。,FPcr作用点的弯矩为,Mcr为FPcr左面的荷载对其作用点的力
19、矩之和，为常量。,由,得,例11-10 试求图示吊车梁的绝对最大弯矩。,解：绝对最大弯矩发生在FP2或FP3下面的截面，FP2下面的最大弯矩如图(a)。,FP3下面的最大弯矩如图(b)。,绝对最大弯矩为578kNm。,位移影响线：设有一方向不变的单位力在结构上移动，结构上拟 求位移K影响系数KP的变化图形。如图(a)。,施加与拟求位移K相应的荷载FK=1，与FP=1相应的位移为PK，由位移互等定理：,即K影响线与FK=1时结构的位移图(PK)完全相同。,求位移影响线的问题可以转变为求在固定单位荷载作用下结构位移图的问题,11-10 位移影响线,求图(a)所示简支梁端转角的影响线。,利用位移互等定理：,P为作用下梁的竖向位移图，如图(b)。由图乘法:,11-11 小结,1 几何构造分析与受力分析的联系,（1）隔离体截取顺序的优选：借鉴几何构造分析的知识，用以指导受力分析方法的优选。（2）零载法：借用受力分析方法解决几何构造分析问题。,2 与静定结构各种特性相贯通的基本特性,静定结构的四条性质都是由解答的存在性和唯一性派生出来的。,3 评价各种结构形式受力特性的一个基本观点,（1）评价结构形式的合理性要从受力、施工、经济等方面综合考虑。（2）从受力特点看，基本观点是材尽其用。,11-11 小结,4 增选和提高,本章的内容已超出结构力学课程教学基本要求，可作为提高和增选的内容。,
