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1、 多项式矩阵描述的形式,PMD和其他描述的关系,11.1 多项式矩阵描述,11.2 多项式矩阵描述的状态空间实现,11.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,11.4 传输零点和解耦零点,PMD的极点,PMD的传输零点,第11章 传递函数矩阵的状态空间实现,不可简约PMD,PMD的解耦零点,本章主要内容,11.5 系统矩阵,系统矩阵的概念,增广系统矩阵,11.6 严格系统等价,严格系统等价的定义,严格系统等价变换的性质,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,一、PMD定义,PMD(polynomial matrix descriptions)是对线性时不变系统引入的具有更广
2、普遍性的一类描述。,设一系统输入u为p维，输出y为q维，描述内部状态的向量 为m维。,为系统的PMD。,W阵反映输入-输出直接关系，若G(s)为严真，则W(s)=0。,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,例：,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,二、假设,现实世界中极大多数满足假设。,为非奇异，存在。,三、PMD和其他描述的关系,1、与传递函数矩阵的关系,2、与状态空间描述的关系,假定，求拉氏变换,3、与右MFD的关系,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,3、与左MFD的关系,四、不可简约PMD,1、定义,如果PMD满足 左互质，右互质，则 为不可简约PMD。,如果PMD为可简约，则 非左互质
3、或（且）非右互质。,2、由可简约PMD导出不可简约PMD,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,（1）假定 右互质，非左互质,由,左乘,右互质，其最大右公因子为单模阵，为 中“约去”导出的结果，故 仍为右互质。,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,（2）假定 非右互质，左互质,令,不可简约MFD,11.1 多项式矩阵描述（PMD）,（3）假定 非右互质，非左互质,令,不可简约MFD,由,11.2 PMD的状态空间实现,一、PMD实现的定义,如果,成立,称状态空间描述为PMD的一个实现。,具有强不惟一性，即实现结果不惟一，实现维数也不惟一。,二、PMD实现的算法,给定，求，观测器形实现。,1、给定
4、PMD，判断内核，是否为行既约。,（1）若 行既约，令，。,11.2 PMD的状态空间实现,（2）若 非行既约，找出单模阵，使 为行既约。,和 具有等同实现。,2、找出 的观测器形实现,为严真部分，为多项式矩阵。,3、对严真左MFD，寻找观测器形实现,11.2 PMD的状态空间实现,4、对整个MFD,不一定严真，,为实现,11.2 PMD的状态空间实现,例：,解：,（2）找出 的观测器形实现,11.2 PMD的状态空间实现,（3）对严真，寻找 观测器形实现,11.2 PMD的状态空间实现,（3）对严真，寻找 观测器形实现,11.2 PMD的状态空间实现,（4）对整个MFD,11.2 PMD的状
5、态空间实现,验算：,11.2 PMD的状态空间实现,三、PMD的最小实现,给定MFD 当且仅当PMD为不可简约，其对应的维数为n的实现为最小实现。,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,给定MFD，状态空间描述,结论：,证明：整体思路,PBH判据,（1）行既约性判断,是行既约，令,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,不妨假设 观测器形实现,考虑到 的任意性,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,行满秩,左互质,为观测器形实现,右互质,存在多项式矩阵 和，使 为单模阵，且成立,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,
6、单模阵,单模阵,单模阵,由,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,（2）左乘单模阵,得,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,（3）取,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,行满秩,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,取,11.3 PMD的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性,列满秩,11.4 传输零点和解耦零点,PMD的极点零点分析，将有助于更深刻地揭示极点零点与系统结构特性之间的关系。,一、PMD的极点,给定MFD，其传递函数矩阵,定义：PMD的极点=G(s)的极点,表 为PMD的最小实现,PMD的极点=的
7、根,为不可简约,PMD的极点=的根,为不可简约,PMD的极点=的根,11.4 传输零点和解耦零点,PMD 为不可简约,PMD的极点=的根或使P(s)降秩的s值。,二、PMD的传输零点,PMD的传输零点定义为G(s)的零点。传输零点一是强调区别于解耦零点，二是突出其内部含义。,表 为PMD的最小实现,PMD的传输零点=使 降秩的s值,为不可简约,PMD的传输零点=使 降秩的s值,11.4 传输零点和解耦零点,三、PMD的解耦零点,为可简约,的根包含同时使 降秩的s值,1、若 左互质，非右互质,PMD的输出解耦零点=的根=使 降秩的s值,PMD的输出解耦零点=A的不能观测模=的特征值=使 降秩的s
8、值=使 降秩的s值,=使 降秩的s值,11.4 传输零点和解耦零点,2、若 非左互质，右互质,PMD的输入解耦零点=的根=使 降秩的s值,PMD的输入解耦零点=A的不能控模=的特征值=使 降秩的s值=使 降秩的s值=使 降秩的s值,11.4 传输零点和解耦零点,3、广义极点=G(s)的极点+解耦零点,广义零点=G(s)的零点+解耦零点,当G(s)非奇异，使 降秩的s值=PMD的传输零点+解耦零点,11.5 系统矩阵,系统矩阵的基本特点是以集中和简洁的形式表征系统的所有结构性质。,一、系统矩阵,1、定义,PMD为,表为方程形式，有,定义 为系统矩阵。,2、其他描述的系统矩阵,（1）状态空间描述,
9、11.5 系统矩阵,（2）右MFD,（3）左MFD,3、系统矩阵的属性,（1）S(s)可以判断系统的能控性，能观测性，不可简约性。,（2）计算PMD的极点，传输零点，解耦零点。,极点=使S(s)左上方 块矩阵降秩的s值。,传输零点=使S(s)降秩的s值。,输入解耦零点=使S(s)前m行降秩的s值。,输出解耦零点=使S(s)前m列降秩的s值。,11.5 系统矩阵,二、增广系统矩阵,1、定义,称 为 的增广系统矩阵。,2、和 之间的关系,（1）和 的简约性质等价。,（2）,即 和 的能控性、能观测性等价。,11.5 系统矩阵,（3）当 不可简约，的极点、传输零点与 的相同。,（4）当 可简约，的解
10、耦零点与 的相同。,（5）等同的传递函数矩阵。,11.6 严格系统等价,一、定义,两个不同PMD，若 与 维数不同，通过增广矩阵使其相同。,若满足,则称 严格系统等价。,属性：,（1）若，则,（2）,（3）若，则,11.6 严格系统等价,二、性质,1、若，则（1）和 具有相同的不变多项式；（2）,证明：,（1）由,（2）,11.6 严格系统等价,2、对于同一个系统,若，则广义状态 和 之间成立关系式：,3、给定两个PMD对应的 和，令 和 分别为 和 的属于能控类和（或）能观测类实现的任意两个实现。,若，则,11.6 严格系统等价,4、系统的各种结构特性在严格系统等价下是不变的。,互质性，能控
11、性，能观测性,5、两个状态空间描述代数等价的充要条件是,证明：必要性：已知代数等价，欲证严格系统等价。,充分性：已知严格系统等价，欲证代数等价。,（1）由，有,11.6 严格系统等价,不一定严真,T为常阵,令,（2）,11.6 严格系统等价,等式左边为严真,常数矩阵,只需证明T可逆,由,一般为非严真,已证明,11.6 严格系统等价,左边为有理分式矩阵，右边为多项式矩阵,T可逆,（3）由严格系统等价关系式，导出,代入,11.6 严格系统等价,左边为多项式矩阵，右边为有理分式矩阵,（4）由,11.6 严格系统等价,6、传递函数矩阵G(s)的所有不可简约MFD均为严格系统等价,证明：只限证明右不可简约MFD和左不可简约MFD之间为严格系统等价。,存在单模阵，使成立,建立关系式,单模阵,右MFD的增广系统矩阵,左MFD的增广系统矩阵,11.6 严格系统等价,由 得关系式,单模阵,右MFD的增广系统矩阵,左MFD的增广系统矩阵,单模阵,增广系统矩阵严格系统等价,系统矩阵严格系统等价,再见！,第10章 传递函数矩阵的状态空间实现,
