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1、2023年1月16日星期一,第3章 扭转,主讲 徐 元,2023/1/16,第3章 扭转,3-1 扭转的概念和实例,3-3 纯剪切,3-2 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图,3-4 圆轴扭转时的应力,3-5 圆轴扭转时的变形,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,3-7 矩形截面杆扭转理论简介,2023/1/16,工程实例：汽车传动轴,3-1 扭转的概念和实例,传动轴受扭,2023/1/16,工程实例：汽车方向盘,2023/1/16,工程实例：齿轮传动轴,工程实例：螺栓、螺母,2023/1/16,本章研究杆件发生扭转变形，其它变形可忽略的情况，以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。研究的问
2、题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,2023/1/16,变形特点：1.杆件各横截面绕轴线作相对转动；2.杆表面的纵向线倾斜了一个角度。,受力特点：圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面,内的外力偶M作用。,Me,Me,2023/1/16,3-2 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图,1.传动轴的外力偶矩,当传动轴稳定转动时，外力偶在单位时间内所作之功等于外力偶之矩M 与相应角速度的乘积。,主动轮,从动轮,从动轮,2023/1/16,从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，,注意,转向,2023/1/16,2.扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面
3、法来计算。,T=M,保留左端,保留右端,2023/1/16,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),负(-),2023/1/16,例题3-1 已知：,PA=36KW，PB=PC=11KW，PD=14KW。试作轴的扭矩图。,解：1.计算外力偶矩,2023/1/16,2.计算各段的扭矩,BC段内：,CA段内：,AD段内：,2023/1/16,2.计算各段的扭矩,外力偶矩投影箭头向上为正,外力偶矩投影箭头向下为负。,保留右端符号相反,2023/1/16,3.作扭矩图,由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为700N.m。,2023/1/16,思考：如果将从动轮D
4、 与C 的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？,第一种方案,第二种方案,2023/1/16,第二种方案,第一种方案,那个方案好?,2023/1/16,试求各段的扭矩，画扭矩图,2023/1/16,3-3 纯剪切,试验中观察到：(1)当变形很小时，各圆周线的大小与间距不变，仅绕轴线作相对旋转；(2)各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大小的平行四边形。,1.薄壁圆管扭转时的切应力,2023/1/16,(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同，横截面上无正应力。(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。,横截面上的应力：,2023/1/16,1.薄壁圆管扭
5、转时的切应力,2023/1/16,2.切应力互等定理,微小单元体上的力偶平衡,即,结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则均指向或均离开该交线。切应力互等定理,2023/1/16,纯剪切的概念 如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切应力，而在另一对平面上没有任何应力，则该单元体处于纯剪切状态。,2023/1/16,3.剪切胡克定律,在切应力的作用下,微体发生了直角改变，这种角变量称为切应变。,扭转试验表明:当切应力不超过材料的剪切比例极限 时,切应力与切应变成正比,引入比例系数G,则,切变模量,其值随材料而异,剪切虎克定律,钢材的切变模量的
6、约值为：G=80GPa,2023/1/16,3-4 圆杆扭转的应力,一.横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变 关系,(问题的物理方面),内力与应力 关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),2023/1/16,2023/1/16,1.表面变形情况：各圆周线的大小、形状和间距不变，仅绕轴线作相对转动；(b)纵向线倾斜了一个角度g。平面假设变形后横截面仍保持为平面。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。,(1)变形几何关系,一.圆柱扭转横截面上的应力,2023/1/16,2.切应变随点的位
7、置的变化规律,根据变形后横截面任为平面、半径任为直线的假设，求矩圆心为 处的切应变：,2023/1/16,2023/1/16,式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。,可见，在横截面的同一半径r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,2023/1/16,(2)物理关系,由剪切胡克定律 t=Gg 知,此式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化。,2023/1/16,(3)静力学方面,其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。,切应力计算公式,以 代入上式得：,（3.8）,2023/1/16,抗扭截面系数，
8、单位为m3,横截面周边上各点处(r=R)的最大切应力为,极惯性矩,扭矩,二.最大扭转切应力,2023/1/16,实心圆截面,二.圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,2023/1/16,思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？,空心圆截面,2023/1/16,解：（1）内力分析 AB段:BC段:,2,2023/1/16,（2）应力分析,2023/1/16,低碳钢扭转破坏断口,2023/1/16,铸铁扭转破坏断口,2023/1/16,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,2023/1/16,三、强度条件,强度校核,设计截面,确定许可载
9、荷,2023/1/16,补充例题 图示阶梯空心圆轴，MA=150N.m,MB=50N.m，MC=100N.m,t=90 MPa。试校核该轴的强度。,解：(1)求AB与BC段的扭矩,AB段：T1=MA=150 Nm,BC段：T2=Mc=100 Nm,(2)强度校核,故该轴的扭转强度符合要求。,试根据强度要求确定轴的直径。,解:(1)求外力矩,(2)作扭矩图,(3)强度校核,故有,可见,按强度要求可取。,2023/1/16,例3-3 汽车传动轴。T=1.5 kN.m，=60 MPa，无缝钢管的D=90mm,d=85mm,试校核轴的强度。若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较实心轴和空心轴的重
10、量。,解：(1)空心轴强度校核,故轴满足强度条件。,2023/1/16,(2)确定实心与空心圆轴的重量比,由此求出,可见：空心轴远比实心轴轻。,2023/1/16,3-5 圆杆扭转时的变形,1.扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j 来度量。,2023/1/16,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为。可知，杆的相距 的两横截面之间的相对扭转角j为,2023/1/16,2.刚度条件,式中的许可单位长度扭转角 的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
11、,对于精密机器的轴 0.150.30()/m；,对于一般的传动轴 2()/m。,2023/1/16,例3-4 图示例3.2 钢制实心圆截面轴。,已知：,试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角。,解：1、按刚度条件计算直径,选取,2023/1/16,2、各段轴的两个端面间的相对扭转角：,1,2,3,BC,2023/1/16,3、齿轮3 相对于齿轮1的扭转角,2023/1/16,3-6 等直圆杆扭转时的应变能（选讲）,纯剪切应力状态下的应变能密度,计算外力所作功dW 使左侧面不动，右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功。,纯剪切应力状态的单元体,2023/1/16,当材料在线弹性范围内工
12、作时(t tp，见图b)，有,纯剪切应力状态的单元体,2023/1/16,单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上外力所作功dW，即dV=dW。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为,由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为,2023/1/16,在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为,等直圆杆在扭转时积蓄的应变能,由 可知，亦有,2023/1/16,当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为,应变能亦可如下求得：,2023/1/16,例题3-7 图示AB、CD 为等直圆杆，扭转刚度均为GIp，BC 为刚性块，D 截面处作用有外
13、力偶矩Me。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D 截面的扭转角 jD。,2023/1/16,解:1.静力平衡求扭矩,2.杆系应变能,其转向与Me相同。,3.求D 截面的扭转角 jD,2023/1/16,3-8 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,1.等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平面而发生翘曲。平面假设不再成立。,自由扭转(纯扭转)等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无正应力。,2023/1/16,约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除切应力外还有附加的正应力。,P77,表3.1 矩形截面扭转时的因数,2023/1/16,横截面上长边中点处的最大切应力,横截面上短边中点处的切应力：t=ntmax,单位长度扭转角：,式中 也称为杆件的抗扭刚度。,2.矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,
