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1、3.1 有限元法的解题思想,有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元的等效结点载荷【结构离散】；在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性【单元特性析】；然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知数的方程组【整体分析】，求解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数求出近似解【求解】。,构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。（1）节点（Node）：
2、节点是构成有限元系统的基本对象，也就是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理意义的自由度信息。（2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率和精度。（3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度，不同
3、单元上的节点具有不同的自由度。,3.1.1 有限元法的基本要素,结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有限单元法解解题的重要步骤。3.3.1 结构离散化的主要任务是：（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元；（2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替；（3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；3.3.2 单元类型 单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。,3.1.2 结构离散化,设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问题中设计
4、的单元大致可以分为：（1）自然离散问题单元；自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递负荷。,备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或XYZ：（1）描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆单元LINK每个节点只有平动自由度。,备注：梁单元BEAM通常要承受横向载荷的作用，这种荷载会引起弯曲。框架是各构件用焊接或螺栓刚接起来的结构，因此每
5、个节点有平动位移和转角。框架单元也需要两个参照坐标系，即整体坐标系和单元坐标系。,平面杆系结构,空间杆系结构,（2）平面问题单元；在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点曲边四边形单元，如图所示,（3）轴对称问题单元；对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如图所示,（4）空间问题单元 在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六面体单元。如4结点四面体单元、8结点六面体单元、20结
6、点六面体单元，如图所示。,用单元划分有限元网格应遵循的原则任一单元的顶点必须同时也是相邻单元的顶点，而不能是相邻单元的内点；单元之间互不重叠，也没有间隙。同一单元的各边长（或各顶角）不应相差太大，亦即单元划分中不应出现太大的钝角或过小的锐角。否则在计算中会出现较大的误差。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致，当划分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定。在保证精度的前提下，力求采用较少的单元。为此，当划分单元：应充分利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可
7、以分粗一些；对于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单元，进行第二次计算，或者采用子结构法；,（4）不要把不同材料特性的区域划在同一单元里。如平面问题中物体厚度突变位置；不同材料的过渡结合区等。3.3.4 施加约束 任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件
8、。如下图31所示，对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0,3.3.5 非结点载荷等效移置 在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。单元非节点载荷等效移置与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。,整个结构的非结点载荷的移置按单元进行，即将各单元所受的非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点
9、处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等。单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就简化成一种最简单的移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法只适用于具
10、有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍,3.1.3 单元特性分析,在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式，从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形式表示为：Fe=Kee 注：角标e表示单元element之意式中：F单元结点载荷列阵；K单元刚度矩阵；单元结点位移列阵 单元刚度矩阵K反映了单元结点力与单元结
11、点位移之间的特性关系。不难看出，建立单元刚度矩阵K是单元分析的核心，也是单元分析的主要任务，事实上也是整个有限元分析中的关键性步骤。,选择单元位移模式 在用有限元法进行结构分析中，就研究方法而言一般有三种。第一种是选择结点位移作为基本未知量，在选择适当的位移函数的基础上，进行单元的力学特性分析，进而建立单元的刚度矩阵和总体刚度矩阵，然后解方程组求出结点位移，再由结点位移求得应力，这种方法称为位移法；第二种是选择结点力作为基本未知量，解出结点力后，再计算结点位移和应力，这种方法称为力法；第三种是取一部分结点位移和一部分结点力作为基本位置，称为混合法。由于位移法比较简单，易于实现计算自动化，所以大
12、多采用位移法。当采用位移法时，物体和结构离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由结点位移来表示。对单元中位移,的分布一般采用能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限法中我们将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析时又必须用到，为此可以事先假定一个函数，人为规定位移分量为坐标的某种函数。为保证选择的位移函数使有限元收敛于真实解，位移函数必须满足以下4个条件(a)位移函数必须包含单元的常量应变：弹性体的应变可以分为与坐标无关的常量应变及随坐标变化的当量应变。当单元
13、尺寸逐渐缩小时，单元的应变将趋于常量，因此在位移函数中必须包含有常量应变。(b)位移函数必须包含单元的刚体位移。所谓刚体位移是指弹性体不发生应变时的位移，这是弹性体可能发生的一种基本的位移。因此，单元的位移函数既要能够描述单元自身的应变，又要能够描述单元的刚体位移。,(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。(d)位移函数应使相邻单元间的位移协调，即单元边界的连续性。即在交界面上满足变形协调条件，变形后既不开裂，也不重叠，从而保证了整个结构的位移连续。上述4个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件，即当结构的单元划分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解。以这样的位移函数构
14、成的单元称为协调元。在有限元法中，有些单元的位移函数只满足前3项条件，并不满足单元边界连续性要求，实践证明，它们的有限元解也可能收敛于真实解，因此前3项条件是有限元解收敛于真实解的必要条件。显然假定的位移函数它在结点上的值应等于结点位移；,单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐标表示为：,很显然，3节点三角形单元内任意一点的位移是坐标变量的线性函数。有
15、限项多项式的选取得原则应考虑以下几点：（1）位移函数的项数与单元节点数相同，即广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等。如3结点三角形单元有6个自由度（结点位移），因此位移函数有三项，广义坐标个数应取6个，即两个方向的位移u,v各取三项多项式。,（2）选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中的常数项和一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变。（3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单元每边具有两个端结点的应保证一次完全多项式；每边有3个结点的应取二次完全多项式。若由于项
16、数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。,分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、结点数目、位置及其含义，找出单元结点力和结点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要用到弹性力学的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。单元刚度矩阵的推导是单元力学分析的主要工作。单元刚度矩阵的导出方法可以采用：1）直接刚度法 对于简单的构件（如质量弹簧系统、杆、梁等，可以利用材料力学或结构力学的已知结果，直接求出刚度矩阵的每一个元素，这种方法称为直接刚度法2）能量原理法 当用位移型有限元法进行结构分
17、析时，一般采用虚功原理法 或最小势能原理注：力型有限元法一般则采用余虚功原理或最小余能原理。对于非结构问题，如流场、温度场、电磁场等，一般均采用变分法来分析单元特性。,单元组集即总体分析，只有通过总体分析建立的联立方程组才能求解出各节点未知参数。单元组集的方法是利用结构力的平衡条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程，即整体刚度方程。,3.1.4 单元组集,根据方程组的具体特点选择合适的计算方法，解有限元方程(2.1)得出结构结点位移。进而通过各单元结点位移可求出单元内任意一点的位移、应变、应力。通过上述分析可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是为了进行单元分析，
18、合则是为了对整体结构进行综合分析。只有通过整体有限元方程才能求解出全部结点位移。,3.1.5 解结构有限元方程，求解未知结点位移,由于有限元法用于杆系，具有十分清晰的物理意义，所以，为了便于说明有限元解题的基本思路与过程，又能说明刚度矩阵的概念，本例以杆系结构作为分析实例。图32所示的平面桁架结构(1)结构离散作用在结点上的外力及桁架内各杆的位移都在平面内。当用有限元法分析杆系结构时，需要将复杂的结构离散化，通常采用自然离散的形式，也即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架结构的杆件只承受轴向力），以传递负荷。,图32平面桁架结构,3.2 杆系结构有限元
19、解题过程演示实例,(2)单元的特性进行分析 即建立单元有限元方程从图32中，任取一个杆单元表示为图33，令其结点为i、j,Fjx uj,VjFjy,Fix ui,ViFiy,i,j,图33 杆单元,图34刚度系数的物理概念,杆单元的刚度矩阵可简单求出。由于桁架结构的杆件只承受轴向力Fa和轴向位移a，,由上述分析可见，单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力，与单向弹簧拉伸刚度不同的是当存在一个单位位移时，杆单元所产生的结点力不是1个，而是4个结点力分量。任何1个结点力分量都是由4个结点位移分量变化所产生的综合结果。可以看出，单元刚度矩阵是实方阵（实际上刚度矩阵是对称方阵），阶数单元结点数单
20、个结点的自由度数。如杆单元的单元刚度矩阵阶数224，平面三角形单元的单元刚度矩阵阶数236。(3)结构有限元方程的建立 将杆单元组成结构，列出整体刚度方程，即按单元建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。把图31所示的桁架结构自然离散成如图34所示各个单元，并将各单元结点力均注在图上。根据变形协调条件，即在相互联接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如4号公共,结点，同时属于、单元，其位移u4=u4=u4=u4，v4=v4=v4=v4,对于单元的刚度方程，由杆单元通用方程（31），并将i,j替换为1，4，可以直接写出其单元刚度方程,类似地可以写出单元、的刚度方程,单元、的刚度方程类同，不
21、再列出。按力的平衡条件Fx=0,Fy=0,M=0，就是在相互联接的公共结点处，各单元对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点4有,用同样的方法可以列出其它节点处的平衡关系。将全部节点按顺序写成矩阵表示节点总外载荷、位移之间的关系如下：,很显然，实例桁架结构总体刚度方程其解有无穷多个，不可能得出唯一解。从物理意义上解释，由于所研究的桁架未给予约束，可以产生刚体位移，致使结点位移分量值得不出唯一的解。在具体结构上，由于支座限制了刚体位移，即1130，将其代入方程就可求出其余5个位移分量和3个支座反力分量。,从总体刚度方程可以看出，总体刚度矩阵的物理意义是总体抵抗变形的能力，其阶数总结
22、点数单个结点的自由度数 求出节点位移后，可以求出约束反力，根据单元刚度方程，又可求出各节点的力。,设有如图所示平板结构，其力学特性为平面应力问题。为简单起见，现以二维3节点三角形单元进行网格划分，将之它离散成2个单元，单元与单元之间通过有限个节点相连构成结构组合体。从中任取一个单元分析单元特性。,3.3 连续结构有限元解题过程实例,图36 连续体结构,3.3.1 3节点三角形单元刚度方程,3.3.2 3节点三角形单元离散的连续体结构刚度方程,单元刚度矩阵怎样求？单元刚度矩阵与单元特性有关,3.4 3节点三角形单元特性分析,（34）,3.4.1 3节点三角形单元内任意一点的位移位移函数,(3-4
23、),(3-5),(3-6),(3-5),(3-7),(3-7),(3-8),3节点三角形 单元位移函数对有限元解的收敛性,综上所述，对于三角形常应变单元而言，其位移函数满足保证收敛性的4个条件，故三角形常应变单元属于协调元。,图3-7 单元之间的位移情况,3.4.2 3节点三角形单元内任意一点的应变,(3-9),(3-9),3.4.3 3节点三角形单元内任意一点的应力,(3-10),确定单元刚度矩阵的方法主要有直接刚度法和能量原理法。对于像三角形这样稍复杂的单元是较难采用直接刚度法确定单元刚度矩阵的，这时可采用弹性力学或材料力学中的虚功原理法。,虚功原理的含义是：当结构受载荷（外力）作用处于平
24、衡状态时，在任意给出的结点虚位移下，外力（结点力）F所做的虚功等于内力（应力）所做的虚功，即AF=A,3.4.4 3节点三角形单元刚度矩阵的求解及其性质,式（3-1）为单元刚度矩阵的普遍公式，它适用于各种类型的单元。,对于三角形常应变单元，其位移函数为坐标的线性函数，因此公式中的B、D均为常量矩阵，它们可以提到积分号外面，此外dV是单元内微分体的体积，即:dV=tdxdy(t为单元厚度）对每一单元而言，将其厚度t取为常数，故单元体积为：,(3-1),(3-2),(3-3),(3-3),单元刚度矩阵的性质,以上是所有单元的单元刚度矩阵的共有性质,在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联
25、系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。整个结构的非结点载荷的移置按单元进行，即将各单元所受的非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵。因此这里只需介绍单元载荷移置问题。单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等。单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则
26、推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式化。很显然，这种方法适用于各种类型的单元。,3.4.5 3节点三角形单元非结点载荷等效移置,下面采用虚功原理推导3节点三角形单元非结点载荷的等效移置公式。（1）非结点集中力P的单元等效结点载荷,（2）表面力q的单元等效结点载荷,(3)体积力g的单元等效结点载荷,当单元存在多个非结点载荷作用时，单元等效结点力用叠加法求出。需要指出的是：载荷移置必须在结构的局部区域内进行。按照圣维南原理，在局部区域内，外载荷按能量等效原则移置后，只可能在该区域内产生误差，而不会影响整个结构的变形或应力状态。在有限元分析中，一般所取的单元较小，因此，单元载荷移置对结
27、果不会带来很大的影响。,从前面分析结果可知，对于线性位移函数单元，在进行非结点载荷等效移置时，若按刚体静力等效原则，亦可得到相同的结果。,3.5 变温等效节点载荷,当弹性体的温度发生改变时，它将随着温度的升高或降低而膨胀或收缩。若弹性体不受任何约束，其膨胀或收缩可以自由地发生，则在弹性体内不会产生应力。而当弹性体受到外部约束或当弹性体内部温度不均匀时，由于温度引起的这种膨胀或收缩不能自由发生时，则会在弹性体内产生变温应力（或称热应力）。,3.6 结构刚度方程的快速建立方法,在相互连接的公共结点处，诸单元的结点位移必须相等，即必须满足变形协调条件。对于下图所示结构，在公共结点i处的位移必须满足变
28、形协调条件，即：,因此结点位移不需要按单元来划分，结点i处的位移可写为i=ui,viT，结构结点位移列阵只需按结点号递增的顺序直接写出，即=u1,v1,u2,v2,u3,v3,T；,3.6.1集合的基本原则,在相互连接的公共结点处，诸单元对结点的作用力（即诸单元结点力的反力）与作用在该结点上的外载荷Ri之间必须满足静力平衡条件。对于如图所示的结构，在公共结点i处有：,设单元载荷等效移置后的结果如图示。,(1)节点载荷列阵的快速建立,3.6.2 结构刚度方程的快速建立,在形成结构的结点载荷列阵时，需要注意以下3点：当存在非结点载荷时，首先要进行单元载荷等效移置；在公共结点i处，需将与其有关的诸单
29、元移置后的等效结点载荷Rie按分量进行叠加，得出结点i处的结点载荷Ri。与结构的结点位移列阵相对应，结构的结点载荷列阵R亦按照总体结点编号顺序排列。在位移型有限元法中，约束是通过限制结点位移来体现。因此不求解约束反力的情况下，在结点载荷列阵中不必考虑约束反力的作用。综上所述，图42所示结构的结点载荷列阵为：,单元刚度矩阵的阶数与单元的自由度数相同，因结构刚度矩阵K是由单元刚度矩阵Ke集合而成，故结构刚度矩阵的阶数亦与结构的自由度相同。该结构有4个结点，每个结点有2个自由度，因此结构刚度矩阵是一个88的方阵。对于3节点三角形单元，单元子刚Krs计算公式为：,(2)结构刚度矩阵的快速建立,下面介绍
30、由单元子刚Krs矩阵形成结构刚度矩阵的两种常用方法。按单元形成结构刚度矩阵 先将存放结构刚度矩阵的数组充零，然后从第1个单元开始，计算单元刚度矩阵Ke,并将Ke的每个元素存放到结构刚度矩阵的相应位置上。若在送入某单元刚度元素时某子刚阵位置上已有数值，则需要叠加上去。当依次作完最后一个单元时，便形成了结构刚度矩阵K。,按结点形成结构刚度矩阵先将存放刚度矩阵的数组充零，从结点1开始，检查该结点与哪几个结点相邻，凡是与其相邻的结点，在结构刚度矩阵中就有对应的子刚阵。例如，结点r，若结点s与其相邻，则总刚度阵中必有子刚阵Krs。然后检查哪几个单元与这两个结点有关，并将有关单元的Ke中的相应子刚阵Krs
31、相互叠加。若结点s与结点r无关，则子刚阵Krs为零矩阵，按照总体结点编号顺序，对每个结点重复上述工作，指直到最后一个结点为止。,按单元子刚形成总刚的过程如下：,实例按结点顺序形成总刚的过程如下：,(3)节点位移列阵的快速建立,3.6.3 结构刚度矩阵的性质,结构刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成。因此它具有单元刚度矩阵的某些性质，如对称性、奇异性等。在进行有限元程序设计时，利用这些性质可以减少计算工作量，并节省计算机的存储量。（1）结构刚度矩阵是一个对称方阵 因为单元刚度矩阵是对称方阵，因此，由单元刚度矩阵依次叠加而成的结构刚度矩阵必然也是对称方阵。在进行有限元程序设计时，利用这一性质，可以只计
32、算及存储结构刚度矩阵的上三角或下三角，从而大大减少了计算工作量及对计算机存储要求。（2）结构刚度矩阵是一个奇异矩阵 从物理上讲，在建立结构刚度矩阵的过程中，并没有对结构施加约束，因而没有消除结构的刚体位移；从数学上讲，可以证明结构刚度矩阵的逆阵不存在，因此它是奇异矩阵。只有引入位移边界条件，对结构刚度矩阵进行适当处理后，才能消除它的奇异性，使之成为正定矩阵，从而保证线性代数方程组有唯一解。,（3）结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵 由前面得知，对于结构中的任一结点r，若结点s与其相邻，则结构刚度矩阵中必有非零的子刚阵Krs，反之，若结点s与结点r不相邻，则结构刚度矩阵中的相应子刚阵Krs为零矩阵。当一
33、个结构被离散化以后，尽管单元与结点的数目很多，但每个结点只与周围的有限个单元有关。对于任一结点r而言，与其相邻的结点为数并不多。因此，在结构刚度矩阵中必然存在大量的零元素，所以结构刚度矩阵是一个具有大量零元素的稀疏矩阵。,第2种方式与第1种方式相比，结构刚度矩阵非零元素的排列方式不同，呈带状。由此可见：结构刚度矩阵中非零元素的排列方式与结点编号方式有关。计算实践表明，带状稀疏矩阵不仅可以节省计算机的存储量，而且还可以提高计算效率。因此，在结点编号时，应力求使同一单元的结点号比较接近，即同一单元内的最大结点号差值尽可能地小，从而使结构刚度矩阵接近于带状。（4）结构刚度矩阵仅与结构的几何形状、单元
34、划分形式、尺寸以及材料性能有关，而与结构所承受的载荷无关。,下图为一等厚度的矩形薄板，其一端固定，另一端承受载荷集度为q(kg/cm2)的均布拉力。板长l200cm，宽h=100cm，厚度为t。材料的弹性模量为E，泊松比u=1/3。求薄板端角点的位移及板的应力。,y,3.7 3结点常应变单元应用实例,图43 等厚矩形薄板,1.结构离散化 为简单起见，将该矩形薄板划分为两个单元、4个结点的单元组合体，单元与结点的编号如图（b)所示。作用于单元的均布拉力，按能量等效原则移置到结点2与结点3后，有：R2x=qht/2=50qt，R2y=0，R3x=qht/2=50qt，R3y=0将一端固定的约束条件
35、简化为固定端点的结点1、4处的平面铰。直角坐标系的选取如图(b)所示。,2.计算单元刚度矩阵,4.建立结构的结点载荷列阵因结点载荷列阵R中不必考虑约束反力的作用，故在R1x、R1y、R4x、R4y处置零，于是得到,3.建立结构刚度矩阵采用按单元或结点形成结构刚度矩阵的方法，由K及K直接形成总体刚度矩阵K：,R=0，0，50qt，0，50qt，0，0，0T5.引入位移边界条件，求解线性代数方程组在结点1和4处，有u1=v1=u4=v4=0。这里采用降阶法引入上述位移边界条件。注：事实上，可以通过总体刚度方程求出约束反力，当不考虑约束反力时才可用降阶法,6.计算单元应力,7.计算结点处的应力采用绕
36、结点平均法,在选定单元类型并进行结构离散后，节点数及其坐标、单元数及其组成节点、约束、外载荷则均被确定。,3.8 有限单元法的一般方程及编程原理,3.8.1 有限元通用方程,在选定单元类型并进行结构离散后，节点数及其坐标、单元数及其组成节点、约束、外载荷则均被确定。结构刚度方程中的结构载荷列阵R、结构刚度矩阵均有单元变换矩阵G变换而成。,3.8.2 有限单元法的编程原理,1.结构的结点外载荷列阵R,2.结构的刚度矩阵K 单元刚度矩阵有具体的计算公式。结构刚度矩阵由由全部单元刚度矩阵进行矩阵变换组装而来。,结构刚度方程：K=R，是一个以结点位移为未知量的线性代数方程。求解方程组便可得出结点位移。
37、但由于结构刚度矩阵K的奇异性，上述线性代数方程组不可能有唯一解。为此，必须引入位移边界条件，以消除K的奇异性。从数学上讲，这是保证方程组有位移解所必须的；从物理上讲，这是给结构施加必要的约束，以限制结构刚体位移。在有限元法中，引入位移边界条件的步骤就是在已经形成了结构刚度方程K及结点载荷列阵R之后进行的。这时K及R中的各元素均已按照一定的顺序分别存储在相应的数组中了。因此，在对K及R进行处理时，应尽量不打乱原有的存储顺序，并希望需要处理的元素越少越好。,3.8.3 边界条件的计算处理方法,常用的引入位移边界条件的方法有以下3种：1.降阶法:即降低结构刚度方程阶数的方法在结点位移中，令A为未知位
38、移，B为已知位移。利用矩阵分块，结构刚度方程可改写为：,这相当于在结构刚度方程中，将与零位移约束对应的行与列划去后得到的代数方程组。由上式可以解出未知位移A。当采用计算机解题时，由于降阶法可能会打乱原来K及R的存储顺序，且需要重新安排KAA,RA以及A的存储。因此在有限元程序设计中一般不采用降阶法。,2.对角元置1法,3.8.4 斜边界问题的处理,在机械工程中，有些构件如离心叶轮，带偏心孔的圆盘等，在结构形状、载荷和变形状态方面具有多轴对称（或称循环对称）的特点，在分析时可以利用这一特点，只取其中典型的一部分作为计算模型。此时，对于对称轴上的各个结点都应给予附加约束，以限制垂直于对称轴方向的位移。,如图所示等厚度薄圆盘的平面计算模型。当边界结点处加上连杆铰支座约束后，其所约束的方位与X轴或Y轴成某一角度，称这类支座为倾斜支座。求解这类问题就称为斜边界问题。对于斜边界问题的处理需要进行一次坐标变换，现叙述如下：,令倾斜的对称轴为X轴，由X轴逆时针转至X*轴的角度为正。称X*OY*为局部坐标系，原来的XOY坐标系则称为总体坐标系。,
